精品解析：福建省莆田市城厢区砺成中学2025-2026学年 八年级上学期第二次月考试数学试卷

2025-2026学年砺成中学八年级上学期第二次月考试卷数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 计算的结果为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 2. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　） A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m 3. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 4. 如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接、形成了一个三角形，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 5. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 若的结果中不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 7. 下列代数式变形正确的是（　　） A. ＝﹣ B. C. ＝ D. ＝ 8. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在分子上，一个分子的直径约为，用科学记数法表示为 _____________． 12. 若，，，则，，的大小关系为______（用“＜”连接）． 13. 若是完全平方式，则_____________________ ． 14. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F，已知，则的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为________． 16. 若关于x的方程无解，则m的值为__________． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，然后在2，，中选一个你认为合适的a值，代入求值． 19. 如图，AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O． 求证：∠A＝∠D． 20. 如图，是的高，E是上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求线段和的长． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的7×12的网格中，A，B均为格点（网格线的交点）． （1）作线段，使与线段AB关于直线l对称； （2）连接，仅用无刻度的直尺在上找一点C，使得． 22. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 23. 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． （1）如图1，在中，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； （3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 25. 已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． （1）如图1，平分，连接．求证：； （2）如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年砺成中学八年级上学期第二次月考试卷数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 计算的结果为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． 逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 2. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　） A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【详解】解：∵PA、PB、AB能构成三角形， ∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜9m． 故选：D． 【点睛】考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 3. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 4. 如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接、形成了一个三角形，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【详解】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 5. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 若的结果中不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案， 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 7. 下列代数式变形正确的是（　　） A. ＝﹣ B. C. ＝ D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质判断即可． 【详解】解：A. ＝﹣，原变形错误，不合题意； B.当z=0时，不成立，不合题意； C. ＝，变形正确，符合题意； D. ＝，原变形错误，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 8. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， ∴无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ， ， ， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D． 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，问题可解． 【详解】解：连接，如图， 依题意， 为边的垂直平分线， 的周长， 故选：C． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论（2）正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论（1）正确； 如图，过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论（4）错误； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论（3）正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在分子上，一个分子的直径约为，用科学记数法表示为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中，n为整数．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 若，，，则，，的大小关系为______（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，，比较即可． 【详解】∵，，， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键． 13. 若是完全平方式，则_____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F，已知，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含30度的角的直角三角形，掌握30度角所对的直角等于斜边的一半是解题关键．根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余，得到，，进而得出，，即可求出的长． 【详解】解：等边中，D是的中点，， ，，， ， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为________． 【答案】(6，6) 【解析】 【详解】如图，过点C作CE⊥OA，CF⊥OB， ∵∠AOB=， ∴四边形OECF是矩形， ∴∠ECF=， ∵∠ACB=， ∴∠ACE=∠BCF 在△ACE和△BCF中, ∴△ACE≌△BCF， ∴CE=CF， ∵四边形OECF是矩形， ∴矩形OECF是正方形， ∴OE=OF， ∵AE=OE−OA=OE−3，BF=OB−OF=9−OF， ∴OE=OF=6， ∴C(6，6)， 故答案为：(6，6). 16. 若关于x的方程无解，则m的值为__________． 【答案】-1或- 【解析】 【分析】直接解分式方程，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案． 【详解】解：， 去分母得：（x+4）+m(x-4)=4， 可得：（m+1）x=4m， 当m+1=0时，分式方程无解， 此时m=-1， 当m+1≠0时，则x==±4， 当=4时，此时方程无解； 当=-4时，解得：m=-， 经检验，m=-是方程=-4的解， 综上所述：m=-1或-． 故答案为：-1或-． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2）无解 【解析】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂的计算，及分式方程的求解： （1）先计算各个部分，再合并； （2）根据分式方程的解法求解并检验根即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 18. 先化简，然后在2，，中选一个你认为合适的a值，代入求值． 【答案】；当时，原式． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 因为，，所以，， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 19. 如图，AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O． 求证：∠A＝∠D． 【答案】 证明：连接BC， 在△ABC和△DCB中，， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】连接BC，证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的对应角相等即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中正确作出辅助线构造全等三角形是关键． 20. 如图，是的高，E是上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求线段和的长． 【答案】（1） 证明：是的高， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识， （1）由是的高，得，进而即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再由，即可得，的长； 熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ∵， ， ，． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的7×12的网格中，A，B均为格点（网格线的交点）． （1）作线段，使与线段AB关于直线l对称； （2）连接，仅用无刻度的直尺在上找一点C，使得． 【答案】（1） 如图，线段A′B′即为所求； （2）如图，点C即为所求． 【解析】 【分析】(1)根据轴对称的性质即可作线段A'B'，使A' B'与线段AB关于直线l对称； (2)根据垂直平分线的性质即可在BB'，上找一点C，使得AC'+ B'C= BB'． 【小问1详解】 解：（1）略 【小问2详解】 ∵作AB的垂直平分线，与BB`交于点C， 故AC=BC， ∴AC+B`C=BC+B`C=BB` 如图，点C即为所求． 【点睛】本题考查了作图，轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 22. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 【答案】（1） 解：由题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解． 此时圆珠笔的数量为， 圆珠笔的数量为整数， 不合题意， 嘉嘉搞错了； （2）整数的值为3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题； （2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得， 解得： 中性笔和圆珠笔的单价均为整数，， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 整数的值为3． 23. 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． （1）如图1，在中，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； （3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是 （2） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴为的完美分割线． （3）∠ACB＝108°或117°或84°或102° 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点． （1）先求出、、，然后根据“类似三角形”的定义即可解答从而得出结论； （2）可计算得出，，，，再根据“完美分割线”的定义即可证明结论； （3）分为当是等腰三角形和是等腰三角形两种情况，当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论，同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互为“类似三角形”． 故答案为：是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （Ⅰ）当是等腰三角形时， ①如图1， 当时，则， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图2， 当时，则， 此时， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时， ①如图3， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，， ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图4， 当，时， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或或． 24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 【答案】（1）2x+5+；（2）m2+n2+ mn的最小值为27 【解析】 【分析】（1）根据材料中提供的方法，将转化为+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将 转化为，从而得出答案； （2）根据（1）的方法可得 ＝5x﹣1﹣，进而得到5m﹣11+＝5x﹣1﹣ ，然后用含有x的代数式表示m、n，代入+mn后，写成 +mn＝ +27，进而求出最小值． 【详解】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b． 因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b， 所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b， 因此有， 解得， 所以 ＝2x+5+； （2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b， 因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b， 所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b， 因此有， 解得， 所以， 所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣， 因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2， 所以m＝x+2，n＝﹣x+4， 所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27， 因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27， 所以m2+n2+mn的最小值为27． 【点睛】本题考查新定义下实数运算的综合应用，通过观察总结出有关规律并应用到题目问题的解决中是解题关键． 25. 已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． （1）如图1，平分，连接．求证：； （2）如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①； ② 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $