精品解析：河南省新乡市第十中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级上学期数学第二次练习卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．依据中心对称图形的概念即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 3. 若点，在抛物线上，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的解析式可知函数对称轴为，从而得出的值． 【详解】由函数可知对称轴是直线， 由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即 ， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图像上点的对称性是解题的关键． 4. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算各点的值并比较大小． 【详解】解：将点代入函数中，得； 点代入函数中，得； 点代入函数中，得， ∵， ∴， 故选：D 5. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，设该种商品平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该种商品平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，由此即可列出方程． 【详解】解：设该种商品平均每次降价的百分率为， 第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是， 经两次降价，现售价每件32.4元 可列方程为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 6. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：∵AG=2，GB=1， ∴AB=3， ∵ ， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键． 7. 如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，然后根据三角形周长的定义进行计算． 【详解】解：∵直线分别与相切于点A、B、C， ∴， ∴的周长． 故选：D． 8. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，如图，连接，由旋转性质可知，，，，，则是等边三角形，是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，，，，然后由勾股定理求出，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由旋转性质可知：，，，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴点的坐标为， 故选：． 9. 如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面展开图，圆锥侧面展开后为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长为圆锥底面周长，由此列方程即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 故选：C． 10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，准确的计算是解决本题的关键． 由已知比例关系，通过设参数表示变量，代入所求代数式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（其中）， ∴． 故答案为：． 13. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，扇形的面积，含角的直角三角形等知识，设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则，得到，求得，得到，再根据扇形面积和三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则， ， 如图，连接， 由平移可知，，，， ， ， 又∵， ， 过点作于点，则， ． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以点A为旋转中心，将绕点A逆时针旋转得到，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的，若点C的坐标为，则点的坐标为________． （3）若将绕点P旋转可得到，则点P的坐标为________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，坐标与图形． （1）通过找点，描点，连线的方法进行作图即可； （2）先找到点A，B，C关于原点对称的点，再连线作图即可； （3）作的垂直平分线的交点，交轴于点，结合图形即可得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将绕点P旋转可得到， 如图所示，作的垂直平分线的交点，交轴于点， ∴点P的坐标为． 故答案为： 18. 张老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般：D；较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）C类中女生有 名，将下面条形统计图补充完整； （2）若该校九年级共有女生180名，则九年级女生完成数学作业达到很好和较好的大约多少人？ （3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好性别相同的概率． 【答案】（1）3，条形统计图补充完整如图所示： （2）九年级女生完成数学作业达到很好和较好的约108人； （3）所选两位同学恰好性别相同的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据B类有6+4＝10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，再求出C类中女生，D类中男生人数，再补全条形统计图即可； （2）求得女生的总人数，然后求得A、B类中女生人数，求出百分比即可解决问题． （3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：总人数：（6+4）÷50％=20（名） C类中女生有：20×25%﹣2＝3（名）， 故答案为：3 D类中男生有20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名）， 【小问2详解】 解：根据题意得：（人）； 答：九年级女生完成数学作业达到很好和较好的约108人． 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两名同学性别相同的结果有3种 P（所选两位同学恰好性别相同） 【点睛】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 【答案】 （1）在正方形ABCD中， AB=AD=CD，∠A=∠D=90°， ∵AE＝ED，DF＝DC， ∴ ， ∴ ， ∴△ABE∽△DEF； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠A=∠D=90°，再由AE＝ED，DF＝DC，可得 ，即可求证； （2）可先证得△DEF∽△CGF，从而得到，再由勾股定理，求出，即可求解． 【详解】证明：（1） 略 （2）在正方形ABCD中， ， ∴△DEF∽△CGF， ∴ ， ∵正方形的边长为8， ∴CD=AD=8， ∵AE＝ED，DF＝DC， ∴DE=4，DF=2，CF=6， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，得到相似三角形是解题的关键． 20. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2）不等式的解集为或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）求出点B的坐标，根据图像求解即可； （3）根据图像求出，再根据求出，即可求出 【小问1详解】 解：把点代入直线得： ∴点A的坐标为：， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 即反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：由（1）得：点A的坐标为：， 同理可求，点B的坐标为：， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点C的坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P的纵坐标为3时，则，解得， 当点P的纵坐标为时，则，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键． 21. 如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D在⊙O上， ∴是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由圆的基本性质可得，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而证明，，即可证明是的切线； （2）连接，交于H，易证四边形是矩形，，因此只需求出即可，由垂径定理可得，可得是的中位线，进而求出，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于H， ∵是的直径， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【答案】（1） （2）不能 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵，， 石块不能飞越防御墙． 【小问3详解】 解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， 在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期数学第二次练习卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 3. 若点，在抛物线上，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，设该种商品平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是_________． 12. 若，则________． 13. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是___________． 14. 如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为____． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； 17. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以点A为旋转中心，将绕点A逆时针旋转得到，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的，若点C的坐标为，则点的坐标为________． （3）若将绕点P旋转可得到，则点P的坐标为________． 18. 张老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般：D；较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）C类中女生有 名，将下面条形统计图补充完整； （2）若该校九年级共有女生180名，则九年级女生完成数学作业达到很好和较好的大约多少人？ （3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好性别相同的概率． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 20. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象的任意一点，若，求点P的坐标． 21. 如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $