精品解析：河北省邢台市2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

邢台市2025—2026学年高三（上）第三次月考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（不含解析几何）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，且集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的概念即可得答案. 【详解】由补集的概念可得． 故选：B. 2. 若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为，，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的含义，其绝对值越接近1，线性相关性越强. 【详解】根据题意，线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强． 因为， 故线性相关性最强的是甲组． 故选：A. 3. 已知曲线在，处的切线斜率分别为，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用导数的几何意义，求得，结合指数幂的运算法则，进行计算，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 即，所以. 故选：D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由时，由的符号可排除BC，经验证不是偶函数，可排除D，即可得正确选项. 【详解】当时，，， 所以，故可排除BC； 因为，所以的图象不关于轴对称，故排除D. 故选：A． 5. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和的性质化简，可得，再结合解出，即可得解. 【详解】由等比数列的性质得，故， 得． 由，得，则，所以． 故选：C. 6. 在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 7. 仄起平收，是写对联的一种格式，即上联末句的尾字用仄声（三声或四声），下联末句的尾字用平声（一声或二声）．甲写一副对联，计划从“安”“康”“福”“财”“美”“礼”“爱”“梦”这8个字中随机选取2个不同的字分别作为上联和下联末句的尾字，则这副对联符合仄起平收格式的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由古典概型公式求得结果. 【详解】因为“安”“康”“福”“财”是平声，“美”“礼”“爱”“梦”是仄声， 所以这副对联符合仄起平收格式的概率为． 故选：B. 8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列出不等式，两边取对数解不等式，求出答案. 【详解】由题意得，即，两边取对数得 ，故， 故的最小值为15. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先由弦的齐次式化成正切，求得，再对各选项运用同角三角函数关系式，和角公式与二倍角公式计算判断即得. 【详解】由题意得，得. 对于A，因 ，由①得，代入②，可得， 则，故A符合； 对于B，由A可得，则，故B符合； 对于C，因，故C不符合； 对于D，因，故D不符合. 故选：AB. 10. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 可能有三个极值点 B. 若，则在上单调递减 C. 若，则的极大值点为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数的图象研究函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解. 【详解】由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点， 所以可能有三个极值点，A正确． 若，，由图可得当时，，单调递减，B正确． 若，，由图可得当时，， 当时，，所以的极大值点为，C正确． 若，则，由图可得， 得或，所以或，D错误． 故选：ABC 11. 如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 该几何体的体积为 D. 存在球，使得该几何体的顶点都在球的球面上 【答案】BCD 【解析】 【分析】该几何体可由正方体切去八个角得到，结合正方体性质逐个选项判断即可. 【详解】作棱长为的正方体，取各个棱的中点，连接即可得符合题意的几何体. 取中点M，中点N，连接，可得， 由正方体性质可得，则可证平面， 则平面与平的交线，，则 则平面与平所成角为， 其中，则，A错误； 由正方体性质可得平面平面，B正确； ，C正确； 球心为正方体中心，半径为2，则该几何体的顶点都在球的球面上，D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的实部为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数代数形式的运算得到，结合实部定义即可得答案． 【详解】由题意得， 所以复数的实部为． 故答案为：. 13. 在的展开式中，含的项的系数为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】由二项式的展开式中项的公式求得结果. 【详解】由题意得， 则含的项为，所以含的项的系数为5． 故答案为：5. 14. 已知函数在上仅有两个零点，且，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得为函数，的图象与直线的交点的横坐标，根据函数图像可得，代入结合诱导公式和的取值范围求出即可得解. 【详解】令，得， 则为函数，的图象与直线的交点的横坐标， 的图象如图所示， 易得，，， 所以， 则， 所以，易得， 因为，所以， 所以， 又，所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级（不是A等级就是B等级）．对于每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B级时，产品为三等品，其余情况均为二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A级的概率分别为，． （1）求生产出的甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率； （2）若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40元、30元、10元，设一件甲产品的利润为X元，求X的分布列及期望． 【答案】（1），， （2）X的分布列为： X 40 30 10 P 【解析】 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式，以及事件的意义，即可求解； （2）首先确定的取值，再根据（1）的结果，列分布列，代入期望公式，即可求解. 【小问1详解】 生产出的甲产品为一等品的概率为； 生产出的甲产品为二等品的概率为； 生产出的甲产品为三等品的概率为． 【小问2详解】 由题意得X的取值可能为40，30，10． 由（1）得，，． X的分布列为 X 40 30 10 P 故． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求C； （2）若的面积为，求c的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，利用辅助角公式得到，即可得到答案； （2）先由面积得到，根据余弦定理再结合基本不等式可得，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得， 由，得， 所以， ， 即， 又，所以，得． 【小问2详解】 由， 所以， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时，等号成立． 所以c的最小值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面． （2）证明：平面． （3）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1） ，即，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 取的中点，连接，，，． 则在中，．因为平面，平面， 所以平面． 在中，，，， 所以，即. 而，，则有，所以，， 所以是等边三角形，所以，即． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面． （3）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，再由线面垂直的性质、判断得平面，最后应用面面垂直的判定证明结论； （2）取的中点，连接，，，，由已知得到，再由线面、面面平行的判定和性质定理证明结论； （3）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，结合（1）（2）易得两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，． 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 18. 在递增数列中，，． （1）证明：是等差数列． （2）若，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由， 得，得或． 因为是递增数列，所以． 故是首项为4，公差为1的等差数列． （2） （3）存在，或11 【解析】 【分析】（1）将原等式进行展开化简，得到是首项为4，公差为1的等差数列． （2）先求出的通项公式，然后代入中进行化简，最后累加求和即可. （3）先求出的通项公式，然后根据等比数列的性质进行验证即可. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）可得． ， 所以． 【小问3详解】 ． 假设存在不同的三项，，成等比数列，则，得， 得．因为，所以． 易得m，p是方程的两个不等实根，由，得． 因为m，p，k均为正整数，且，所以是完全平方数，且为不小于9的正奇数． 当，即时，，，不符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，不符合题意． 故或11． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； （2）①； ②由上知， 不妨设，显然， 令， 则， 所以在上单调递增，所以当时，， 即，所以， 又， 时，单调递减，所以，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）分类讨论m的取值结合导数研究函数的单调性即可； （2）①通过同构将问题化为的零点个数，分别用导数研究的单调性，计算参数范围即可；②借助①的结论结合极值点偏移构造差函数判定函数单调性证明即可. 【小问1详解】 由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，， 记，则， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，则， ①令，则， 记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需， 又时，，时，， 所以时，与只有一个交点， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为， 所以； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市2025—2026学年高三（上）第三次月考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（不含解析几何）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，且集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 若甲、乙、丙、丁四组数据的相关系数分别为，，0.23，0.88，则在这四组数据中，线性相关性最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 3. 已知曲线在，处的切线斜率分别为，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 6. 在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（ ） A. B. C. D. 7. 仄起平收，是写对联的一种格式，即上联末句的尾字用仄声（三声或四声），下联末句的尾字用平声（一声或二声）．甲写一副对联，计划从“安”“康”“福”“财”“美”“礼”“爱”“梦”这8个字中随机选取2个不同的字分别作为上联和下联末句的尾字，则这副对联符合仄起平收格式的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 可能有三个极值点 B. 若，则在上单调递减 C. 若，则的极大值点为 D. 若，则 11. 如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 该几何体的体积为 D. 存在球，使得该几何体的顶点都在球的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的实部为_____________． 13. 在的展开式中，含的项的系数为_____________． 14. 已知函数在上仅有两个零点，且，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级（不是A等级就是B等级）．对于每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B级时，产品为三等品，其余情况均为二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A级的概率分别为，． （1）求生产出的甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率； （2）若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40元、30元、10元，设一件甲产品的利润为X元，求X的分布列及期望． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求C； （2）若的面积为，求c的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面． （2）证明：平面． （3）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 在递增数列中，，． （1）证明：是等差数列． （2）若，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $