精品解析：江苏省南通市海门区2025-2026学年 八年级上学期期末考试数学模拟试卷

江苏省南通市海门区2025-2026学年度八年级（上） 期末考试数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1. 古汉字“雷”有下列四种写法，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.             【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是这个数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是掌握科学记数法的一般式并能运用求解． 用科学记数法一般式求解．科学记数法的一般式：，其中，为整数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查立方根 ，平方根及平方根的加法运算；根据求立方根 ，平方根及平方根的加法运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A． ，计算正确； B． ，计算错误； C． ，计算错误； D． ，计算错误； 故选：A． 4. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 5. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么这个等腰三角形的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据腰三角形的性质，内角和定理得出底角解答． 根据等腰三角形的性质，内角和定理即可得到每个底角的度数． 【详解】∵等腰三角形的一个内角等于，且一个三角形最多有一个角是钝角或直角， ∴等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的底角为， 故选：A． 6. 下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴； 故选：D． 7. 小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用总时间构造等量关系． 设已经读完的部分每天读页，则未读部分每天读页，根据读已读部分和未读部分的总时间等于14天，列出方程即可． 【详解】解：设已经读完的部分每天读页， 根据题意，得， 即， 故选：D． 8. 若且均不为0，则的值为（　　） A. B. C. 0 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值以及代数式的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先对分式进行化简，然后代数式变形代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故选：A． 9. 如图, 在中，，，与相交于点，于．则下列数量关系正确的为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得出是等边三角形，证明，进而证明，则，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：， 是等边三角形， ． ，， ． ∴， ∵,， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 10. 若实数，，满足，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到，再利用因式分解的知识将等式变形为，利用完全平方的非负性求出、的值，即可求出的值． 【详解】解：，， ， 整理得：， ， ， ，， 解得：，， ， ． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，共20分． 11. 要使分式 有意义，则x的取值应满足的条件是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故答案为：． 12. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 13. 如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点.若，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先得到是的垂直平分线，则，结合等腰三角形的性质求出，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 设， 则由勾股定理得：， ∴， ∴， 在，由勾股定理得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 将图中的长方形分成，两部分，恰与正方形拼接成如图的大正方形．如果正方形的面积为，拼接后的大正方形的面积是，则图中原长方形的长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设的长为，宽为，则的长为（），宽为，的边长为，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到与之间的关系式即可求出最后结果． 【详解】解：设的长为，宽为，则的长为（），宽为，的边长为， ∵的面积为， ∴， ∵拼接后的大正方形的面积是， ∴， ∴， ∴图中原长方形的长为： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了算术平方根的实际应用，利用算术平方根表示出未知数之间的数量关系是解题的关键． 15. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为___________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”及分式方程有解建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 16. 如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形．由三角形三边关系定理可得到 的取值范围；延长、交于点，由证明，推出，，从而可得，当时，的面积取最大值，根据三角形面积公式求解即可，进而得到的面积的最大值． 【详解】解：在中，， ，解得， 如图所示，延长、交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为， 的面积的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题：本题共9小题，共100分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先化成最简二次根式，根据二次根式的乘法法则计算，再合并即可； （2）利用完全平方公式以及单项式乘多项式展开，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标）分别为，，，直线与轴平行且经过点． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于直线对称的图形； （3）已知是内部一点，写出关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称性质，是解题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点横坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点纵坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 点关于直线对称点的横坐标为，纵坐标为， 点关于直线的对称点的坐标是， 故答案为：． 19. 先化简，再求值：，其中满足等式． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式和分式的运算法则将原式化简为，通过提取公因式得到，代入原式计算即可；本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相应的运算法则和整体代入法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 又∵， ∴， ∴原式． 20. （1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，轴对称尺规作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定． （1）方法1，延长到D使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； 方法2，取中点M，连接，根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； （2）作点B关于的对称点，然后过点作的垂线交于点Q，交于点P，即可求解． 【详解】（1）证明： 方法1，如图，延长到D使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 方法2，如图，取中点M，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）如图：此时最小． 21. 图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板的长度 成员 组长：××× 组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，垂直地面于点C，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 的长度 的长度 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出、的长是解题的关键． 在中，由勾股定理求出的长，再在中，由勾股定理得求出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． ， 答：学校篮板的长度为． 22. 如图，在中，，点在边上，连接，，点在下方，连接，，，若，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据三角形内角和定理及等边对等角进行角的转化． （1）先证明，再证，最后根据全等三角形的性质得到； （2）根据三角形内角和定理，先求出，由全等的性质得出，，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：， 由得，，， 在中，， ， ， ， ， ， ． 23. 两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为，后一半路程速度为； ②返回速度始终保持为． 其中，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快? 【答案】（1）第二组的攀登速度为 （2）方案②的平均速度更快，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式的混合运算，分式的值的大小比较； （1）设第二组的攀登速度为，则第一组的攀登速度为，根据他们比第二组早到达顶峰，再建立方程求解即可； （2）先求解方案①的平均速度为，由，进一步分析即可得到答案. 【小问1详解】 解：设第二组的攀登速度为，则第一组的攀登速度为， 由题意，得， 整理，得 解得 检验：当时，，且符合题意. 所以，原分式方程解为 答：第二组的攀登速度为 【小问2详解】 解：方案①的平均速度为， ∴， ，且p，q均为正数， ， 方案②的平均速度更快 24. 已知实数，，满足． （1）当，时，求的值； （2）当时，求的值； （3）若的最大值与最小值的差为6，求的值． 【答案】（1）13 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质、完全平方公式的应用、分式的加减、不等式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，得到，再利用完全平方公式计算即可； （2）代入，得到，则有，再利用求出的值，再根据平方根的定义即可求解； （3）将变形为和，利用完全平方的非负性分别求出的最大值和最小值，结合的最大值与最小值的差为6，解方程求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：当，时，， ， ． 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， 的值为． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 的最大值为，最小值为， 又的最大值与最小值的差为6， ， 解得：， 的值为． 25 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D在线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点D在线段上时，；当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，根据等角对等边可得结论； （2）如图2，连接，证明和，即可得结论； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上，根据线段的和与差可解答． 【详解】（1）证明：如图，∵等边中，点O是的中点， ∴，． ∵等边， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）证明：如图，连接． ∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵点O是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图3，连接 ， ∵是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ， ， ； ②当点在线段上时，如图2， 由①知：， 由（2）知：， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如图4，连接， 由①知：， 由（2）知：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区2025-2026学年度八年级（上） 期末考试数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1. 古汉字“雷”有下列四种写法，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.             2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是这个数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么这个等腰三角形的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 若且均不为0，则的值为（　　） A. B. C. 0 D. 12 9. 如图, 在中，，，与相交于点，于．则下列数量关系正确的为(　　) A. B. C. D. 10. 若实数，，满足，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共6小题，共20分． 11. 要使分式 有意义，则x的取值应满足的条件是________ 12. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 13. 如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点.若，，则的长为_____． 14. 将图中的长方形分成，两部分，恰与正方形拼接成如图的大正方形．如果正方形的面积为，拼接后的大正方形的面积是，则图中原长方形的长是_____． 15. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为___________ 16. 如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． 三、解答题：本题共9小题，共100分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标）分别为，，，直线与轴平行且经过点． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于直线对称的图形； （3）已知是内部一点，写出关于直线的对称点的坐标． 19 先化简，再求值：，其中满足等式． 20. （1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 21. 图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板的长度 成员 组长：××× 组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，垂直地面于点C，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 的长度 的长度 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板的长度． 22. 如图，中，，点在边上，连接，，点在下方，连接，，，若，且． （1）求证：； （2）若，求度数． 23. 两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为，后一半路程速度为； ②返回速度始终保持为． 其中，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快? 24. 已知实数，，满足． （1）当，时，求的值； （2）当时，求的值； （3）若最大值与最小值的差为6，求的值． 25. 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D在线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $