微专题6 与平面向量有关的最值、范围问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

微专题6　与平面向量有关的最值、范围问题 近几年高考：1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现,多以小题形式考查,难度中档; 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围. 一、高考真题 1.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中,||=||=, ||=2,设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　) A.3 B.2 C. D.2 3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则·的最小值为　　　　.  4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则++…+的取值范围是　　　　.  二．典型例题 1.向量模的最值、范围 例1(1)(2025·广州调研)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=,a·b=-,<a-c,b-c>=30°,则|c|的最大值为(　　) A.2 B. C.2 D. (2)已知向量a,b,单位向量e,若a·e=1,b·e=2,a·b=3,则|a+b|的最小值为　　　　.  规律方法　求向量模的范围或最值常见方法: (1)通过|a|2=a2转化为实数问题;(2)数形结合;(3)坐标法. 训练1 (1)已知单位向量a,b满足|a-b|+2a·b=0,则|ta+b|(t∈R)的最小值为(　　) A. B. C. D. (2)已知△ABC是边长为4的正三角形,点P是△ABC所在平面内的一点,且满足|++|=3,则||的取值范围是　　　　.  2.向量数量积的最值、范围 例2 (1)(2025·北京延庆区模拟)在△ABC中,A=90°,AB=AC=4,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则·的最小值为　　　　.  (2)(2025·哈尔滨调研)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,且cos <a,b>=-,|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为　　　　.  规律方法　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断. (2)数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题,然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. 训练2(1)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(含边界),则·的取值范围为(　　) A.(0,16] B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] (2)(2025·江西五市九校联考)如图,已知圆O的半径为2,弦长AB=2,C为圆O上一动点,则·的取值范围为　　　　.  3.向量夹角的最值、范围 例3 (2025·太原调研)已知点P(1,0),C(0,),O是坐标原点,点B满足||=1,则与夹角的最大值为(　　) A. B. C. D. 规律方法　1.解答本题的关键是确定动点B的轨迹后,数形结合求解,把两向量夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系问题. 2.求向量夹角的最值、范围,往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,要注意变量之间的关系. 训练3 (2025·合肥段考)在平行四边形ABCD中,+=,λ∈[,2],则cos ∠BAD的取值范围是　　　　.  4.向量系数的最值、范围 例4 (2025·铜川模拟)在△ABC中,D是AB边上的点,满足AD=2DB,E在线段CD上(不含端点),且=x+y(x,y∈R),则的最小值为　　　　.  规律方法　解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0). (2)=λ+μ(λ,μ为实数),则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1,进行转化,列不等式或等式得到关于系数的关系式,从而求系数的取值范围. 训练4 (2025·南京模拟)已知点P是△ABC所在平面内的一点,且=+t(t∈R),若点P在 △ABC的内部(不包含边界),则实数t的取值范围是　　　　.  【精准强化练】 一、单选题 1.已知非零向量a,b的夹角为,|a|=2,λ∈R,则|a+λb|的最小值为(　　) A.2 B. C.1 D. 2.(2025·南通质检)如图所示,单位圆上有动点A,B,则|-|的最大值为(　　) A.0 　　　B.-1 C.1 　　　D.2 3.(2025·齐齐哈尔)已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb, 其中λ>0,μ>0.若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 4.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 5.(2025·广州三校联考)已知正方形ABCD的边长为1,设点M,N满足=λ,=μ.若·=1,则λ2+2μ2的最小值为(　　) A.2 B.1 C. D. 6.已知a,b是互相垂直的两个单位向量,若向量c满足|c-a-b|=2,则|c|的最大值为(　　) A.2- B.2+ C. D.2 7.已知菱形ABCD的边长为1,cos ∠BAD=,O为菱形的中心,E是线段AB上的动点,则·的最小值为(　　) A. B. C. D. 8.(2025·开封调研)在平面直角坐标系xOy中,设A(2,4),B(-2,-4),动点P满足·=-1,则tan ∠PBO的最大值为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.(2025·杭州质检)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则·的取值可以为(　　) A.10 B.15 C.25 D.35 10.(2025·泉州调研)平面向量m,n满足|m|=|n|=1,对任意的实数t,≤|m+tn|恒成立,则(　　) A.m与n的夹角为60° B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值 C.|n-tm|的最小值为 D.m在m+n上的投影向量为(m+n) 11.(2025·菏泽模拟)如图,已知△ABC中,B=,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则(　　) A.2=+ B.·的最小值为-2 C.在上的投影向量为 D.若=x+y,则x+y的最大值为1+ 三、填空题 12.在△ABC中,CA=CB=2,D为AC的中点,则·的取值范围是　　　　.  13.(2025·昆明调研)已知非零向量a,b的夹角为θ,|a+b|=2,且|a||b|≥,则夹角θ的取值范围为　　　　.  14.(2025·天津部分区模拟)已知平行四边形ABCD的面积为6,∠BAD=,且=2.若F为线段DE上的动点,且=λ+,则实数λ的值为　　　　;||的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题6　与平面向量有关的最值、范围问题 近几年高考：1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现,多以小题形式考查,难度中档; 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围. 一、高考真题 1.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中,||=||=, ||=2,设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 答案　D 解析　因为||=||=,||=2, 由=-平方,可得·=0, 所以<,>=. 2+=2(-)+- =+-2,||==5, 所以|2+|2 =++4-4(+)· =2+2+4×25-4(+)· =104-4(+)·, 又|(+)·|≤|+||| =5×=10, 即-10≤(+)·≤10, 所以|2+|2∈[64,144], 即|2+|∈[8,12]. 2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　) A.3 B.2 C. D.2 答案　A 解析　如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,则B(1,0),D(0,2),C(1,2),直线BD的方程为y=-2x+2, ☉C方程为(x-1)2+(y-2)2=r2, 又=(1,0),=(0,2), 则=λ+μ=(λ,2μ), 又圆与直线BD相切,则半径r=. 因为P点坐标可表示为x=1+rcos θ=λ, y=2+rsin θ=2μ, 则λ+μ=2+θ+rcos θ=2+θ+φ), 当sin(θ+φ)=1时,有最大值为2+×=3. 3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则·的最小值为　　　　.  答案　　- 解析　以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E, 所以=,=(-1,0),=(0,1), 因为=λ+μ, 所以=λ(-1,0)+μ(0,1), 所以λ=,μ=1,所以λ+μ=. 由B(1,0),E可得直线BE的方程为y=-3(x-1), 设F(a,3-3a),则G, 所以=(a,3-3a),=, 所以·=a·+(3-3a)· =5a2-6a+=5-, 所以当a=时,·取得最小值,为-. 4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则++…+的取值范围是　　　　.  答案　[12+2,16] 解析　以圆心为原点,A7A3所在直线为x轴,A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则A1(0,1),A2, A3(1,0),A4,A5(0,-1), A6,A7(-1,0),A8, 设P(x,y), 于是++…+=8(x2+y2)+8, 因为cos 22.5°≤|OP|≤1, 所以≤x2+y2≤1, 故++…+的取值范围是[12+2,16]. 二．典型例题 1.向量模的最值、范围 例1 (1)(2025·广州调研)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=,a·b=-,<a-c,b-c>=30°,则|c|的最大值为(　　) A.2 B. C.2 D. (2)已知向量a,b,单位向量e,若a·e=1,b·e=2,a·b=3,则|a+b|的最小值为　　　　.  答案　(1)A　(2) 解析　(1)设=a,=b,=c, 则a-c=,b-c=, 由题意cos <a,b>==-, 而0°≤<a,b>≤180°,则<a,b>=150°. 又因为<a-c,b-c>=30°, 所以O,A,C,B四点共圆,如图所示. 要使|c|取得最大值,则OC必过圆心G, 此时在△OAB中,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos ∠AOB =1+3-2150°=7, 即AB=, 由正弦定理可得OC=2R==2. (2)设e=(1,0),a=(x1,y1),b=(x2,y2), 由a·e=1得x1=1, 由b·e=2得x2=2, 由a·b=x1x2+y1y2=3,可得y1y2=1, 则|a+b|= = =≥=, 当且仅当y1=y2=1时,取等号. 故|a+b|的最小值为. 规律方法　求向量模的范围或最值常见方法: (1)通过|a|2=a2转化为实数问题;(2)数形结合;(3)坐标法. 训练1 (1)已知单位向量a,b满足|a-b|+2a·b=0,则|ta+b|(t∈R)的最小值为(　　) A. B. C. D. (2)已知△ABC是边长为4的正三角形,点P是△ABC所在平面内的一点,且满足|++|=3,则||的取值范围是　　　　.  答案　(1)B　(2)[3,5] 解析　(1)由|a-b|+2a·b=0, 得|a-b|=-2a·b, 两边平方,得a2-2a·b+b2=12(a·b)2, 即6(a·b)2+a·b-1=0, 解得a·b=-或a·b=. 因为|a-b|=-2a·b≥0, 所以a·b≤0,所以a·b=-, 所以|ta+b|= == =≥, 当t=时,表达式取得最小值. (2)以AC所在直线为x轴,以AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(-2,0),B(0,6), C(2,0),设P(x,y), 则=(x+2,y),=(x,y-6), =(x-2,y), ∵|++|=3, 即=3, 化简得x2+(y-2)2=1, ∴点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=1, 设圆心为G,则G(0,2), 又|AG|==4, 故||的最小值为|AG|-1=4-1=3, ||的最大值为|AG|+1=4+1=5, 故||的取值范围是[3,5]. 2.向量数量积的最值、范围 例2 (1)(2025·北京延庆区模拟)在△ABC中,A=90°,AB=AC=4,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则·的最小值为　　　　.  (2)(2025·哈尔滨调研)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,且cos <a,b>=-,|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为　　　　.  答案　(1)-　(2)0 解析　(1)以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),M(2,0), 设P(x,4-x),0≤x≤4, 所以=(x-2,4-x),=(x,-x), 所以·=x2-2x-4x+x2=2x2-6x=2-,0≤x≤4, 由二次函数的性质知,当x=时,·取最小值-. (2)不妨设a=,b=,c=(x,y), 则|c-a+b|==1, 则x2+(y-)2=1. 可设θ∈[0,2π), 则b·(a-c)=· =1+=1+≥0. 规律方法　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断. (2)数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题,然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. 训练2 (1)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(含边界),则·的取值范围为(　　) A.(0,16] B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] (2)(2025·江西五市九校联考)如图,已知圆O的半径为2,弦长AB=2,C为圆O上一动点,则·的取值范围为　　　　.  答案　(1)B　(2)[6-4,6+4] 解析　(1)取CD的中点E,连接PE,如图所示, 所以PE的取值范围是,即[2,2], 又由·=(+)·(+)=-=-4, 所以·∈[0,16]. (2)取AB的中点D,连接CD,OD, 则·=(+)·(+) =·+(+)·+ =-1, 又|OD|==, 所以|CD|min=2-,|CD|max=2+, 即2-≤|CD|≤2+, 所以(·)min=6-4, (·)max=6+4. 故·的取值范围为[6-4,6+4]. 3.向量夹角的最值、范围 例3 (2025·太原调研)已知点P(1,0),C(0,),O是坐标原点,点B满足||=1,则与夹角的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设点B(x,y),可得=(-x,-y), 因为||=1, 可得x2+(y-)2=1, 即点B的轨迹是以C(0,)为圆心,半径r=1的圆. 如图所示,当直线BP与圆C相切且切线在圆心下方时,直线BP的倾斜角最大,即的夹角最大. 设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0(k<0), 则圆心到直线的距离等于圆的半径, 可得=1,解得k=-, 设切线的倾斜角为α(0≤α<π), 则tan α=-,可得α=, 即. 规律方法　1.解答本题的关键是确定动点B的轨迹后,数形结合求解,把两向量夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系问题. 2.求向量夹角的最值、范围,往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,要注意变量之间的关系. 训练3 (2025·合肥段考)在平行四边形ABCD中,+=,λ∈[,2],则cos ∠BAD的取值范围是　　　　.  答案　 解析　设与=e1, 与=e2, 与=e3, 由题意e1+2e2=λe3, 所以(e1+2e2)2=λ2, 即+4e1·e2+4=λ2, 所以1+4×1×1×cos ∠BAD+4=λ2, 所以cos ∠BAD=, 因为λ∈[,2],所以λ2∈[2,4], 所以∈, 即cos ∠BAD的取值范围是. 4.向量系数的最值、范围 例4 (2025·铜川模拟)在△ABC中,D是AB边上的点,满足AD=2DB,E在线段CD上(不含端点),且=x+y(x,y∈R),则的最小值为　　　　.  答案　4+2 解析　∵=x+y(x,y∈R),AD=2DB, ∴=+y, 又E在线段CD上(不含端点), ∴+y=1,且x>0,y>0, ∴=+= =4++≥4+2, 当且仅当=, 即x=1-,y=时,等号成立, ∴的最小值为4+2. 规律方法　解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0). (2)=λ+μ(λ,μ为实数),则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1,进行转化,列不等式或等式得到关于系数的关系式,从而求系数的取值范围. 训练4 (2025·南京模拟)已知点P是△ABC所在平面内的一点,且=+t(t∈R),若点P在 △ABC的内部(不包含边界),则实数t的取值范围是　　　　.  答案　 解析　在AB上取一点D,使得=, 过点D作DP∥AC交BC于点P,过点P作PE∥AD交AC于点E, 由平面几何知识易知=, 由向量加法的平行四边形法则, 得=+. 若点P落在△ABC的内部,则0<t<. 【精准强化练】 一、单选题 1.已知非零向量a,b的夹角为,|a|=2,λ∈R,则|a+λb|的最小值为(　　) A.2 B. C.1 D. 答案　C 解析　因为a,b的夹角为,|a|=2, 所以a·b=|b|, |a+λb|2=|b|2λ2+2|b|λ+4 =(|b|λ+)2+1≥1. 故|a+λb|的最小值为1. 2.(2025·南通质检)如图所示,单位圆上有动点A,B,则|-|的最大值为(　　) A.0 　　　B.-1 C.1 　　　D.2 答案　D 解析　因为|-|=||, A,B是单位圆上的动点, 所以|-|的最大值为2, 此时反向. 3.(2025·齐齐哈尔模拟)已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0.若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　B 解析　因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k, 即λa+b=k(a+μb). 又向量a,b不共线, 所以得λμ=1. 由λ>0,μ>0,得λ+4μ≥2=4, 当且仅当λ=4μ,即λ=2,μ=时,取“=”. 4.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 答案　C 解析　由题意得,=-=(a-1,1), =-=(-b-1,2), ∵A,B,C三点共线, ∴=λ且λ∈R, 则可得2a+b=1, ∴+=(2a+b)=4++ ≥4+2=8, 当且仅当b=2a=时,等号成立, ∴+的最小值为8. 5.(2025·广州三校联考)已知正方形ABCD的边长为1,设点M,N满足=λ,=μ.若·=1,则λ2+2μ2的最小值为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　C 解析　如图所示,以A为原点,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), ∵=λ,=μ, ∴M(λ,0),N(0,μ), 则=(λ-1,-1),=(-1,μ-1), ∴·=1-λ+1-μ=1, 故λ+μ=1, ∴λ2+2μ2=(1-μ)2+2μ2=3μ2-2μ+1, 故μ=时, λ2+2μ2=3μ2-2μ+1取得最小值. 6.已知a,b是互相垂直的两个单位向量,若向量c满足|c-a-b|=2,则|c|的最大值为(　　) A.2- B.2+ C. D.2 答案　B 解析　依题意,设a,b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量, 则a=(1,0),b=(0,1),a+b=(1,1), 设c=(x,y), 则c-a-b=(x-1,y-1), 因为|c-a-b|==2, 所以(x-1)2+(y-1)2=4, 故c=,点C的轨迹是以(1,1)为圆心,2为半径的圆,圆心M(1,1)到原点的距离为 |OM|==, |c|max=|OM|+r=+2. 7.已知菱形ABCD的边长为1,cos ∠BAD=,O为菱形的中心,E是线段AB上的动点,则·的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知点O为BD的中点, 设=λ,0≤λ≤1, 则=-=λ-,==-, 故·=(λ-)· =λ+-· =λ+- =λ+, 当λ=0时,·. 8.(2025·开封调研)在平面直角坐标系xOy中,设A(2,4),B(-2,-4),动点P满足·=-1, 则tan ∠PBO的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设P(x,y),则=(-x,-y),=(2-x,4-y), 则·=-x(2-x)-y(4-y)=-1, 即x2-2x+y2-4y+1=0, 化为(x-1)2+(y-2)2=4,则点P的轨迹为以D(1,2)为圆心,半径为2的圆, 又kOB==2=kOD,所以B,O,D三点共线,显然当直线PB与此圆相切时,tan ∠PBO的值最大. 又BD==3,PD=2, 则PB===, 则tan ∠PBO===. 二、多选题 9.(2025·杭州质检)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则·的取值可以为(　　) A.10 B.15 C.25 D.35 答案　BCD 解析　如图所示,建立直角坐标系. 由题意设A(a,0),B(0,b), 其中0≤|a|≤2,0≤|b|≤2, |AB|=2,即a2+b2=4, 令a=2cos θ,b=2sin θ, 所以A(2cos θ,0),B(0,2sin θ), 所以=(2cos θ-3,-4), =(-3,2sin θ-4), 所以·=(-3)×(2cos θ-3)+(-4)×(2sin θ-4)=-6cos θ+9-8sin θ+16 =-10sin(θ+φ)+25, tan φ=, 所以(·)max=35,(·)min=15, 所以·的取值范围是[15,35],结合选项可得选BCD. 10.(2025·泉州调研)平面向量m,n满足|m|=|n|=1,对任意的实数t,≤|m+tn|恒成立,则(　　) A.m与n的夹角为60° B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值 C.|n-tm|的最小值为 D.m在m+n上的投影向量为(m+n) 答案　AD 解析　设平面向量m与n的夹角为θ, 因为对任意的实数t,≤|m+tn|恒成立,即m2-m·n+n2≤m2+2tm·n+t2n2恒成立,又|m|=|n|=1,所以t2+2tcos θ+cos θ-≥0对任意的实数t恒成立, 所以Δ=4cos 2θ-4cos θ+1=(2cos θ-1)2≤0, 则cos θ=,所以θ=60°,故A正确. 对于B,(m+tn)2+(m-tn)2=1+2tcos 60°+t2+1+t2-2tcos 60°=2+2t2,随t的变化而变化,故B错误. 对于C,因为|n-tm|===,结合二次函数的性质可知当t=时,|n-tm|取最小值,故C错误. 对于D,向量m+n的一个单位向量e==,由向量夹角公式可得cos <m,m+n>===,则m在m+n上的投影向量为|m|·cos <m,m+n>e=1××=(m+n),故D正确. 11.(2025·菏泽模拟)如图,已知△ABC中,B=,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则(　　) A.2=+ B.·的最小值为-2 C.在上的投影向量为 D.若=x+y,则x+y的最大值为1+ 答案　ABD 解析　以M为原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图), 设∠CMP=θ,则θ∈[0,π], 在△ABC中,∠ABC=,AB=BC=2, M是AC的中点, 所以BM=1,AC=2,MP=, 则A(-,0),C(,0),B(0,-1),P(θ,θ), 所以=(θ,θ+1),=(,1),=(-,1),=(0,1). 对于A,因为M是AC的中点, 所以2=+,A正确; 对于B,·=3cos θ+θ+1 =2+1, 因为θ∈[0,π],所以θ+∈, 当θ+=时,取得最小值-, 所以·的最小值为-2,B正确; 对于C,=,C错误; 对于D,因为=x+y, 所以(θ,θ+1) =x(-,1)+y(,1), 则x+y=θ+1, 当θ=时,x+y取最大值 1+.D正确. 三、填空题 12.在△ABC中,CA=CB=2,D为AC的中点,则·的取值范围是　　　　.  答案　(-1,3) 解析　依题意·=·(+)=+·=-·=1-1×2cos ∠BCD. 又cos ∠BCD∈(-1,1), 所以1-1×2cos ∠BCD=1-2cos ∠BCD∈(-1,3). 13.(2025·昆明调研)已知非零向量a,b的夹角为θ,|a+b|=2,且|a||b|≥,则夹角θ的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由|a+b|2=4得|a|2+|b|2+2|a||b|cos θ=4, 即4≥2|a||b|(1+cos θ)≥(1+cos θ), 前一个等号成立条件为|a|=|b|, 整理得cos θ≤.由于θ∈[0,π], 所以≤θ≤π. 14.(2025·天津部分区模拟)已知平行四边形ABCD的面积为6,∠BAD=,且=2.若F为线段DE上的动点,且=λ+,则实数λ的值为　　　　;||的最小值为　　　　.  答案　　 解析　=λ+=λ(+)+=λ+, 由D,E,F三点共线,得λ+-λ=1, 解得λ=. 过点A作AG⊥BC于点G,以G为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 设B(-a,0),a>0,则A(0,a), 而▱ABCD的面积为6, 则|BC|=,故C,D, 则=(-a,-a),=, 所以=+=, 则||2=+a2 =+a2-5≥2-5=5, 当且仅当=a2, 即a=时取“=”, 所以||的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $