6.5相似三角形的性质同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

6.5相似三角形的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，相似比为，则对应边的中线比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D． 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（   ） A． B． C． D． 5．已知与相似，，，，，，则与的相似比为（　　） A．2 B． C． D． 6．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．在中，直线点交于点，交于点，那么能推出的条件是（    ）． A．， B．， C．， D．， 8．⊿ABC中,AB=63,BC=15,AC=49，和它相似的三角形的最短边是5，则最长边是(    ) A．18 B．21 C．24 D．17 9．如图，在中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，下列结论错误的是（    ） A．AB2＝BD•BC B．AC2＝DC•BC C．AD2＝BD•DC D．BC2＝AB•AC 10．如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，，且交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．如图，在△ABC中，D为BC中点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接EC，已知BC＝6，AD＝2，且S△CDE＝，则点A到DE的距离为 ． 14．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为 ． 15．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，则 ， ．   16．如图，在平面直角坐标系中，点A(0，1)，点B为直线y=x上的一个动点，∠ABC＝90°，BC=2AB，则OC的最小值为 ． 17．已知在中，，点、分别在边、上，，，如果与相似，那么的长等于 ． 三、解答题 18．已知：如图在中，为的平分线，交于，以点为圆心，线段的长为半径画弧与边交于点，连结． （1）求证：． （2）当点E在AD边的延长线上时，若，求线段的长． 19．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？    20．如图，已知△ABC中，AB=12，BC=8，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为． （1）根据题意确定D、E的位置，画出简图； （2）求AD、AE和DE的长． 21．如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 22．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为 ； (2)当△BPQ与△COQ相似时，求t的值； (3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时． ①求k的值； ②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标． 23．如图，，，轴，与直线交于点，轴于点，是折线上一点．设过点，的直线为．    （1）点的坐标为________；若所在的函数随的增大而减小，则的取值范围是________； （2）当时，求的解析式； （3）若与线段有交点，设该交点为，是否存在的情况？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 24．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F． (1)求证：△AEF∽△CBF； (2)若BE⊥AC，求AE：ED． 《6.5相似三角形的性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B B B A B D D 题号 11 12 答案 B D 1．A 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比． 相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可． 【详解】解：与的相似比为， ∴与对应边上中线的比是， 故选：A． 2．B 【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得． 【详解】、，且为边的中线， ，， 将沿边上的中线平移得到， ， ， 则，即， 解得或（舍）， 故选． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 3．A 【分析】根据相似的性质，得到对应边成比例，代值求解即可． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 故选A 【点睛】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可． 4．B 【分析】根据角平分线、中点及平行线的性质，得出FD=ED= FB，设FD=ED= FB=x，再根据△CEF∽△CAB，得出x的值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠FBD ∵EF∥AB ∠FDB=∠ABD ∴∠FDB=∠FBD ∴△FBD为等腰三角形 ∴FB=FD ∵D为线段EF的中点 ∴FD=ED ∴FD=ED= FB 设FD=ED= FB=x ∴EF=2x ∵EF∥AB ∴△CEF∽△CAB ∴ ∴ 即 解得：x= ∴CF=8-BF=8-= EF=2×= ∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8 ∴AC==6 在Rt△CEF中 CE= = ∴AE=AC-CE=6-= 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性质，勾股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及利用方程解决实际问题． 5．B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形相似比等于对应边之比求解即可得到答案； 【详解】解：∵与相似，， ∴与是对应边， ∴与相似比为， 故选B． 6．B 【详解】∵△RPQ∽△ABC， ∴，即， ∴△RPQ的高为6． 故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处． 故选B． 7．A 【分析】根据各个选项的条件只要能推出或，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定证明即可． 【详解】A、∵， ∴， ∵， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC，故本选项正确； B、根据，，不能推出三角形相似，故本选项错误； C、根据和，不能推出三角形相似，故本选项错误； D、根据，，不能推出三角形相似，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，关键是推出△ADE∽△ABC． 8．B 【详解】答：⊿ABC中最短边为15；最长边为63；设相似三角形的长边为 X：故可知： 所以：5/15=X/63 X=21 故选B 9．D 【分析】根据相似三角形的性质对选项A、B、C进行判断；利用等面积法对选项D进行判断． 【详解】解：如图，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB＝90°， ∴△ADB∽△CAB， ∴,即AB2＝BD•BC， 同理可知， AC2＝DC•BC，AD2＝BD•DC，故选项A、B、C正确，不符合题意． AC•AB＝BC•AD，即BC•AD＝AB•AC． 只有当AD＝BC时BC2＝AB•AC才能成立，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质进行证明推理． 10．D 【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论. 【详解】由题意可得，，所以， 故选D. 【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若，则说明点A的对应点为点，点B的对应点，点C的对应点为点. 11．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理与性质定理得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 12．D 【分析】①四边形是矩形，，则，又，于是； ②由，又，所以，故可得； ③过D作交于N，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论； ④由，推出，设，推出，，，，推出，故⑤正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ∵于点F， ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图，过D作交于N， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴垂直平分， ∴，故③正确； ， ， 设， ，，，， 故④正确； 正确的个数为4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例． 13．． 【分析】过点E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H，由将△ABD沿AD折叠得到△AED，可得，可证，由D为BC中点，BC=6，可求，由S△CDE＝，可求，在Rt△EDF中，由勾股定理，可求FC=，在Rt△ECF中，由勾股定理，可证，可得 ，可求即可 【详解】解：过点E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H， ∵将△ABD沿AD折叠得到△AED， ∴， ∴AD为∠BDE的平分线， ∵EF⊥BC于F，AG⊥DE于G， ∴， ∵D为BC中点，BC=6， ∴， ∵S△CDE＝， ∴， ∴， 在Rt△EDF中，由勾股定理， ∴FC=DC-DF=3-， 在Rt△ECF中，由勾股定理， ∵DE=DC， ∴， 由外角性质，， ∴， ， ∴， ∴即， ∴， ∴AG=， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键． 14． 【分析】结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点，， ， ， ， 解得， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 15． 【分析】根据三角形一边的平行线定理可直接得到答案． 【详解】 ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查三角形一边的平行线定理，关键是由平行得到三角形的相似，进而根据相似三角形的性质可得． 16． 【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小． 【详解】连接OC，在△AOC中， OC<OA+AC或OC>AC-OA 故求OC最短，即求AC最短 由题意知：∠ABC=，BC=2AB且点A(0，1)， 设AB=m，BC=2m，AC= m 根据点到直线的距离可知，m最小= ． 此时AB⊥直线y=x，点C在直线上 ∴BC= 作BD⊥OA与点D， 在△ABD和△BOD中 ∴△DOB∽△OBA ∴ 又∵AB=m= ∴OB= ∴OC= 故答案为． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键． 17．或 【分析】根据题意由勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】∵AC=4，BC=3，∠C=90°， ∴AB==5， 当△APQ∽△ABC时， ，即， 解得，AP=； 当△APQ∽△ACB时， ，即， 解得，AP=， 故答案为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键． 18．（1）见解析；（2）6 【分析】（1）由画图可知BE=BD，得到∠BED=∠BDE，结合角平分线的定义得到∠BAD=∠DAC，从而证明△ABE∽△ACD； （2）同理证明△ABE∽△ACD，得到，从而可得AE的长． 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 又∵BE，BD是以B为圆心，BD为半径的圆的半径， ∴BE=BD， ∴∠BED=∠BDE， ∴∠AEB=∠ADC， ∴△ABE∽△ACD； （2）如图， 同理：△ABE∽△ACD， ∴， 又∵AD=3，BD=BE=4，CD=2， ∴， 解得：AE=6， ∴AE的长为6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，解题的关键是证明△ABE∽△ACD． 19．或 【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案． 【详解】解：设经秒钟与相似， 则，， ，， ， 是公共角， ①当，即时，， 解得：； ②当，即时，， 解得：， 经过2或秒钟与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 20．（1）两种情况，图见解析；（2）第一种情况：AD=4，AE=2，DE=；第二种情况：AD=2，AE=4，DE= 【分析】本题考查了的是相似三角形的性质. （1）根据题意直接画出图形； （2）利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：（1）如图． （2）当DE∥BC时，如图1， 根据相似三角形的相似比可得，△ADE∽△ABC， ∴ 即 解得AD=4，AE=2，DE=． 当△ADE∽△ACB， 即时， 如图2， 解得：AD=2，AE=4，DE=． 21．(1) (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可； （2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 22．(1)3 (2)当△BPQ与△COQ相似时，t的值为或 (3)①；②当以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（，0） 【分析】（1）由点，的运动速度，可找出当时点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式可求出此时的面积； （2）由可知分两种情况考虑，①当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值；②当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值．综上，此问得解； （3）①由题意可得出点，的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于，的方程，解之即可得出结论； ②由①可得出点，的坐标，分为边及为对角线两种情况考虑：当为边时，利用平行四边形的性质可求出值，进而可得出点的坐标，由点，重合可得出此种情况不存在；当为对角线时，利用对角线互相平分可求出的值，进而可得出点，的坐标．综上，此问得解． 【详解】（1）当时，点的坐标为，点的坐标为， ，， ． 故答案为：3； （2）当运动时间为秒时，，，． 与相似，， 分两种情况考虑： ①当时，，即， 解得：，， 经检验，，是原分式方程的解，符合题意， ； ②当时，，即， 解得：，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ； 综上所述：当与相似时，的值为或． （3）①依题意，得：点的坐标为，点的坐标为． 反比例函数的图象经过点、两点， ， ， ． ②由①可知：点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，点的坐标为，． 分两种情况考虑： 当为边时，， ， 点的坐标为，此时点，重合，不符合题意， 此种情况不存在； 当为对角线时，， ， 点的坐标为，，点的坐标为，． 综上所述：当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，． 【点睛】本题考查了三角形的面积、相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）找出当时点，的坐标；（2）利用相似三角形的性质，找出关于的方程；（3）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于，的方程组；②分为边及为对角线两种情况，利用相似三角形的性质求出点，的坐标． 23．（1） ， （2） （3）不存在，理由见解析 【分析】（1）将y＝4代入中可求出点C的坐标，由一次函数的性质结合l所在的函数随x的增大而减小，可得出点P在线段CD上且纵坐标小于2，进而可得出PD的取值范围； （2）由中位线的性质可得出点P的坐标，根据点B、P的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式； （3）利用相似三角形的性质求出OE的范围，进而即可得出OE≠OB． 【详解】（1）当y＝4时，有＝4， 解得：x＝6， ∴点C的坐标为（6，4）； ∵l所在的函数随x的增大而减小， ∴点P在线段CD上，且纵坐标小于2， ∴0≤PD＜2． 故答案为：，; （2）∵，点为线段的中点， ∴点为线段的中点，即． 设直线的解析式为， 将，代入， 得 解得 ∴的解析式为． （3）不存在，理由如下： 连接，交于点，如图， 当点在上时，与线段有交点，且， ∴， ∴， ∴，即． 而， ， ， ∴． 【点睛】相似三角形的性质与判定，一次函数的综合题，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质． 24．(1)见解析 (2)1：3 【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF； （2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，则DE=x，从而可计算出AE：DE． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF； （2）设AB=x，则BC=2x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°， ∵BE⊥AC， ∴∠AFB=90°， ∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠ABF=∠ACB， ∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA， ∴△ABE∽△BCA， ∴，即， ∴AE=x， ∴DE=AD-AE=， ∴AE：DE==1：3． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $