微专题5　平面向量的基本运算及应用专项训练-2026届高三数学二轮复习

微专题5　平面向量的基本运算及应用 近几年高考：1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算,难度中低档; 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义,难度中低档. 一、高考真题 1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos <a+b,a-b>=(　　) A. B. C. D. 3.(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则真风为(　　) 等级 风速大小(单位:m/s) 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 4.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  5.(2025·天津卷)△ABC中,D为AB中点,=,=a,=b,则=　　　　(用a,b表示);若||=5,AE⊥CB,则·=　　　　.  二．典型例题 1.平面向量的线性运算 例1 (1)(2025·许昌质检)在平行四边形ABCD中,点E,F,G分别满足=,=2,=2,则=(　　) A.- B.+ C.- D.+ (2)(2025·福州段考)如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,点N在边AC上,且=,BN与CM交于点E,若=λ+μ,则λ,μ满足(　　) A.λ+μ= B.=2 C.λ-μ= D.= 易错提醒　1.平面向量加减运算求解的关键是:对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”;对平面向量减法抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化. 2.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化. 训练1 (1)(2025·北京东城区质检)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　) A.- B.-- C.+ D.-+ (2)(多选)如图所示,已知四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD=AB,E为DC的中点,F为AE的中点,若=λ+μ,则(　　) A.λ= B.μ=2 C.λ= D.μ=1 2.平面向量的数量积 例2 (1)(2025·泰安模拟)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.π (2)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点,CE=3,CB=8,AB=12,则·=　　　　. 易错提醒　1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0,π]. 2.利用基底计算数量积时,要注意选择恰当的基底,常用已知的向量作基底. 训练2 (1)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0,且|a|=2,则(　　) A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=6 D.a·b=4 (2)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E满足2=3,则·=　　　　.  3.平面向量的综合应用 例3 已知ω>0,a=(ωx,-cos ωx),b=(cos ωx,cos ωx),f(x)=a·b,x1,x2是y=f(x)-的两个零点,且|x1-x2|min=π. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α∈,f=,求sin 2α的值. 训练3 (2025·青岛适考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(b-a,c),n=(a+c,b+a), m∥n. (1)求B; (2)若b=2,求AC边上的高的最大值. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 答案　B 2.(2025·重庆部分学校联考)已知向量a=(m,1),b=(0,3),且a⊥(a-b),则m=(　　) A. B.2 C.± D.±2 3.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知向量a=(-1,1),b=(2,0),向量a在向量b上的投影向量c=(　　) A.(-2,0) B.(2,0) C.(-1,0) D.(1,0) 4.(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则·=(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 5.(2025·梅州质检)已知向量a=(sin θ,cos θ),b=(,1),若a·b=|b|,则tan θ=(　　) A. B. C. D. 6.(2025·南京质检)在△ABC中,D是BC上一点,满足=2,M是AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A. B. C. D. 7.(2025·西安质检)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足=2,若AB=AC=6,·=6,则||=(　　) A. B.2 C.12 D.11 8.(2025·石家庄模拟)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是(　　) A.·=· B.·+·=0 C.和是一对相反向量 D.|-++-|=a 二、多选题 9.已知向量a,b不共线,向量a+b平分a与b的夹角,则下列结论一定正确的是(　　) A.a·b=0 B.(a+b)⊥(a-b) C.向量a,b在a+b上的投影向量相等 D.|a+b|=|a-b| 10.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是(　　) A.·=-1 B.+=0 C.|++|= D.在方向上的投影向量的长度为 11.(2025·湘潭适考)记圆O是△ABC的外接圆,且AB=6,AC=4,18=8+3,则(　　) A.2=+ B.·=18 C.△ABC的面积为6 D.圆O的周长为π 三、填空题 12.(2025·温州模拟)平面向量a,b满足a=(2,1),a∥b,a·b=-,则|b|=　　　　.  13.(2025·成都诊断)在△ABC中,AC=4,AB=2,若G为△ABC的重心,则·=　　　　.  14.(2025·镇江调研)大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若D为BE的中点,则△DEF与△ABC的面积比为　　　　;设=λ+μ,则λ+μ=　　　　.  四、解答题 15.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-,),x∈[0,π]. (1)若a⊥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题5　平面向量的基本运算及应用 近几年高考：1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算,难度中低档; 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义,难度中低档. 一、高考真题 1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D 解析　法一　因为b⊥(b-4a), 所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b. 因为a=(0,1),b=(2,x), 所以b2=4+x2,a·b=x, 得4+x2=4x,所以(x-2)2=0, 解得x=2. 法二　因为a=(0,1),b=(2,x), 所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4). 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0, 所以2×2+x(x-4)=0, 所以(x-2)2=0,解得x=2. 2.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos <a+b,a-b>=(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知a+b=(5,3),a-b=(1,-1), 所以cos <a+b,a-b>====. 3.(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则真风为(　　) 等级 风速大小(单位:m/s) 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 答案　A 解析　真风风速对应的向量=视风风速对应的向量-船行风速对应的向量=视风风速对应的向量+船速对应的向量=,如图,||=2∈[1.1,3.3],故选A. 4.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  答案　 解析　由题意得a-b=(1,1-2x), 又a⊥(a-b), 所以a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0, 解得x=1,所以|a|=. 5.(2025·天津卷)△ABC中,D为AB中点,=,=a,=b,则=　　　　(用a,b表示);若||=5,AE⊥CB,则·=　　　　.  答案　a+b　-15 解析　=+=+ =+(-)=+ =a+b. ∵||=5,∴25=, 即900=a2+16b2+8a·b,① 易得=b-a, ∵⊥,∴·=0, 即·(b-a)=0, 得4b2-a2-3a·b=0,② 由①②得2 700=80b2-5a2, ∴16b2-a2=540, ∴·=· =(a2-8b2+2a·b) = =(a2-16b2) =×(-540)=-15. 二．典型例题 1.平面向量的线性运算 例1 (1)(2025·许昌质检)在平行四边形ABCD中,点E,F,G分别满足=,=2,=2,则=(　　) A.- B.+ C.- D.+ (2)(2025·福州段考)如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,点N在边AC上,且=,BN与CM交于点E,若=λ+μ,则λ,μ满足(　　) A.λ+μ= B.=2 C.λ-μ= D.= 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)如图, =-=+-=+- =--=-. (2)由=,得=, 因为M是AB的中点,所以=. 由N,E,B三点共线知,存在实数m满足= m+(1-m)=m+(1-m). 由C,E,M三点共线知,存在实数n满足=n+(1-n)=n+(1-n), 所以m+(1-m) =n+(1-n). 又因为,为不共线的非零向量, 所以 所以=+, 即λ=,μ=. λ+μ=+=,故A不正确; ==2,因此B正确,D不正确; λ-μ=-=,因此C不正确.故选B. 易错提醒　1.平面向量加减运算求解的关键是:对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”;对平面向量减法抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化. 2.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化. 训练1 (1)(2025·北京东城区质检)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　) A.- B.-- C.+ D.-+ (2)(多选)如图所示,已知四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD=AB,E为DC的中点,F为AE的中点,若=λ+μ,则(　　) A.λ= B.μ=2 C.λ= D.μ=1 答案　(1)D　(2)BC 解析　(1)由D为BC中点, 得=(+), 在△ABC中,=-=- =-(+)=-. (2)因为CD∥AB,CD=AB,E为DC的中点,所以=+=-. 因为F为 AE的中点, 所以=2=2(+)=2+2, 所以=2+2- =+2, 所以λ=,μ=2.故选BC. 2.平面向量的数量积 例2 (1)(2025·泰安模拟)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.π (2)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点,CE=3,CB=8,AB=12,则·=　　　　. 答案　(1)C　(2)13 解析　(1)因为(a+b)⊥(3a-2b), 所以(a+b)·(3a-2b)=0, 即3a2+a·b-2b2=0, 则a·b=2|b|2-3|a|2, 又|a|=|b|, 则a·b=2|b|2-3=-|b|2, 所以cos <a,b>= ==-, 又0≤<a,b>≤π,所以a与b的夹角为. (2)法一(坐标法)　建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(12,0),B(0,0),C(0,8),F(6,0), 易知CF==10, 即CE=FC,FE=FC, 所以=+=(6,0)+(-6,8)=, 所以=-=(12,0)-=, 而=, 所以·=×+=13. 法二(基底法)　由法一知=, 且CF==10, 故·=(+)·(+)=· =-=×102-×122=13. 法三(利用极化恒等式)　由法一知||=7, 由极化恒等式知 ·=||2-||2=49-×144=13. 易错提醒　1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0,π]. 2.利用基底计算数量积时,要注意选择恰当的基底,常用已知的向量作基底. 训练2 (1)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0,且|a|=2,则(　　) A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=6 D.a·b=4 (2)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E满足2=3,则·=　　　　.  答案　(1)ABC　(2)-14 解析　(1)因为|a+2b|=|a|, 所以|a+2b|2=|a|2,即a2+4a·b+4b2=a2, 整理可得a·b+b2=0, 再由a·b+a2=0,且|a|=2, 可得a2=b2=4, 所以|b|=2,a·b=-4,A正确,D错误; cos <a,b>==-1, 即向量a,b的夹角<a,b>=π, 故向量a,b共线且方向相反,所以a+b=0,B正确; |a-2b|====6,C正确. (2)由题意,以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2), 所以=(2,0),=(-2,2). 因为2=3,设E(x,y), 则2(x,y-2)=3(2,0),解得E(3,2), 所以=(3,2), 所以·=(3,2)·(-2,2)=-14. 3.平面向量的综合应用 例3 已知ω>0,a=(ωx,-cos ωx),b=(cos ωx,cos ωx),f(x)=a·b,x1,x2是y=f(x)-的两个零点,且|x1-x2|min=π. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α∈,f=,求sin 2α的值. 解　(1)f(x)=ωxcos ωx-cos 2ωx =2ωx- =2ωx-2ωx- =-. ∵x1,x2是函数y=f(x)- =-1的两个零点, 即x1,x2是方程=1的两个实根, 且|x1-x2|min=π,∴T==π,∴ω=1. ∴f(x)=-. 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)f=-=, ∴=. ∵0<α<,∴-<α-<, ∴=. ∵sin α==+=, cos α==-=, ∴sin 2α=2sin αcos α=2××=. 训练3 (2025·青岛适考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(b-a,c),n=(a+c,b+a), m∥n. (1)求B; (2)若b=2,求AC边上的高的最大值. 解　(1)因为m∥n, 所以(b-a)(b+a)=c(a+c), 即a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理得cos B==-, 因为B∈(0,π), 所以B=. (2)由(1)得-ac=a2+c2-12≥2ac-12, 则ac≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立. 设AC边上的高为h, 则S△ABC=acsin B=h, 所以h=ac≤1, 所以AC边上的高的最大值为1. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 答案　B 解析　因为BD=2DA,所以=3, 所以=+=+3 =+3(-) =-2+3=-2m+3n. 2.(2025·重庆部分学校联考)已知向量a=(m,1),b=(0,3),且a⊥(a-b),则m=(　　) A. B.2 C.± D.±2 答案　C 解析　因为a=(m,1),b=(0,3), 所以|a|=,a·b=m×0+1×3=3. 因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0, 即a2-a·b=m2+1-3=0, 解得m=±. 3.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知向量a=(-1,1),b=(2,0),向量a在向量b上的投影向量c=(　　) A.(-2,0) B.(2,0) C.(-1,0) D.(1,0) 答案　C 解析　因为向量a=(-1,1),b=(2,0), 所以向量a在向量b上的投影向量c=·b=(-1,0). 4.(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则·=(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 答案　C 解析　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 正方形ABCD的边长为2, 则A(0,0),C(2,2),D(0,2), 可得=(2,2),=(0,2), 点P满足=(+)=(1,2), 所以·=1×2+2×2=6. 5.(2025·梅州质检)已知向量a=(sin θ,cos θ),b=(,1),若a·b=|b|,则tan θ=(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由a·b=|b|得θ+cos θ=, 又sin 2θ+cos 2θ=1, 故sin 2θ+(-θ)2=1, 即3sin 2θ-2θ+2=0, 解得sin θ=, 故cos θ=-θ=-=, 故tan θ==×=. 6.(2025·南京质检)在△ABC中,D是BC上一点,满足=2,M是AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　=(+)==+, 所以λ=,μ=,则λ+μ=+=. 7.(2025·西安质检)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足=2,若AB=AC=6,·=6,则||=(　　) A. B.2 C.12 D.11 答案　A 解析　因为BD=2DA,所以=. 因为=2,所以E为CD的中点, 则=+ =+ =+(-) =+ =+, 故||= = = ==. 8.(2025·石家庄模拟)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是(　　) A.·=· B.·+·=0 C.和是一对相反向量 D.|-++-|=a 答案　C 解析　A中,因为∠ABC=∠BCD=135°,AB⊥CD,所以·-·=·=0,A正确; B中,因为每条边对应的中心角为45°, 所以∠AOB=45°,∠COF=135°, 所以·+·=||·||cos 45°+||·||cos 135°=||2-||2=0,B正确; C中,方向相反,但长度不等,因此不是一对相反向量,C错误; D中,因为=-,=-, 所以|-++-|=||=a,D正确. 二、多选题 9.已知向量a,b不共线,向量a+b平分a与b的夹角,则下列结论一定正确的是(　　) A.a·b=0 B.(a+b)⊥(a-b) C.向量a,b在a+b上的投影向量相等 D.|a+b|=|a-b| 答案　BC 解析　作向量=a,=b, 在▱OACB中,=a+b,=a-b, 由向量a+b平分a与b的夹角, 得▱OACB是菱形,即|a|=|b|, 对于A,a与b不一定垂直,A错误; 对于B,(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, 即(a+b)⊥(a-b),B正确; 对于C,a在a+b上的投影向量(a+b)=(a+b), b在a+b上的投影向量(a+b)=(a+b)=(a+b),C正确; 对于D,由选项A知,a·b不一定为0, 则|a+b|与|a-b|不一定相等,D错误. 10.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是(　　) A.·=-1 B.+=0 C.|++|= D.在方向上的投影向量的长度为 答案　BCD 解析　因为=, △ABC是等边三角形, 所以CE⊥AB, 所以·=0,A错误; 以E为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示, 所以E(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(0,),D, 设O(0,y),y∈(0,), 则=(1,y),=, 又∥,所以y-=-y, 解得y=, 即O是CE的中点,+=0,所以B正确; |++|=|2+|=||=. 所以C正确; 因为=,=(1,), ==,所以D正确. 11.(2025·湘潭适考)记圆O是△ABC的外接圆,且AB=6,AC=4,18=8+3,则(　　) A.2=+ B.·=18 C.△ABC的面积为6 D.圆O的周长为π 答案　BCD 解析　因为圆O是△ABC的外接圆,所以O是△ABC的外心,O在BC的中垂线上,若O符合2=+,则A也应在BC的中线上,因为AB≠AC,故A错误; 因为O是△ABC的外心,所以O在AB的中垂线上,·=||·||cos ∠OAB==18, 故B正确; 对等式18=8+3,则18·=8·+3·⇒18×18=8×36+3·,解得·=12,故cos A=,sin A=,△ABC的面积为AB×ACsin A=×4×6×=6,故C正确; 由余弦定理可得cos A==, 解得BC=2, 由正弦定理,=2R=, 所以圆O的半径为,其周长为π,故D正确.故选BCD. 三、填空题 12.(2025·温州模拟)平面向量a,b满足a=(2,1),a∥b,a·b=-,则|b|=　　　　.  答案　 解析　设b=λa=λ(2,1)=(2λ,λ). 则a·b=5λ=-, 解得λ=-, 则b=, 所以|b|==. 13.(2025·成都诊断)在△ABC中,AC=4,AB=2,若G为△ABC的重心,则·=　　　　.  答案　4 解析　设BC的中点为D. 因为G为△ABC的重心, 所以==×(+)=(+), =-, 所以·=(+)·(-)=(||2-||2)=(42-22)=4. 14.(2025·镇江调研)大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若D为BE的中点,则△DEF与△ABC的面积比为　　　　;设=λ+μ,则λ+μ=　　　　.  答案　　 解析　如图,连接AE,由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF,且D,E,F分别为BE,CF,AD的中点. 所以S△DEF=S△AEF=S△AFC, S△ABC=S△AFC+S△ABD+S△BCE+S△DEF=7S△DEF, 得=. =(+)=+×(+)=++=++, 所以=+, 所以λ+μ=+=. 四、解答题 15.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-,),x∈[0,π]. (1)若a⊥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解　(1)由题意,得-x+x=0, 所以tan x=, 又x∈[0,π],所以x=. (2)f(x)=a·b=-x+x=2, 因为x∈[0,π],所以x-∈, 所以∈, 所以f(x)∈[-,2], 即f(x)的最大值为2, 此时x-=,则x=; f(x)的最小值为-, 此时x-=-,则x=0. 16.在四边形ABCD中,AB=4,AD=2,对角线AC与BD交于点E,E是BD的中点,且=2. (1)若∠ABD=,求BC的长; (2)若AC=3,求cos ∠BAD. 解　(1)在△ABD中,AB=4,AD=2,∠ABD=, 由正弦定理得=, 所以sin ∠ADB==1, 因为0<∠ADB<π, 所以∠ADB=. 所以BD=2, 所以DE=BE=,AE=. 所以cos ∠AED=cos ∠BEC=. 因为=2,所以EC=. 在△BEC中,由余弦定理得 BC2=BE2+EC2-2BE·EC·cos ∠BEC =2+-2×××=, 所以BC=. (2)法一　因为AC=3,=2, 所以||=2, 在△ABD中,E为BD的中点, 所以+=2, 平方得||2+||2+2·=4||2, 即16+8+2×4×2×cos ∠BAD=16, 解得cos ∠BAD=-. 法二　因为AC=3,=2, 所以AE=2. 设DE=BE=x,在△ABD中,由余弦定理得 cos ∠ADB=. 在△AED中,由余弦定理得 cos ∠ADB=, 所以=, 解得x=2,所以BD=4. 在△ABD中,由余弦定理得 cos ∠BAD===-. 学科网（北京）股份有限公司 $