第一章 高考新风向(一) 数列与函数、不等式的创新融合-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦数列与函数、不等式的交汇创新这一高考热点，系统梳理数列作为特殊函数的性质、不等式恒成立与证明的转化方法，通过类型解读构建知识联系，典例剖析展示等比数列证明及错位相减等解题技巧，进阶训练强化综合应用，形成完整学习支架。 资料以核心素养为导向，通过信息提取、加工转化培养数学思维（如逻辑推理），借助函数思想分析数列问题发展数学眼光，利用放缩法、错位相减等方法提升数学语言表达能力。典例与进阶训练结合，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

[类型解读] 数列与函数、不等式的交汇创新是高考的热点与难点，着重考查函数与方程思想、转化与化归思想、逻辑推理、数学建模等高阶思维能力． 数列与函数综合问题：数列是一种特殊的函数，解决数列问题常以构成数列的函数为载体，结合函数性质解题．解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解． 数列与不等式综合问题：以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题；考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明． [典例剖析] (2025·浙江杭州三模)已知数列{an}的前n项和Sn满足4an－2Sn＋n2－3n－4＝0，n∈N＋，数列{bn}满足b1＝1，2nbn＋1＝anbn，n∈N＋. (1)求证：数列{an－n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求证：bn＋1＞bn≥3－. [信息提取]　第(1)问：已知an与Sn的等量关系式，证明{an－n}为等比数列，并求an. 第(2)问：已知b1＝1，2nbn＋1＝anbn.利用第(1)问结论，证明不等式成立． [加工转化]　第(1)问：利用an与Sn的关系得an＝2an－1－n＋2(n≥2)→整理变式，利用定义得证→求an； 第(2)问：用作差法得bn＋1＞bn→bn＋1－bn＝·bn→bn－b1≥＋＋…＋→利用错位相减法得证． [深度解析]　(1)当n＝1时，a1＝3； 当n≥2时， 4an－1－2Sn－1＋(n－1)2－3(n－1)－4＝0， 则4(an－an－1)－2an＋2n－4＝0(n≥2)， 整理得an＝2an－1－n＋2(n≥2)， 所以an－n＝2.又a1－1＝2≠0，故an－n≠0， 所以＝2， 即数列{an－n}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an－n＝2n，所以an＝2n＋n. (2)由题意得bn＋1＝bn，所以bn＋1与bn同号． 又b1＝1>0，所以bn>0，所以bn＋1－bn＝·bn>0，即bn＋1>bn， 所以数列{bn}为递增数列，所以bn≥b1＝1， 则bn＋1－bn＝·bn≥， 所以bn－b1＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)≥＋＋…＋. 令Tn－1＝＋＋…＋　①， 则Tn－1＝＋＋…＋　②， ①－②得Tn－1＝＋＋＋…＋－＝－＝1－， 所以Tn－1＝2－， 所以bn≥b1＋Tn－1＝3－. 综上，bn＋1>bn≥3－. [进阶训练] 数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，满足：a1＋b1＝8，a2＋b2＝18，b1＋b3＝30，6bn＋1＝bn＋2＋9bn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记为{cn}，求{cn}的通项公式； (3)记数列的前n项和为Sn，证明：Sn<. (1)解析　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由6bn＋1＝bn＋2＋9bn可得6qbn＝q2bn＋9bn， 易知bn≠0，所以q2－6q＋9＝0，解得q＝3. 由b1＋b3＝30可得b1(1＋q2)＝30，可得b1＝3. 由a2＋b2＝18可得a1＋d＋b1q＝18， 又a1＋b1＝8，所以a1＝5，d＝4. 因此可得an＝a1＋(n－1)d＝4n＋1，bn＝b1qn-1＝3n.所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝4n＋1，bn＝3n，n∈N＋. (2)解析　{an}和{bn}的公共项需满足4n1＋1＝3n2，n1，n2∈N＋， 可得n1＝，即3n2－1是4的整数倍， 可知3n2－1＝9－1＝(8＋1)－1，由二项式定理可知(8＋1)－1若是4的倍数，则为正整数，即n2＝2n，n∈N＋，所以可得cn＝32n＝9n，即{cn}的通项公式为cn＝9n，n∈N＋. (3)证明　易知＝， 显然9n－8>9n-1对任意n≥2，n∈N＋都成立， 所以＝<对任意n≥2，n∈N＋都成立， 即Sn＝＋＋…＋＝1＋＋…＋<1＋＋…＋＝1＋ ＝1＋×＝－×<， 即Sn<. 学科网（北京）股份有限公司 $