精品解析：江苏省宿迁市崇文初级中学2025-2026学年九年级上学期12月份月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期九年级学科素养提升 数学学科 总分: 150分 时间: 120分钟 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上) 1. 下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. y＝x-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断． 【详解】A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确； B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误； C. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D. y＝x-3，属于一次函数，故本选项错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0. 2. 若，分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵，是方程的根， ∴，， 即，， ∴． 故选：B． 3. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ） A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12， ∴两个相似三角形的相似比为1:3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1， ∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键． 4. 已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断. 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离d=6，⊙O的半径R=4， ∴d>R， ∴直线和圆相离． 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.． 5. 如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故A不符合题意； 由即，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故B不符合题意； 由，结合条件不可以得到，故C符合题意； 由可得，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故D不符合题意； 故选：C． 6. 已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，满足题意； 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：． 综上可知，． 故选C． 7. 如图所示，以为直径的半圆O经过斜边的两个端点，交直角边于点E．B，E是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出，的长，利用图中阴影部分的面积求出即可． 【详解】解：连接，，，， ∵B，E是半圆弧的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和同底等高， ∴和面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算、三角函数以及三角形面积求法等知识，根据已知得出和面积相等是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 二．填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上) 9. 若是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10. 如图，四边形内接于，若，则它的一个外角________． 【答案】69° 【解析】 【分析】由∠BOD＝138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数 【详解】解：∵∠BOD＝138°， ∴∠A＝∠BOD＝69°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°． 故答案为：69°． 【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用． 11. 若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为__________． 【答案】6π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积：S侧=•底面周长•母线长计算即可． 【详解】解：它的侧面积为：×4π×3=6π， 故答案为6π． 【点睛】此题主要考查圆锥的侧面的计算，关键是掌握计算公式． 12. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴，， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交网格于，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：延长交网格于， 由题可知，，， ∴，，， ∴， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，O为边上的一点，以为半径的半圆O交于点D、交于点E．过点D作半圆O的切线交边于点F，且，则的长为__． 【答案】2 【解析】 【分析】设半径为r，过O作交于M，根据直角三角形的性质和勾股定理可得，．先证明是等边三角形，得到．在等腰三角形中，可得，，则可得．由求出r的值，进而可得的长． 本题主要考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设半径为r，过O作交于M，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点D作半圆O的切线交边于点F， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵,，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． 15. 如图，在中，，则的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，由题意得，设，则由勾股定理得，由余弦函数的定义求出，再证明即可求解． 【详解】解：在中，， 设， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 16. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】解：由抛物线解析式可得， 当时，； 当时，； 当时，． 由于为常数，故，即． 故答案为． 17. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，利用图象求不等式的解集，找到直线在抛物线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点， 由图象可知，不等式的解集是； 故答案为：． 18. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____． 【答案】6或10 【解析】 【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tanA＝＝，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tanA＝，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tanA＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去. 【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F． 设PE＝x． 在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10， ∴BE＝8，AE＝6， ∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠BPQ＝90°， ∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°， ∴∠EBP＝∠FPQ， ∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°， ∴△PBE≌△QPF（AAS）， ∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8， ∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1， ∵CD∥AB， ∴∠FDQ＝∠A， ∴tan∠FDQ＝tanA＝＝， ∴＝， ∴x＝4， ∴PE＝4， ∴AP＝6+4＝10； 如图2，当点Q落在AD上时， ∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠BPQ＝90°， ∴∠APB＝∠BPQ＝90°， 在Rt△APB中，∵tanA＝＝，AB＝10， ∴AP＝6； 如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形． 在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10， ∴BE＝8，AE＝6， ∴PF＝BE＝8， ∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ， ∴PF＝BF＝FQ＝8， ∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去）， 综上所述，AP的值是6或10， 故答案为：6或10． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键. 三．解答题(共10小题，满分96分．将解题过程写在答题纸相应的位置上) 19. 计算题: （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． （1）计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再根据互余两角的正切值互为倒数计算，然后进行加减计算； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴原式 ； 【小问2详解】 解： 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，包括配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是方程（1）配方成完全平方式；方程（2）先移项，再提取公因式，注意不要直接约去． （1）方程可用配方法：将常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式后开方求解．也可直接用公式法． （2）先移项使右边为0，提取公因式，转化为两个一次方程求解． 【小问1详解】 解： 移项得： 配方得： 整理得： 开平方得： 移项得：； 解得：，； 【小问2详解】 解： 移项得： 整理得： 或 解得：，． 21. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B． （1）求证：CE•AD＝DE2； （2）求证：． 【答案】 证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC， ∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC， ∵∠AED＝∠B， ∴∠C＝∠AED， ∴△ADE∽△DEC， ∴， ∴CE•AD＝DE2； （2）∵△ADE∽△DEC， ∴， ∴， ∴．． 【解析】 【分析】本题综合考查了等腰梯形的性质和相似三角形的判定与性质等内容，要求学生理解并掌握相关内容，能运用有关知识求出相等的角，能证明出相似的三角形，以及能利用相似三角形的性质解决不同的边之间的关系等问题，要求学生能在不同的三角形之间进行边和角的转化，蕴含了转化的思想方法． （1）通过证明△ADE∽△DEC，利用相似三角形的性质即可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】 略 22. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 23. 如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． （1）求证：是的切线； （2）若， 求的半径． 【答案】（1） 证明：连接交于点H， ∵点E是的内心， ∴平分，即， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中， ， 解得， ∴的半径为． 24. 在“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个72元，此时每天可售出200个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，问：网店每个吉祥物售价为多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元? 【答案】每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键． 先设每个降价元，每天的利润为元，则依题意可得，，再根据自变量的取值范围求最大值即可． 【详解】解：设每个降价元，每天的利润为元， 则依题意可得， ． 且， ． ， 当时，． 答：每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元． 25. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根． 【答案】（1）＜ ；（2）当时，． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到＞0，然后解不等式即可得到k的范围； （2）先确定整数k的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程，确定方程的整数解即可． 【详解】解：（1）因为有两个不相等的实数根， 所以＞0，即＞0， 所以＜20，解得：＜ （2）因为＜且为正整数， 所以=l或2， 当=l时，方程化为，△=12，此方程无整数根； 当=2时，方程化为 解得， 所以=2，方程的有整数根为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了不等式的正整数解及解一元二次方程，掌握基础是关键． 26. 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 【答案】（1）敏敏的影长为公分；（2）高圆柱的高度为公分． 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接，作．分别求出，的长即可解决问题． 【详解】解：（1）设敏敏的影长为公分． 由题意：， 解得（公分）， 经检验：是分式方程的解． ∴敏敏的影长为公分． （2）如图，连接，作． ， ∴四边形是平行四边形， 公分， 设公分，由题意落在地面上的影从为公分． ， （公分）， （公分）， 答：高圆柱的高度为公分． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27. 如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 【答案】（1） 证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）设，根据直角三角形两锐角互余可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，由，可得，，所以可得点在线段的垂值平分线上，如图所示，连接并延长交于于点，可得，在中，设，则，，根据勾股定理可求出，由此即可求解； （3）由（2）可得，，如图所示，过点作于点，可证，得到，根据，可求出，则，在中，根据勾股定理可得，设，则，由勾股定可得，可求出，在中，，所以有，可求出，在中，运用勾股定理可得，由此求出，如图所示，连接，可得，，再根据三角形相似的判定可得，求出，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴点在线段的垂直平分线上， 如图所示，连接并延长交于于点， ∴，，， ∴， 在中，设，则，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得，， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，同弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，构造辅助线，图形结合思想是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）的最小值为； （3）符合条件的点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级学科素养提升 数学学科 总分: 150分 时间: 120分钟 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上) 1. 下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. y＝x-3 2. 若，分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ） A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 4. 已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 5. 如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. D. 7. 如图所示，以为直径的半圆O经过斜边的两个端点，交直角边于点E．B，E是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二．填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上) 9. 若是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 10. 如图，四边形内接于，若，则它的一个外角________． 11. 若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为__________． 12. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为______． 13. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为_____ 14. 如图，在中，，，，O为边上的一点，以为半径的半圆O交于点D、交于点E．过点D作半圆O的切线交边于点F，且，则的长为__． 15. 如图，在中，，则的值是_______． 16. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 17. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 18. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____． 三．解答题(共10小题，满分96分．将解题过程写在答题纸相应的位置上) 19. 计算题: （1） （2） 20. 解方程 （1） （2） 21. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B． （1）求证：CE•AD＝DE2； （2）求证：． 22. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 23. 如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． （1）求证：是的切线； （2）若， 求的半径． 24. 在“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个72元，此时每天可售出200个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，问：网店每个吉祥物售价为多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元? 25. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根． 26. 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 27. 如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $