上海市高中四大名校2025年高中自主招生考试数学综合测试题

上海市高中四大名校 2025年自主招生考试数学综合浏试题 (考试时间：60分钟；试卷满分：100分) 一、填空题(1-4题每题6分，5-8题每题7分) 1.已知正数a,66d满足号-号=2025，则 b+3d 2.关于x的方程√x2+ax+1=x有实数根，那么a的取值范围是 .实数a和b满足 ja+2b+2a-创=17，则a+b= 3a+b=6 4.一组数据1,2，，4，，6,7，其中有两组数据被涂黑，平均值为4，那么这组数据方差的 最小值为， 5.如图1，正方形ABCD的边长为3，其内部有一个等腰直角三角形EFG,其中 ∠G=90,斜边长为√互，EFG可以在正方形中任意滑动，始终保持 EF垂直于AD,那么这个三角形的重心能扫到的面积为 图1 1 6.如图2，平面直角坐标系xOy中有一菱形OABC,满足∠AOC=60.一反比例函数 y=(k≠0)经过点C且交线段4B于点P,那么 AB 图2 7.如图3，平行四边形ABCD的面积为1，CD=1.AF,CE是平行四边形的两条高.点 P,Q,J的位置如图所示，满足PJQ=CEB,且PF=E2,那么边BC的长为 图3 8.对于正整数a,我们定义：形如？+的数叫作三角形数，且把a+与 2 (n+n+2n叫作连续的三角形数.已知三个正整数a,6c(a<b<c满足a+b, 2 a+c,b+c是三个连续的三角形数，那么a2+b2+c2的最小值是 2 二、解答题(9-10题每愿15分，11题18分) 9.如图4.四边形ABCD内接于圆O,AB为圆O的直径，CD与BA的延长线交于点P. 己知OD/1BC, (1)求证：AD=CD:(7分) (2)若PA=AO=2,求四边形ABCD的面积.(8分) 图4 10.已知函数G:y=ax2+bx+c,G2:y=x+2. (1)若a=1,G,和G,的图像恰有一个交点，求c关于b的函数解析式：(7分) (2)若a=3,b=2k+5,c=3k+2,G与G存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别 为5,5，问：代数式+2：+的值是否和实数k有关说明理由8分) (2+2)(x+1) 11.一直角三角形的边长为a,b,c.其中c为斜边，我们把它叫作初始三角形.现在进 行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为a,c,√a2+c2与b,c,Vb+c2. 现在，对于边长为3,4,5的直角三角形反复进行上述的变换. (1)第二次变换后，能够获得4个不同的直角三角形.问：这4个直角三角形中有几个 直角三角形最小角的正切值小于二？(8分) (2)第七次变换后，能够获得254个不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知 这254个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的 三角形？说明理由.(10分) 3