第一章《一元二次方程》期末复习强化练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2025-2026学年苏科版九年级上学期数学第一章《一元二次方程》期末复习强化练习 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解为（ ） A． B． C．， D．， 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将一元二次方程化为的形式，其常数项是（   ） A．15 B． C．14 D． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知，是方程的两个实数根，则 ． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一元二次方程有两个实数根，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为 ． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知关于的方程的两根为和，则 ． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知m，n是方程的两根，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 三、解答题 17．（24-25九年级下·江苏南京·期末）解下列方程： (1)； (2)． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若其中一个根是另一个根的2倍，求的值． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，，求的值． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 (1)小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法  B．因式分解法  C．配方法  D．公式法 (2)解方程过程中，第二步变形的依据是 ； (3)请你用“公式法”解该方程． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 24．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）关于的一元二次方程经过适当变形可以写成的形式现列表探究的变形： 变形 【观察】表格中的值为______，与满足的等量关系为______，的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）； 【尝试】若一元二次方程变形为，求、的值； 【拓展】若一元二次方程经过变形可写成，则的最大值为______（用含有、的代数式表示）． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 28．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 29．（24-25九年级上·江苏常州·期末）【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D B C D B 1．C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．将代入，再求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入， 得， 解得：， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：因为方程的两根分别是， 所以． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可． 【详解】解： ∴ ∴ 常数项是 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为， 由题意得， 故选：． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程没有实数根，得到判别式小于，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 9． 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，，求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得， 故答案为：． 10．2 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为： 11． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．，（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值，， 故答案为：，1（答案不唯一）． 13．0 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；由一元二次方程的解可得，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：，()是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：0． 14．1 【分析】本题主要考查一元二次方程的性质，熟练掌握根与系数的关系是关键．根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为和， ∴， ∴， 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查根与系数关系，判断出，，利用整体代入的思想求解． 【详解】解：，n是方程的两根， ，， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得：； （2）解：， ， 则， 或， 解得：． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根据与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，求出解集即可； 对于（2），根据两根之和可知求出根，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设一元二次方程得两个根为， 根据题意，得，， 可知． ∵， ∴， 解得． 19．(1)，另一根为0 (2)详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把代入方程，得，然后再把代入方程，求出，即可作答． （2）先求出，然后分析无论k取何值，，即可作答． 【详解】（1）解：把代入方程， 得 ∴； 把代入方程， 得， ∴， 即，另一根为0； （2）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 20．(1)见解析 (2)0 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． （1）根据根判别式或解方程即可证明； （2）根据根与系数的关系或解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：法1，∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴不论为何值，方程总有实数根． 法2，原方程可化为， 即， ∴，， ∴不论为何值，方程总有实数根． （2）解：法1：∵由方程的两个根，得，，． ∴， ∴． 法2：∵解方程， 得，． ∴． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵该方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 22．(1)C (2)等式的基本性质 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法和步骤，掌握解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）根据解题方法直接对应即可； （2）第二步是方程的左右两边同时加了一个数，利用的是等式的基本性质； （3）直接利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：小颖解方程的方法是配方法， 故选：C； （2）解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个整式，所得结果仍是等式）， 故答案为：等式的基本性质； （3）， ， ， 即． 23．(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 24．(1)， (2)每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价下降x元时，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元， 平均每天可卖出礼盒份； （2）解：设每份礼盒售价下降x元， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去） 故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元． 25．观察：，，减小．尝试：，．拓展：． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法、解一元二次方程公式法、不等式的性质、函数的表示方法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 观察：结合表格数据即可判断得解； 尝试：依据题意，由，则，从而，结合变形为，进而可以判断得解； 拓展：依据题意，由一元二次方程经过变形可写成，即，可得，，故，又，则，可得，最后即可判断得解． 【详解】解：观察：由表格可得； 由、、、知， 对于，，； 对于，，； 对于，，； 对于，，． 可以发现的值从逐渐减小到，的值从逐渐增大到， 的值随值的增大而减小． 故答案为：，，减小． 尝试：由题意，， ， ， 变形为， ，． 拓展：由题意，一元二次方程经过变形可写成，即． ，． ． ， ． ． 的最大值为． 故答案为：． 26．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 27．(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 28．(1)是 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 29．（方法理解）③，25；（灵活应用）见详解，答案不唯一， 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 【方法理解】根据数形结合思想求解； 【灵活应用】先把方程按照题中的方法进行部分分解，再作图． 【详解】解：（方法理解）， ， 能体现方程的解法的是 ③， ， 故答案为：③，25； （灵活应用）， ， 或， 能够求出方程的解的图示如下： ． 学科网（北京）股份有限公司 $