专题4.2 平面向量的概念及线性运算（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题4.2 平面向量的概念及线性运算 【新高考专用】 题型一 平面向量的基本概念 1．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解题思路】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解. 【解答过程】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 2．（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断. 【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 3．（23-24高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥ ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【解题思路】根据向量的概念判断即可. 【解答过程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度. 故答案为：③⑤⑥. 4．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ③ ． 【解题思路】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合. 【解答过程】①错误．若，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上． 故答案为：③. 题型二 向量的几何表示与向量的模 5．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【解题思路】由正六边形性质可得,进而由向量的加法法则求解即可 【解答过程】由题,可知, 所以, 故选:B. 6．（23-24高一上·河北保定·期末）若平面向量两两所成的角相等，且，则（    ） A．4 B．8 C．4或10 D．10或8 【解题思路】讨论，，共线时和不共线时，分别求出的值． 【解答过程】解：当，，两两所成的角为时，，，共线，； 当，，不共线时，平面向量，，两两所成的角相等，两两所成的角应为， 如图所示： ，且与共线，但方向相反， ． 综上，的值是或． 故选：C． 7．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝ 2 ． 【解题思路】由向量的加法原则求解即可. 【解答过程】因为， 因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以， 所以. 故答案为：2. 8．（23-24高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 【解题思路】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论． 【解答过程】如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则， ，故该船行驶的航程为. 故答案为：． 题型三 向量加、减法的几何意义 9．（2024·广东湛江·一模）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解. 【解答过程】如图所示，可得， 所以. 故选：D． 10．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【解答过程】, 另解：. 故选：B. 11．（23-24高一下·海南·阶段练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，则 . 【解题思路】在与中利用向量加法和减法法则即可作答. 【解答过程】依题意，在中，； 在中，， 所以. 故答案为：. 12．（2024高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是 ③④ ． 【解题思路】根据向量的线性运算逐项分析判断. 【解答过程】对于①：，故①错误； 对于②：，故②错误； 对于③：，故③正确； 对于④：，故④正确； 故答案为：③④. 题型四 向量的线性运算 13．（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案. 【解答过程】原式． 故选：D． 14．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】 结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得. 【解答过程】对A：，故A正确； 对B：由，故，故， 则，故B正确； 对C：由，故， 故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 15．（23-24高一下·吉林白城·阶段练习）化简 . 【解题思路】根据向量的线性运算直接求解即可. 【解答过程】. 故答案为:. 16．（2024高一·全国·课后作业）若向量，，则 . 【解题思路】根据向量的加减与数乘，可得答案. 【解答过程】； ； ； . 故答案为：. 题型五 根据向量线性运算求参数 17．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案. 【解答过程】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. 18．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【解答过程】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C. 19．（2024·贵州·模拟预测）在中，点为边中点，若，则 . 【解题思路】利用平面向量的加减法法则运算即可. 【解答过程】因为点为边中点，所以， 所以，，. 故答案为：. 20．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 1 . 【解题思路】 利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解. 【解答过程】 ，则，， 所以. 故答案为：1. 题型六 向量共线定理及其应用 21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【解答过程】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取“=”号， 故选：B. 22．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【解题思路】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，且， 所以，即， 又，不共线， 所以，解得. 故选：A. 23．（2024·辽宁·模拟预测）已知向量不共线，，若，则 . 【解题思路】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得. 【解答过程】由，不共线，故存在实数，使， 即有，即有， 解得. 故答案为：. 24．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 . 【解题思路】由，得到，从而有，再根据三点共线，得到，然后利用基本不等式求解. 【解答过程】解：因为在中，， 所以， 又因为，则， 因为三点共线，则，结合题意知， 所以， ， 当且仅当，即 时，等号成立， 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 【解题思路】根据向量的定义可得正确的选项. 【解答过程】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量， 余下皆不为向量， 故选：D. 2．（23-24高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【解题思路】根据点到的距离相等可得答案. 【解答过程】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A. 3．（2024·甘肃白银·一模） （   ） A． B． C． D． 【解题思路】由向量的线性运算求出即可； 【解答过程】. 故选：D. 4．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 5．（2024·四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C． D．4 【解题思路】利用向量运算法则得到. 【解答过程】， 因为正方形的边长为1，所以， 故. 故选：C. 6．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可. 【解答过程】如图，由题意,可知是的中点， 所以 ． 故选：C． 7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【解题思路】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解即可. 【解答过程】由，且均不为零向量，则， 可得，则， 整理得，解得或． 故选：C． 8．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断. 【解答过程】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【解题思路】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C. 【解答过程】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC. 10．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断． 【解答过程】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． 11．（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 【解题思路】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可. 【解答过程】因为，所以， 又， 因为、、三点共线，所以， 又，为正实数，所以， 当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确； ， 当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2024·河南·二模）已知不共线，向量，，且，则 ． 【解题思路】根据向量共线定理可知成立，列出方程组，即可得出答案. 【解答过程】因为，所以，使得成立，即. 因为不共线，所以，解得. 故答案为：. 13．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 ②③ .（填序号） 【解题思路】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③. 【解答过程】若，则向量不一定与向量平行，故①不正确； 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点时， 终点都在以为圆心，1为半径的圆上，故②正确； 在菱形中，，与方向相同，故，故③正确. 故答案为：②③. 14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【解题思路】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案. 【解答过程】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 16．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解题思路】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 18．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【解题思路】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【解答过程】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 19．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【解题思路】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【解答过程】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 平面向量的概念及线性运算 【新高考专用】 题型一 平面向量的基本概念 1．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 4．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 题型二 向量的几何表示与向量的模 5．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（23-24高一上·河北保定·期末）若平面向量两两所成的角相等，且，则（    ） A．4 B．8 C．4或10 D．10或8 7．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝ ． 8．（23-24高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 题型三 向量加、减法的几何意义 9．（2024·广东湛江·一模）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·海南·阶段练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，则 . 12．（2024高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是 ． 题型四 向量的线性运算 13．（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·吉林白城·阶段练习）化简 . 16．（2024高一·全国·课后作业）若向量，，则 . 题型五 根据向量线性运算求参数 17．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 18．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·贵州·模拟预测）在中，点为边中点，若，则 . 20．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 题型六 向量共线定理及其应用 21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 22．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 23．（2024·辽宁·模拟预测）已知向量不共线，，若，则 . 24．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 . 一、单选题 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 2．（23-24高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 3．（2024·甘肃白银·一模） （   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 5．（2024·四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C． D．4 6．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 8．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 10．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 11．（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 三、填空题 12．（2024·河南·二模）已知不共线，向量，，且，则 ． 13．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 16．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 18．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 19．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$