2026届高考数学二轮专题高频考点梳理：与向量夹角有关的最值问题

**基本信息** 聚焦向量夹角最值问题，整合代数转化、几何轨迹、函数优化三大方法体系，构建从概念到综合应用的逻辑链条 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础型|8题|模平方转化、数量积公式、判别式法|以向量夹角定义为起点，通过数量积公式建立与模的关系，结合不等式求范围| |综合型|9题|坐标法、轨迹思想（圆/球面）、导数求最值|融合几何图形（四面体/外接圆）与向量运算，用轨迹思想转化空间问题为平面最值| |拓展型|2题|新定义运算、函数单调性分析|通过新运算拓展向量应用，结合三角函数性质深化最值求解逻辑|

2026年高考数学二轮专题高频考点梳理： 与向量夹角有关的最值问题 一、单选题 1．已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 5．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ） A． B． C． D． 6．已知非零向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 8．设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（     ） A． B．6 C．12 D．16 10．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 11．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 13．设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为 . 14．已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 . 15．在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是 16．已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为 . 17．已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ． 三、解答题 18．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．即．试求解下列问题． (1)已知向量，满足，，，求的值． (2)向量，，，求的最小值． 19．已知为向量与的夹角，，，关于x的一元二次方程有实根． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，求函数的最值及对应的的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C A C C B C A 题号 11 答案 C 1．B 【分析】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出的余弦值，进而根据向量夹角的范围和基本不等式的性质求出的取值范围. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以． 故选：B. 2．B 【分析】将两边平方化简得，再根据向量夹角的范围即可求解. 【详解】因为向量为单位向量，且， 所以，即， 化简得， 因为向量的夹角， 所以. 故选：B. 3．D 【分析】在平面中过作，连接，根据题设中的数量积可得的轨迹为以为直径的球面，故可求与平面所成角正切值的最大值. 【详解】 在平面中过作，连接， 则四边形为平行四边形，且， 故与平面所成角即为与平面所成的角. 而，故， 故即即，故， 不妨设的边长为， 则的轨迹为以为直径的球面（除去平面中以为直径的圆），如图， 设为的中点，连接， 当在球面上且平面平面时，与平面所成的角最大且为， 此时，故， 故此时， 故选：D. 4．C 【分析】设，，求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式可求得的最值，即可得出合适的选项. 【详解】因为，不妨设，， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故有最大值. 故选：C. 5．A 【分析】设单位向量，则，，利用两向量夹角的余弦公式写出，通过两次换元法及基本不等式将化简为，最后判断函数的单调性从而确定使得取得最小值时的y的值. 【详解】设单位向量，则，因为，所以， ，令， 则， 令，当且仅当时取等号， 则，函数在上单调递增，当时，取得最小值，取到最大值， 此时，. 故选：A 6．C 【分析】由数量积的运算律结合向量垂直得到向量夹角的余弦值，再利用基本不等式和同角的三角函数关系可得. 【详解】由题意，得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 又由同角的平方和为1，所以． 故选：C． 7．C 【分析】根据,可得，即可根据坐标运算以及夹角公式得，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解. 【详解】设， 由得，故,因此， 故， 由于 ，则， 则， 令， 故在上单调递增，由于， 故当在上恒成立，在上恒成立， 故在单调递减，在单调递增， 故当时，取到极小值也是最小值，因此 因此， 故由于恒成立，故， 故选：C 8．B 【分析】由有实根，可得，再结合向量的夹角公式和可求得，从而可求出两向量的夹角范围. 【详解】因为关于的方程有实根， 所以，所以， 因为均是非零向量，且， 所以， 因为， 所以， 故选：B. 9．C 【分析】根据题意设，， 与的夹角为，利用三角形面积公式，结合向量数量积求法，得到，根据的取值范围即可求解. 【详解】设，，所以， 因为，所以，所以可设，， 与的夹角为， 若，， 则知，， 即，，， 则当最大时，最大，即最小，即此时， 当且仅当时成立. 故选：C 10．A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 11．C 【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角. 【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， ，，， ，，三者直接各自的夹角都为锐角， ，，， ，，即在上的投影为1，在上的投影为3， ，，如图 ， 即，且 则， 由基本不等式得， ， 与的夹角为锐角， ， 由余弦函数可得：与夹角的取值范围是， 故选：C. 12． 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 13． 【分析】先设直线方程再联立方程结合数量积公式应用韦达定理再应用齐次式得出离心率范围即可. 【详解】由题意知，所以，得到，， 设，，直线的斜率不为零，设其方程为，代入， 得， 由韦达定理，得 则. 由于，两点均在的右支上，故. 所以，又恒为锐角，所以恒成立，即， 所以对恒成立.因为， 所以当时，，所以， 又，所以，所以， 又，所以，所以，所以，即. 故答案为： 14．/ 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆，再由直线与圆相切，可得的最大值． 【详解】因为， 所以，所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：    由图可知，当与圆相切时，取得最大值， 因为，，所以，即的最大值为． 故答案为： 15．/-0.5 【分析】根据条件可知是直角三角形,进而可以建立直角坐标系,根据点的坐标得向量的坐标,由向量的坐标运算可得的表达式,进而根据三角函数求最值. 【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得， 设P的坐标为，所以，，，又， 所以，所以，，所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为： 16． 【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，    不妨设，，则，， 由可得，即， ∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上， 同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上． 显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大． 设圆心为，则，∴，则， ∴， 设与轴交于点，由对称性可知轴，且， ∴， 即当与的夹角最大时， 故答案为： 17． ； . 【分析】根据不等式，即可直接求得的最大值；设，将与的夹角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围. 【详解】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为； 不妨设，满足； 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 令，故， 根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当或时，，故，又，故. 故答案为：；. 18．(1)2 (2)16 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得． 【详解】（1）由已知，得， 设，的夹角为，由， 可得，即，又，所以， 所以； （2）， ，当且仅当， 即时等号成立． 所以的最小值是16． 19．(1) (2)当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 【分析】（1）根据题意得，从而可求得的范围，进而即可求得的范围； （2）在（1）的条件下，由函数，再利用正弦函数的定义域和值域，即可求得函数的最值及对应的的值． 【详解】（1）因为为向量与的夹角，，，关于x的一元二次方程有实根， 所以，则，故． （2）在（1）的条件下，由函数， 由，则， 故当，即时，函数取得最小值，且最小值为； 当，即时，函数取得最大值，且最大值为． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $