精品解析：河北省唐山市海港高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

2025-2026海港中学高一上学期12月月考—数学 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由集合， 集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故. 故选：B. 2. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域. 【详解】设，∵函数的图象过点， ∴，则，∴， ∴， ∴且，即， 则函数的定义域为. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】由得， 由得， 所以“”不能推出“”， 所以“”是“”的非充分条件； 因为“”不能推出“”， 所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解. 【详解】由已知使用诱导公式化简得：， 将代入即. 故选：A. 6. 若“，使成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题即可求解. 【详解】若“，使成立”是假命题,则，使成立是真命题，即，， 令，则，则在上单调递增，，则. 故选:C. 7. 已知定义在R上的偶函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合偶函数的性质及单调性可得在上单调递增，再结合，，的大小，从而可求解. 【详解】由题意可得在上单调递增，且， 因，所以， 因，所以， 因，所以，故， 又因为，则，故， 所以， 又因，故， 综上可得：，故A正确. 故选：A. 8. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 二、多选题 9. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由作差法结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，，因，则，故A错误； 对于B，，因，则，故B正确； 对于C，，因， 则，故C正确； 对于D，，因， 故，故D正确. 故选：BCD 10. 函数，则下列结论正确的为（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 若，则函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由求解可判断A，通过代入验证可判断BC，由，可得，再结合正弦函数性质可判断D. 【详解】选项A：由，，可得，， 即函数的单调增区间为，故A正确； 选项B：，则函数的图象关于直线对称，关于不对称，故B错误，故C正确； 选项D：由，可得，则， 则． 即若，则函数的值域为，故D错误． 故选：AC． 11. 已知二次函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A. 的解析式是 B. ，，总有 C. 方程有3个不等的实根 D. 若，则函数在内不存在零点 【答案】AC 【解析】 【分析】用待定系数法求出的解析式判断A；用作差法判断B；用换元法求出方程的根判断C；化简得转化为与的图象在上是否存在交点，作出图象，结合图象求解判断D． 【详解】对于A，设二次函数， 由，可得， 则， 所以，解得，所以， 又，所以，则，正确； 对于B，因为， ， 所以， 所以，错误； 对于C，令，由，得，解得，， 由，可得，此时，有两个不等根； 由，可得，解得， 所以方程有3个不等的实根，正确； 对于D，， 函数在上连续，令，则有， 作出函数与的图象，如图所示： 由此可得两函数在内有2个交点， 所以函数在内有2个零点，错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：应用待定系数法求函数解析式为关键. 三、填空题 12. 设正实数满足，则有最小值为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用的代换，将转化成，根据基本不等式求得的最小值为，进而得到的最小值为. 【详解】因为正实数满足，则. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 13. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】易知在定义域上是增函数， 由复合函数单调性可知在区间上是增函数， 所以解得，且，解得， 综上可知，a的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，分析可知函数在上为增函数，且为偶函数，则在上为减函数，且得，将所求不等式变形为，然后分、、三种情况分析，结合函数的单调性求解即可. 【详解】不妨设，由可得， 不等式两边同除得， 令，则，故函数在上为增函数， 因为函数为上的奇函数，由题意可知，函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 故函数在上为减函数， 因为，则， 由可得， 当时，，即满足不等式， 当时，则，由可得， 所以，解得； 当时，则，由可得， ，解得； 综上所述，不等式的解集是. 故答案为：. 四、解答题 15. 计算 （1） （2） ． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则及性质化简即可得解； （2）根据诱导公式及两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式计算即可得解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原式 16. 已知不等式的解集是. （1）求常数的值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围. （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理，由一元二次不等式的解集求系数； （2）由二次函数单调性的特征，求实数的取值范围； （3）由一元二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围. 【小问1详解】 不等式的解集是， 和3是方程的解，且， ∴，解得. 【小问2详解】 若在上单调递减， 则，解得，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 若关于的不等式的解集为， 则，解得，实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若，求的值； （2）判断的奇偶性； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）是奇函数． （3）当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是． 【解析】 【分析】（1）根据对数运算计算即可；（2）根据奇函数定义证明即可；（3）运用函数的奇偶性,结合对数型复合函数的单调性,分类讨论，解不等式即可 【小问1详解】 由题意可得，解得． 【小问2详解】 由题意可得解得， 所以的定义域为． 因为，所以， 所以，故是奇函数． 【小问3详解】 不等式等价于不等式． ． 当时，为增函数． 当时，由复合函数的单调性，得为减函数，则，得； 当时，由复合函数的单调性，得为增函数，则，得． 综上，当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是． 18. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米. （2）平方米. （3），最大值为. 【解析】 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. 【小问3详解】 在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 19. 已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在上单调递增. 任取，且， 那么， ， 因为，所以，可得，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （2） （3）存在，且，理由如下： 由第（1）问知，在上单调递增， 所以 所以为方程的两个实数根， 即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， 所以即， 且，解得且， 所以存在实数满足题意，且. 【解析】 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 由第（1）问知在上单调递增，所以， 所以，即对恒成立. 令，，只需， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以当时，，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026海港中学高一上学期12月月考—数学 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 若“，使成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的偶函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 二、多选题 9. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则下列结论正确的为（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 若，则函数的值域为 11. 已知二次函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A. 的解析式是 B. ，，总有 C. 方程有3个不等的实根 D. 若，则函数在内不存在零点 三、填空题 12. 设正实数满足，则有最小值为___________. 13. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为______ 14. 已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是_____. 四、解答题 15. 计算 （1） （2） ． 16. 已知不等式的解集是. （1）求常数的值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围. （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）若，求的值； （2）判断的奇偶性； （3）求关于的不等式的解集． 18. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19. 已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $