精品解析：天津市第一0二中学2025-2026学年上学期八年级第二次月考数学试卷

2025秋季学期八年级数学12月统练 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图①是我国古建筑梁架示意图，顶部可看作等腰（如图②），已知，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 5. 已知(x－y)2＝49，xy＝2，则x2＋y2的值为( ) A. 53 B. 45 C. 47 D. 51 6. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形可验证的等式为（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形两腰上的高相等 B. 两边及其中一边对角相等的两个三角形全等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 8. 已知，则以a，b为边的等腰三角形的周长为（ ） A. 10 B. 10或11 C. 11 D. 无法确定 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 13. 若，则的值为_____． 14. 若等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数是________． 15. 计算______． 16. 如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是_____． 17. 如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为________．（用含a，b的式子表示） 18. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（共46分） 19. 计算 （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 22. 如图，、均是的两边，的垂直平分线交的垂直平分线于点． （1）若的周长为，求的长． （2）若，求的度数． （3）若、是线段的三等分点（点在点的左侧），直接判断的形状． 23. 月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． （1）用含、的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板的总面积． 24. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋季学期八年级数学12月统练 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，同底数幂乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算结果错误，不符合题意； B、，原式计算结果正确，符合题意； C、，原式计算结果错误，不符合题意； D、，原式计算结果错误，不符合题意； 故选：B． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图①是我国古建筑梁架示意图，顶部可看作等腰（如图②），已知，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．根据等腰三角形的性质（三线合一），逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选项C不符合题意； ∵， ∴，， 故故选项B、D不符合题意； 由已知条件无法得出，故不一定成立，选项A符合题意． 故选：A． 4. 若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故选A． 5. 已知(x－y)2＝49，xy＝2，则x2＋y2的值为( ) A. 53 B. 45 C. 47 D. 51 【答案】A 【解析】 【详解】因为(x－y)2= x2-2xy＋y2=49，所以x2＋y2=49+2xy=49+2×2=53，故选A. 6. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形可验证的等式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据阴影部分面积相等即可得到等式． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2中阴影部分为长为，宽为的长方形，面积为， 所以． 故选：B． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形两腰上的高相等 B. 两边及其中一边对角相等的两个三角形全等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及等腰三角形的性质、三角形全等的判定、等边三角形的判定，熟知正确的命题是真命题是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、因为等腰三角形两腰相等，根据三角形面积公式可证明等腰三角形两腰上的高相等，正确，是真命题，符合题意； B、两边及其夹角相等的两个三角形全等，原命题错误，是假命题，不符合题意； C、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，原命题错误，是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 8. 已知，则以a，b为边的等腰三角形的周长为（ ） A. 10 B. 10或11 C. 11 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值和完全平方非负性的应用、等腰三角形的判定与性质．先根据绝对值和完全平方非负性的性质求出a、b的值，再讨论即可． 【详解】解：∵， ∴要使， 则，即， 以a，b为边的等腰三角形有两种情况： 当4为腰，3为底边时， ∵， ∴可以构成三角形， 这时，其周长为； 当3为腰，4为底边时， ∵， ∴可以构成三角形， 此时，三角形周长为； 综上，以a，b为边的等腰三角形的周长为10或11， 故选：B． 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 10. 定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法． 根据题意得到，，进而得到，根据定义可知 【详解】解：∵若（其中：，，以下同），则．设，， ∴，， ∴， ∵若（其中：，，以下同），则， ∴ 故选：B． 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 12. 如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积公式、整式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，把阴影部分的面积表示出来． 由题意可得：阴影部分的面积，化简后即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴，， 阴影部分的面积 ， ∴要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道正方形的边长，即的长． 故选：B． 二、填空题（共18分） 13. 若，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算和同底数幂相乘，准确的计算是解决本题的关键． 先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后列式计算即可． 【详解】解： ∴ 解得． 故答案为：4． 14. 若等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形及其性质，掌握三角形的内角和是两和等腰三角形两个底角是相等是解题的关键．因为三角形的内角和是，又因为等腰三角形的两个底角相等，用“”求出两个底角的度数，再用“”求出一个底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， 这个等腰三角形的底角度数是． 故答案为：． 15. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键． 根据幂的乘方与积的乘方的计算方法将原式写成即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由等边三角形的性质可得到，由线段中点的定义得到的长，求出的度数，即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为________．（用含a，b的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式的应用， 根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 18. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，过作于，根据角平分线的轴对称性，可作关于对称点，连接，则，由得，当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过作于，作关于对称点， ∴在上，连接， 则， 当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共46分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）　； （2）． 【解析】 【分析】　本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再乘除，合并同类项即可； （2）原式同时计算完全平方公式和多项式除以以单项式法则，合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 原式， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式等知识，熟练掌握其运算法则是解题关键．先利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式 ． 21. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 22. 如图，、均是的两边，的垂直平分线交的垂直平分线于点． （1）若的周长为，求的长． （2）若，求的度数． （3）若、是线段的三等分点（点在点的左侧），直接判断的形状． 【答案】（1） （2） （3）是等边三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质进行求解即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理及平角的概念即可求解； （3）利用三等分点得出，再利用线段的垂直平分线的性质得出，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∵的周长为， 即， ∴, ∴的长为：； 【小问2详解】 解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∴， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵、是线段的三等分点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴是等边三角形． 23. 月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． （1）用含、的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板的总面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【小问1详解】 解：板模型的总面积为 ； 【小问2详解】 解：当，时， 板的总面积为 ． 24. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【答案】（1） 作图如下： （2）两点之间线段最短 （3）①12；②， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； 【小问3详解】 ①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $