精品解析：河北省邢台市第一中学、沧州市第三中学等校2026届高三上学期12月质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若与共线，则实数（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或 4. 已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为，则上的点到点的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 从360的所有正因数中随机抽取一个数，则这个数是某个正整数的平方的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组从小到大排列的数据的平均数为8，方差为3，极差为99，则对新数据的叙述正确的是（ ） A. 平均数为19 B. 方差为9 C. 分位数为 D. 极差为198 10. 已知函数在上单调递增，直线和直线是的图象的两条对称轴，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （ ） A. B. 在上的值域为 C. 方程在内无解 D. 曲线与直线所围成图形的面积为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若为的中点，则平面 D. 若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为__________. 13. 紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? （3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 18. 已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求四边形的面积； （3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数在复平面内对应点的坐标，判断结果. 【详解】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式、分式不等式求集合，再由集合的交补运算求集合. 【详解】由，得，所以； 由，得或，所以， 所以. 故选：C 3. 已知向量，若与共线，则实数（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算即可. 【详解】因为与共线，所以，即，解得或. 故选：D. 4. 已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为，则上的点到点的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和性质，求出焦点和准线方程，结合已知条件求出，进而求出，最后利用抛物线的焦半径公式计算求解． 【详解】抛物线， ，的准线方程为，故关于准线的对称点为， 焦点关于的准线的对称点为， ，解得， 抛物线方程为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， ，故A正确． 故选：A． 5. 某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设截面圆的半径为，球的半径为，根据截面圆的面积求得，利用球的截面性质求，再利用球的表面积公式求结论. 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为， 由题意知截面圆的面积为，所以， 因为球心到截面圆的距离为，故， 所以该球的表面积. 故选：C. 6. 从360的所有正因数中随机抽取一个数，则这个数是某个正整数的平方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出360的正因数个数，再选出是某个正整数平方的数字，由古典概型计算出其概率. 【详解】360的任一正因数都可表示为的形式，， 即360的正因数中数字2可以有0个、1个、2个、3个共4种选择，同理可知3有3种选择，5有2种选择； 所以360的正因数有个， 其中是某个正整数平方的有1，4，9，36，共4个， 故所求概率为. 故选：D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点三角形，利用双曲线的性质、余弦定理、向量的相关知识得出和之间的关系，从而求出双曲线的离心率. 【详解】不妨设，记，，，由，得， 在中，由余弦定理，得，两式相减，得， 因为为的中点，所以， 所以，又，所以， 所以，又，所以，解得， 所以. 故选：D 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组从小到大排列的数据的平均数为8，方差为3，极差为99，则对新数据的叙述正确的是（ ） A. 平均数为19 B. 方差为9 C. 分位数为 D. 极差为198 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，根据平均数和方差的变化规律即可得到另一组数据的平均数和方差由此判断AB，再根据百分位数，极差的定义求新数据的分位数和极差即可判断CD． 【详解】对于A，新数据的平均数为，A正确， 对于B，新数据的方差为，B错误， 对于C，因为，所以新数据的分位数是数据的第个数据，即为，C正确， 对于D，新数据的极差为，D正确， 故选：ACD. 10. 已知函数在上单调递增，直线和直线是的图象的两条对称轴，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （ ） A. B. 在上的值域为 C. 方程在内无解 D. 曲线与直线所围成图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得，利用三角函数的性质解出，进而逐项验证即可求解. 【详解】 ， 由题意知的图象关于直线对称，也关于直线对称， 且在上单调递增， 所以的半个周期，所以，所以，故A错误； 则，符合题意，当时，， 此时， 所以在上的值域为，故B正确； 由， 当时，，此时， 所以，故方程在内无解；故C正确； 曲线与直线所围成的图形的面积 等于在上的图象与直线所围成的图形的面积， 由图象的对称性知所求面积等于图中阴影部分的面积，该面积为，故D正确， 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若为的中点，则平面 D. 若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式、线面平行的判定、线面垂直等知识逐项计算即可. 【详解】连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确； 若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变， 又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误； 如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则. 易证，所以，又平面，所以平面，所以， 同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为， 易求，所以的面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，令，得到，从而求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，得， 故. 故答案为： 13. 紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【解析】 【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先换元设，原等式即为，设，再根据直线与圆的位置关系求出的范围，并求出，将表示成关于的函数，利用导数分析其单调性，即可解出. 【详解】设，由题意得， 即， 在平面直角坐标系中表示半圆（除去两点），令，画出图形如下： 当直线经过圆心时，； 当直线与半圆相切时， 则圆心到直线的距离：， 解得（舍去），故. 因为，所以， 所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以， 综上所述，的最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? （3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析， （2）数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. （3）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）根据题目数据完善列联表，然后利用频率估计概率即可求解； （2）利用列联表的数据求出的观测值，与临界值比较即可求解； （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望即可. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为. 【小问2详解】 零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. 【小问3详解】 由题意知的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取棱的中点，连接， 因为为的中位线，所以，且， 因为四边形为正方形，为的中点，所以，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，连接，通过构造中位线、平行四边形的方法，先证得，进而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取棱的中点，连接，则. 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以直线两两垂直，以为原点， 直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 记平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【点睛】 17. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题干条件构造恒等式，从而得出通项公式，注意检验时是否满足通项公式. （2）由（1）得出，再将进行奇偶讨论，先算出项数为偶数时的和，再计算项数为奇数的和，可以简化运算. 【小问1详解】 因为， 所以当时，，即， 所以当时，， 所以， 在中，令时，，解得. 对于，，当时，， 符合上式，所以通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 所以. 18. 已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求四边形的面积； （3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，为 【解析】 【分析】（1）证明，根据椭圆定义判断Q的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质即可求出其标准方程； （2）写出l的方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，设，利用韦达定理求出，根据四边形的面积，即可求出； （3）设l的方程为，代入椭圆的方程，消去x得到关于y的方程，设．写出直线AD、BN的方程，联立它们的方程求出G的坐标，从而可求，代入化简，即可得到答案． 【小问1详解】 如图： 连接，由题意知，点在圆内部， ∴， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为，则， ∴，故； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，直线的方程为，代入的方程并化简，得， 设，则，， ∴， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 设的方程为，代入的方程并化简，得， 显然判别式，设， 则，， ∴直线的方程为， 直线的方程为， 由，解得， ∴， 又，∴，即为定值，且定值为． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小. 【小问1详解】 由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. 【小问3详解】 ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $