第一章 数列 章末达标检测-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

[时间：120分钟　满分：150分]

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等差数列{an}中，a9＝a12＋3，则数列{an}的前11项和S11＝(　　)

A．21　　 B．48　　　

C．66　　 D．132

解析　设等差数列的公差为d，则a1＋8d＝(a1＋11d)＋3，化简得a1＋5d＝6，即a6＝6，所以S11＝＝11a6＝66，故选C.

答案　C

2．在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a5＋a7＋a9＋a11＝20，则a1＝(　　)

A．    B．   

C．2    D．4

解析　由a5＋a7＝(a1＋a3)q4＝q4，a9＋a11＝(a1＋a3)q8＝q8，得q8＋q4＝20，所以q4＝4或q4＝－5(舍)，即q2＝2或q2＝－2(舍).因为a1＋a3＝a1＋a1q2＝3a1＝1，所以a1＝，故选B.

答案　B

3．有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是把996斤绵分给8个孩子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比相邻年龄大的多17斤绵，那么第8个孩子分到的绵是(　　)

A．174斤    B．184斤

C．180斤    D．181斤

解析　设第8个孩子分到的绵是a1斤，第(9－n)(1≤n≤8)个儿子分到的绵是an斤，则{an}构成以a1为首项，－17为公差的等差数列，S8＝8a1＋×(－17)＝996，解得a1＝184.

答案　B

4．(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　)

A．－20    B．－18

C．16    D．18

解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

因为a3，a4，a6成等比数列，且a1＝－2，

所以a＝a3a6，即(－2＋3d)2＝(－2＋2d)(－2＋5d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，

所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16.

故选C.

答案　C

5．数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，则数列{ban}的前n项和Sn＝(　　)

A．(4n-1－1)    B．(4n－1)

C．(4n-1－1)    D．(4n－1)

解析　数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，

则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，

故an＝2n－1，bn＝2n-1，

则ban＝22n-2＝4n-1，

所以Sn＝1＋4＋…＋4n-1＝＝(4n－1)，故选D.

答案　D

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n+1－2，若∀n∈N＋，λan≤4＋S2n恒成立，则实数λ的最大值是(　　)

A．3    B．4   

C．5    D．6

解析　因为数列{an}的前n项和Sn＝2n+1－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n+1－2)－(2n－2)＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2满足上式．所以an＝2n(n∈N＋)，又∀n∈N＋，λan≤4＋S2n恒成立，所以∀n∈N＋，λ≤恒成立，令bn＝＝＝＝2n+1＋，则bn＋1－bn＝－＝2n+1－>0对任意n∈N＋显然都成立，所以

bn＝2n+1＋单调递增，因此(bn)min＝b1＝22＋＝5，即的最小值为5，所以λ≤5，即实数λ的最大值是5.

答案　C

7．设正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项积为Tn，且Sn＋2Tn＝1，则a5＝(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．    D．

解析　当n＝1时，S1＋2T1＝a1＋2a1＝3a1＝1，解得a1＝；当n≥2时，由Sn＋2Tn＝1得＋2Tn＝1，即Tn＋2Tn·Tn－1－Tn－1＝0，∴－＝2，∴数列是以＝＝3为首项，2为公差的等差数列，∴＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即Tn＝，

∴当n≥2时，Sn＝＝＝.

经检验，S1＝a1＝满足Sn＝，

∴Sn＝(n∈N＋)，∴a5＝S5－S4＝－＝，故选B.

答案　B

8．(2025·齐齐哈尔八中高二期末)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前7项依次为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第20项为(　　)

A．324    B．325

C．362    D．399

解析　设该数列为{an}，则由a2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝5－2＝3，a4－a3＝10－5＝5，a5－a4＝17－10＝7，…可知该数列逐项之差构成的数列{bn}成等差数列，首项为1，公差为2，故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，故an＋1－an＝bn＝2n－1，则a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－an－1＝2n－3，上述n－1个式子相加，得an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝