第一章 数列 章末整合提升-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

一、求数列的通项公式

数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一，主要方法有：

(1)定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求数列的通项的方法，这种方法用于已知数列类型的题目．

(2)前n项和作差法

若已知数列{an}的前n项和Sn与an的关系式，求数列{an}的通项公式可用an＝求解，能合则合．

(3)由递推公式求数列通项法

①累加法：已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑用累加法求an.

②累乘法：已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，可考虑用累乘法求an.

③构造法：利用an＋1与an的关系构造新的数列(等差或等比数列)，常用待定系数法．

角度1　定义法

[题组训练]

1．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝        ．

解析　由an＋1an＝an＋1－an，得1＝－，

所以－＝－1.

所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，

所以an＝－(n∈N＋).

答案　－

2．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，则bn＝        ．

解析　∵{an}是等差数列，

∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d，

又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，

∴a＝a5a13，

即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)，

解得d＝2a1.

设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝＝，又b2＝b1q＝5，即b1＝5，

解得b1＝3，

∴bn＝3·.

答案　3·

角度2　前n项和作差法

[题组训练]

1．(多选题)(2025·浙江湖州高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则下列说法正确的有(　　)

A．{Sn}为等比数列

B．{an}为等比数列

C．Sn＝4n-1

D．an＝

解析　由an＋1＝3Sn得，当n≥2时，an＝3Sn－1，

两式相减得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an，又当n＝1时，a2＝3S1＝3a1＝3，所以a1＝1，

所以an＝

所以B错误，D正确；

当n≥2时，Sn＝1＋＝4n-1，

当n＝1时，S1＝1，符合Sn＝4n-1，

所以Sn＝4n-1，

又n≥2时，＝4，所以{Sn}为等比数列，A，C正确．

故选ACD.

答案　ACD

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝        ．

解析　依题意得，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.

当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式，

所以an＝

答案　

角度3　累加法、累乘法

[题组训练]

1．(2025·湘豫名校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(＋1)Sn＝nSn－1＋an(n≥2且n∈N＋)，若Sk＝，则k等于(　　)

A．46    B．49

C．52    D．55