第1章 一元二次方程 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

▱PEQF 为菱形时,t的值为83 或16 3. (第6题) 数学活动 矩形绿地中的花圃设计 1. (1) ① (5-x). ② 0<x≤3. (2) 能. 根据题意,得3x(5-x)=12,整理,得 x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4. 由(1),可知0<x≤3, ∴ x=1. ∴ 矩形养殖场ABCD 的面积能达到 12m2,此时x的值是1. 2. 由题意,得涂色部分可以整合成长 为(50-x)米、宽为(32-2x)米的 矩形. ∴ (50-x)(32-2x)=880. 整理,得x2-66x+360=0,解得 x1=60(不合题意,舍去),x2=6. ∴ x的值为6. 3. (1) 设矩形的一边长为xm,则易 得与它相邻的另一边长为(14-x)m. 由题意,得x(14-x)=48,解得x=6 或x=8. ∴ 当花圃相邻两边的长为8m和6m 时,花圃面积为48m2. (2) 设矩形花圃的长为am,宽为 bm. 由题意,可得a+b+2(a-6)+4(b- 4)=28,整理,得b=56-3a5 . ∴ a·56-3a5 =49 ,解得a=7或 a=353. 当a=7时,b=7,当a=353 时,b= 21 5. ∴ 矩形花圃的长为35 3 m ,宽为21 5 m 或长为7m,宽为7m. 第1章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 在方程x2+(2k-1)x+ k2-k=0中,b2-4ac=(2k-1)2- 4×(k2-k)=4k2-4k+1-4k2+ 4k=1>0, ∴ 此方程总有两个不相等的实数根. (2) 将x=0代入x2+(2k-1)x+ k2-k=0,得k2-k=0,解得k=0 或1. ∴ k的值为0或1. [变式] (1) ∵ a=1,b=m-6, c=-6m, ∴ b2 -4ac= (m -6)2 -4× (-6m)=m2+12m+36=(m+ 6)2≥0. ∴ 该方程总有两个实数根. (2) 解该方程,得x1=-m,x2=6. ∵ 方程有一个实数根小于2, ∴ -m<2. ∴ m>-2. 典例2 (1) ∵ x2-2(m+1)x+ m(m+2)=0, ∴ b2-4ac=[-2(m +1)]2- 4m(m+2)=4>0. ∴ 不论实数m 取何值,方程总有实 数根. (2) 当m=2时,方程为x2-6x+8=0, ∵ α、β为方程的两个根, ∴ α2-6α=-8,α+β=6. ∴ α2-5α+β=α2-6α+α+β= -8+6=-2. [变式] (1) b2-4ac=(-5m)2- 4×1×4m2=25m2-16m2=9m2, ∵ m2≥0, ∴ b2-4ac≥0. ∴ 无论m 为何实数,方程总有两个 实数根. (2) 设x1、x2(x1>x2)是关于x的一 元二次方程x2-5mx+4m2=0的两 个实数根, ∴ x1+x2=5m,x1x2=4m2. ∵ x1-x2=2, ∴ (x1-x2)2=4. ∴ x21+x22-2x1x2=(x1+x2)2- 4x1x2=4,即(5m)2-4×4m2=4. ∴ 9m2=4,解 得 m1= 2 3 ,m2= -23. ∴ m 的值为23 或-23. 典例3 (1) 由题意,得 1 2 (32- x)x=78,解得x1=6,x2=26, ∵ x≤8, ∴ x=6. (2) 不能. 理由:设BF=y m,则 DE=(8+ y)m,AD = 32-y-8-y 2 = (12- y)m. ∴ (8+y)(12-y)=110,整理,得 y2-4y+14=0. ∵ b2-4ac=42-4×14=-40<0, ∴ 原方程无实数根,即花园面积不能 为110m2. [变式] C 解析:设乙店二、三月份 的销售额的月平均增长率为x,则甲 店三月份的销售额为10(1+2x)2 万 元,乙店三月份的销售额为15(1+ x)2 万元.由题意,得10(1+2x)2- 15(1+x)2=10,解得x1=0.6= 60%,x2=-1(不合题意,舍去). ∴ 乙店二、三月份的销售额的月平均 增长率为60%. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 典例4 (1) ∵ b2-4ac=[-(2k+ 1)]2-4(k2+k)=1>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2) 一元二次方程x2-(2k+1)x+ k2+k=0的解为x=2k+1±12 ,即 x1=k,x2=k+1. ∵ k<k+1, ∴ AB≠AC. 当AB=k,AC=k+1,且AB=BC 时,△ABC是等腰三角形,则k=5. 此时△ABC的三边长为5、5、6. ∵ 5+5=10>6, ∴ k=5符合题意. 当AB=k,AC=k+1,且AC=BC 时,△ABC是等腰三角形,则k+1= 5,解得k=4. 此时△ABC的三边长为4、5、5. ∵ 4+5=9>5, ∴ k=4符合题意. 综上所述,k的值为5或4. [变式] (1) ∵ b2-4ac=[-(k+ 1)]2-4k=k2+2k+1-4k=(k- 1)2≥0, ∴ 无论k取什么实数值,这个方程总 有实根. (2) ∵ 等腰三角形 ABC 的一腰长 p=4, ∴ 另两边长q、r中必有一个数为4. 把x=4代入关于x的方程x2-(k+ 1)x+k=0中,得16-4(k+1)+k= 0,解得k=4. ∴ b+c=k+1=5. ∴ △ABC的周长为4+5=9. ［综合素能提升］ 1. C 解析:∵ x2-2mx+m2-4= 0,∴ (x-m+2)(x-m-2)=0. ∴ x-m+2=0或x-m-2=0. ∵ x1>x2,∴ x1=m+2,x2=m- 2.∵ x1=2x2+3,∴ m+2=2(m- 2)+3,解得m=3. 2. C 解析:设该菱形的两条对角线 的 长 分 别 为 a、b.由 题 意,得 a+b=10, 1 2ab=11. ∴ 菱 形 的 边 长 = a 2 2 + b2 2 = 12 a 2+b2 = 1 2 (a+b)2-2ab=12 100-44= 1 2 56= 14. 3. 3 2 解析:∵ a、b分别满足a2- 3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b, ∴ a、b 可以看作是一元二次方程 x2-3x+2=0的两个实数根.∴ a+ b=3,ab=2.∴ 1 a+ 1 b= a+b ab = 3 2. 4. 8或9 解析:当4为腰长时,将 x=4代入x2-6x+n=0,得42- 6×4+n=0,解得n=8.当n=8时, 原方程为x2-6x+8=0,解得x1= 2,x2=4.∴ 等腰三角形的三边长为 4、4、2.∵ 2+4=6>4,∴ n=8符合 题意.当4为底边长时,关于x 的方 程x2-6x+n=0有两个相等的实数 根,∴ (-6)2-4×1×n=0,解得 n=9.当n=9时,原方程为x2- 6x+9=0,解得x1=x2=3.∴ 等腰 三角形的三边长为3、3、4.∵ 3+3= 6>4,∴ n=9符合题意.综上所述,n 的值为8或9. 5. 6或12或10 解析:根据题意,得 k≥0且(3k)2-4×8≥0,解得k≥ 32 9.∵ 整数k<5,∴ k=4.∴ 方程变 形为x2-6x+8=0,解得x1=2, x2=4.∵ △ABC 的三边长均满足关 于x 的 方 程 x2 -6x +8=0, ∴ △ABC的三边长为2、2、2或4、4、 4或4、4、2.∴ △ABC 的周长为6或 12或10. 6. (1) ∵ (x-2)(x-3)-k2=0, ∴ x2-5x+6-k2=0. ∴ b2-4ac=(-5)2-4×1×(6- k2)=25-24+4k2=1+4k2. ∵ 无论k取何值时,总有4k2≥0, ∴ 1+4k2>0. ∴ 无论k取何值,方程总有两个不相 等的实数根. (2) 由(1),得x2-5x+6-k2=0, ∴ x1+x2=5. ∴ x1+2x2=x1+x2+x2=5+x2. ∵ x1>x2, ∴ x2= 5- 4k2+1 2 . ∵ 4k2+1≥1, ∴ 4k2+1≥1. ∴ 5- 4k2+1 2 ≤2 ,即x2≤2. ∴ 5+x2≤7,即x1+2x2≤7. 7. (1) ∵ 关于x的方程x2-2mx+ m2-n=0有两个不相等的实数根, ∴ b2-4ac=(-2m)2-4(m2-n)= 4m2-4m2+4n>0. ∴ n>0. (2) ∵ n为符合条件的最小整数,且 n>0, ∴ n=1. ∴ 原方程为x2-2mx+m2-1=0. 设该方程的根是a、2a. ∴ a+2a=2m,a·2a=m2-1,解得 a=2,m=3或a=-2,m=-3(不合 题意,舍去). ∴ m 的值为3. 8. (1) 设甲种蔬菜的种植面积为 x亩. 由题意,得1 2x+10=30 ,解得x= 40,符合题意. ∴ 100-x=100-40=60. ∴ 50×60=3000(元). ∴ 乙种蔬菜的总种植成本为3000元. (2) 设甲种蔬菜的种植面积为m 亩, 则乙种蔬菜的种植面积为(100-m)亩. 由题意,得m≥20,100-m≥50, ∴ 20≤m≤50. 由题意,得 12m+10 m+50(100- m)=4272,整理,得 m2-80m+ 1456=0,解得m1=28,m2=52(不合 题意,舍去). 当m=28时,100-m=72, ∴ 当甲种蔬菜的种植面积为28亩,乙 种蔬菜的种植面积为72亩时,甲、乙 两种蔬菜的总种植成本为4272元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 25 第1章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P11 考点一 一元二次方程根的判别式 典例1 已知关于x 的一元二次方程x2+ (2k-1)x+k2-k=0. (1) 求证:此方程总有两个不相等的实数根. (2) 如果方程有一个根为0,求k的值. [变式]已知关于x 的一元二次方程x2+(m- 6)x-6m=0. (1) 求证:该方程总有两个实数根. (2) 若该方程有一个实数根小于2,求m 的取值 范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 26 考点二 一元二次方程根与系数的关系 典例2 (2024·北京模拟)已知关于x 的一元 二次方程x2-2(m+1)x+m(m+2)=0. (1) 求证:不论实数 m 取何值,方程总有实 数根. (2) 如果当m=2时,α、β为方程的两个根,求 α2-5α+β的值. (1) 计算其判别式,判断出其符号即可.(2) 当 m=2时,其方程为x2-6x+8=0,利用方程根的定 义可求得α2-6α=-8,α+β=5,代入求值即可. [变式]已知关于x的一元二次方程x2-5mx+ 4m2=0. (1) 求证:该方程总有两个实数根. (2) 若该方程两个实数根的差为2,求m 的值. 考点三 一元二次方程的实际应用 典例3 用一段长32m的篱笆和长8m的墙 AB,围成一个矩形的花园,设平行于墙的一边 DE 的长为xm. (典例3图) (1) 如图①,若矩形花园的一边靠墙AB,另三边 由篱笆CDEF 围成,当花园的面积为78m2时, 求x的值. (2) 如图②,若矩形花园的一边由墙AB 和一节 篱笆BF 构成,另三边由篱笆ADEF 围成,花园 的面积能否为110m2? 若能,求出BF 的长;若 不能,请说明理由. [变式]甲、乙两家商店一月份的销售额分别为 10万元和15万元,三月份甲店的销售额比乙店 多10万元.已知甲店二、三月份的销售额的月平 均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的 2倍,则乙店二、三月份的销售额的月平均增长 率是 ( ) A. 40% B. 50% C. 60% D. 70% 考点四 学科内综合题 典例4 已知关于x 的一元二次方程x2- (2k+1)x+k2+k=0. (1) 求证:方程有两个不相等的实数根. (2) 若△ABC 的两边AB、AC 的长是这个方程 的两个实数根,第三边BC 的长是5,当△ABC 是等腰三角形时,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 27 [变式]已知关于x 的方程x2-(k+1)x+ k=0. (1) 求证:无论k取什么实数值,这个方程总有 实根. (2) 若等腰三角形ABC 的一腰长p=4,另两边 长q、r 恰好是这个方程的两根,求△ABC 的 周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 关于x的方程x2-2mx+m2-4=0的两个 根x1、x2满足x1=2x2+3,且x1>x2,则m 的值为 ( ) A. -3 B. 1 C. 3 D. 9 2. (2023·泸州)若一个菱形的两条对角线的长 分别是关于x 的一元二次方程x2-10x+ m=0的两个实数根,且该菱形的面积为11, 则该菱形的边长为 ( ) A. 3 B. 23 C. 14 D. 214 3. (2023·鄂州)若实数a、b分别满足a2-3a+ 2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则1a+ 1 b= . 4. 若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关 于x的方程x2-6x+n=0的两个根,则n 的值为 . 5. 已知整数k<5,△ABC 的三边长均满足关于 x的方程x2-3kx+8=0,则△ABC 的周 长是 . 6. 已知关于x 的方程(x-2)(x- 3)-k2=0. (1) 求证:无论k取何值,方程总有 两个不相等的实数根. (2) 设方程的两个根分别为x1、x2,且x1> x2,求证:x1+2x2≤7. 7. 已知关于x的方程x2-2mx+m2-n=0有 两个不相等的实数根. (1) 求n的取值范围. (2) 若n为符合条件的最小整数,且该方程 的较大根是较小根的2倍,求m 的值. 8. (2024·泰州姜堰二模)某地建立了一个劳动 实践基地,小亮从中了解到如下信息: 信息1:2025年计划将100亩的土地全部种植 甲、乙两种蔬菜,其中甲种蔬菜的种植面积不 少于20亩,乙种蔬菜的种植面积不少于50亩. 信息2:甲种蔬菜每亩的种植成本y 元与其 种植面积x亩之间满足函数关系:y= 1 2x+ 10,乙种蔬菜每亩的种植成本为50元. (1) 若甲种蔬菜每亩的种植成本是30元,求 乙种蔬菜的总种植成本. (2) 如何分配两种蔬菜的种植面积,使甲、乙 两种蔬菜的总种植成本为4272元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程