2.4 导数的四则运算法则-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　导数的四则运算法则

4．1　导数的加法与减法法则

4．2　导数的乘法与除法法则

已知f(x)＝x，g(x)＝，Q(x)＝x＋，

H(x)＝x－.

　求f(x)，g(x)的导数．

[提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－.

　求Q(x)，H(x)的导数．

[提示]　令y＝Q(x)＝x＋，因为Δy＝(x0＋Δx)＋－＝Δx＋，

所以＝1－.

当Δx趋于0时，得Q(x)在x＝x0处的导数，

所以Q′(x0)＝ ＝

＝1－，

所以导数Q′(x)＝1－.

同理H′(x)＝1＋.

　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何运算关系？

[提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．

　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？

[提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1，

所以[f(x)g(x)]′＝0，

而f′(x)g′(x)＝1×＝－.

　′＝对吗？

[提示]　不对，因为＝＝x2，

所以′＝2x，而＝＝－x2.

◎结论形成

导数的四则运算法则

[拓展]

1．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x).

2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数．

3．函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)′＝.(　　)

(2)若f(x)＝f′(1)ln x，则f′(x)＝.(　　)

(3)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)

(4)当g(x)≠0时，′＝－.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．(2024·福建连城一中高二月考)函数f(x)＝x2＋2sin x，则f′(1)等于(　　)

A.1－2cos 1　　　　 B．2－2cos 1

C．1＋2cos 1    D．2＋2cos 1

解析　因为f(x)＝x2＋2sin x，所以f′(x)＝2x＋2cos x，所以f′(1)＝2＋2cos 1.

答案　D

3．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)

A．e    B．e2

C．    D．ln 2

解析　由f(x)＝x ln x，得f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.由f′(x0)＝2，得ln x0＝1，则x0＝e.

答案　A

4．已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝        ．

解析　因为f′(x)＝＝(x≠0)，所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得

＋＝0，解得x0＝.

答案　

题型一　利用运算法则求函数的导数 

　[教材例1、例3、例4、例5迁移]求下列函数的导数．

(1)y＝x sin x；