第一章 教考衔接2 数列开放型问题-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　　　　　　　

一、真题展示

(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

二、真题溯源

[教材P46B组第6题]

若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝－1，b1＝2，a3＋b2＝－1，试写出一组满足条件的数列{an}和{bn}的通项公式．

三、类法探究

《中国高考评价体系》指出，命题结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题，增强试题的开放性和探究性，引导学生打破常规，进行独立思考和判断，提出解决问题的方案，体现了新高考试题的“应用性”，开放性和探究性问题在近几年的高考中多次考查．

　(1)写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝        ；

(2)已知数列{an}满足an＋1>an，且其前n项和Sn满足Sn＋1<Sn，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式an＝        ．

[解析]　(1)要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3<a3，即a1＋a2<0.

又d＝2，

则不妨设a1＝－4，a2＝－2，

则an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N＋，an＋1>an，说明数列是递增数列；

Sn＋1<Sn，说明数列项为负数；

故数列的通项公式可以为an＝(－1)·或an＝－(答案不唯一)

[答案]　(1)2n－6(答案不唯一)

(2)(－1)·或－(答案不唯一)

该类题目结论不唯一，题目难度较小，主要考查数列的基本概念和性质．　

　在等比数列{an}中，公比q>0，其前n项和为Sn，且S2＝6，        ．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝logan2，且数列{cn}满足c1＝1，cn＋1－cn＝bn＋1bn，求数列{cn}的通项公式．

从①S4＝30，②S6－S4＝96，③a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．

[解析]　(1)若选①S4＝30.

由S2＝6及S4＝30，得a1＋a2＝6，

a1＋a2＋a3＋a4＝30，

两式相减，得a3＋a4＝24，

即q2(a1＋a2)＝24，

所以q2＝4，由q>0，得q＝2，

代入a1＋a2＝6，得a1＋2a1＝6，

解得a1＝2，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

若选②S6－S4＝96.

因为S6－S4＝a5＋a6＝96，a1＋a2＝6，

所以a1q4＋a1q5＝96，a1＋a1q＝6，

两式相除，得q4＝16，

结合q>0，得q＝2，

所以a1＋2a1＝6，解得a1＝2，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

若选③a3是S3与2的等差中项．

由a3是S3与2的等差中项，得2a3＝S3＋2，

则2a3＝a1＋a2＋a3＋2，

由a1＋a2＝6，得a3＝8，

由通项公式，得a1＋a1q＝6，a1q2＝8，

消去a1，得3q2－4q－4＝0，

结合q>0，解得q＝2，