第一章 高考新风向(一) 数列与函数、不等式的创新融合-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

[类型解读]

数列与函数、不等式的交汇创新是高考的热点与难点，着重考查函数与方程思想、转化与化归思想、逻辑推理、数学建模等高阶思维能力．

数列与函数综合问题：数列是一种特殊的函数，解决数列问题常以构成数列的函数为载体，结合函数性质解题．解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．

数列与不等式综合问题：以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题；考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．

[典例剖析]

(2025·浙江杭州三模)已知数列{an}的前n项和Sn满足4an－2Sn＋n2－3n－4＝0，n∈N＋，数列{bn}满足b1＝1，2nbn＋1＝anbn，n∈N＋.

(1)求证：数列{an－n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)求证：bn＋1＞bn≥3－.

[信息提取]　第(1)问：已知an与Sn的等量关系式，证明{an－n}为等比数列，并求an.

第(2)问：已知b1＝1，2nbn＋1＝anbn.利用第(1)问结论，证明不等式成立．

[加工转化]　第(1)问：利用an与Sn的关系得an＝2an－1－n＋2(n≥2)→整理变式，利用定义得证→求an；

第(2)问：用作差法得bn＋1＞bn→bn＋1－bn＝·bn→bn－b1≥＋＋…＋→利用错位相减法得证．

[深度解析]　(1)当n＝1时，a1＝3；

当n≥2时，

4an－1－2Sn－1＋(n－1)2－3(n－1)－4＝0，

则4(an－an－1)－2an＋2n－4＝0(n≥2)，

整理得an＝2an－1－n＋2(n≥2)，

所以an－n＝2.又a1－1＝2≠0，故an－n≠0，

所以＝2，

即数列{an－n}是首项为2，公比为2的等比数列，