2.4 导数的四则运算法则-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的四则运算法则这一核心知识点，前承基本初等函数导数公式，后接复杂函数求导及切线问题应用。通过具体函数实例（如f(x)=x与g(x)=1/x的和差导数计算）构建认知支架，引导学生从特殊到一般抽象法则。 资料以问题链驱动探究，如通过辨析乘法法则的错误假设培养批判性思维，体现数学思维。题型分层设计（基础判断、综合应用、切线问题），结合规范答题示例，提升数学运算与逻辑推理能力。课中辅助教师引导学生自主建构知识，课后通过巩固题和提能题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

　导数的四则运算法则 4．1　导数的加法与减法法则 4．2　导数的乘法与除法法则 学业标准 素养目标 1.结合实例，了解导数四则运算法则的推导过程．(难点) 2．掌握导数的四则运算法则并能熟练应用． 1.借助实例，概括导数的四则运算法则，培养数学抽象等核心素养． 2．通过导数四则运算法则的应用，提升数学运算等核心素养． 导学 导数的四则运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝，Q(x)＝x＋， H(x)＝x－. 　求f(x)，g(x)的导数． [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－. 　求Q(x)，H(x)的导数． [提示]　令y＝Q(x)＝x＋，因为Δy＝(x0＋Δx)＋－＝Δx＋， 所以＝1－. 当Δx趋于0时，得Q(x)在x＝x0处的导数， 所以Q′(x0)＝ ＝ ＝1－， 所以导数Q′(x)＝1－. 同理H′(x)＝1＋. 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何运算关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1， 所以[f(x)g(x)]′＝0， 而f′(x)g′(x)＝1×＝－. 　′＝对吗？ [提示]　不对，因为＝＝x2， 所以′＝2x，而＝＝－x2. ◎结论形成 导数的四则运算法则 运算 法则 语言叙述 加减 运算 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)． 乘法 运算 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地，[Cf(x)]′＝Cf′(x)，C∈R 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数． 除法 运算 ′＝． 其中g(x)≠0 两个函数商的导数等于分母上的函数乘分子的导数，减去分子乘分母的导数所得的差除以分母的平方． [拓展] 1．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x). 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数． 3．函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝.(　　) (2)若f(x)＝f′(1)ln x，则f′(x)＝.(　　) (3)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (4)当g(x)≠0时，′＝－.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(2024·福建连城一中高二月考)函数f(x)＝x2＋2sin x，则f′(1)等于(　　) A.1－2cos 1　　　　 B．2－2cos 1 C．1＋2cos 1 D．2＋2cos 1 解析　因为f(x)＝x2＋2sin x，所以f′(x)＝2x＋2cos x，所以f′(1)＝2＋2cos 1. 答案　D 3．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．e B．e2 C． D．ln 2 解析　由f(x)＝x ln x，得f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.由f′(x0)＝2，得ln x0＝1，则x0＝e. 答案　A 4．已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝ ． 解析　因为f′(x)＝＝(x≠0)，所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得 ＋＝0，解得x0＝. 答案　 题型一　利用运算法则求函数的导数 　[教材例1、例3、例4、例5迁移]求下列函数的导数． (1)y＝x sin x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝； (4)y＝－2x. [解析]　(1)y′＝(x)′sin x＋x(sin x)′ ＝sin x＋x cos x. (2)法一　y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11. 法二　因为y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， 所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (3)法一　y′＝′ ＝ ＝＝. 法二　因为y＝＝＝1－， 所以y′＝′＝－′ ＝－＝. (4)y′＝′＝′－(2x)′ ＝－2x ln 2 ＝－2x ln 2. 对一个函数求导时，要紧扣导数的四则运算法则，联系基本初等函数的导数公式．当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．　 [触类旁通] 1．(1)已知f(x)＝ex－x2，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(a)＝f(a)，则a的值为 ． (2)求下列函数的导数． ①y＝x-2＋x2；②y＝3xex－2x＋e； ③y＝；④y＝x2－4sin cos . 解析　(1)由题意得f′(x)＝ex－ex，则由f′(a)＝f(a)得ea－ea＝ea－a2，解得a＝0或a＝2. (2)①y′＝2x－2x-3. ②y′＝(ln 3＋1)(3e)x－2x ln 2. ③y′＝＝. ④∵y＝x2－4sin cos ＝x2－2sin x， ∴y′＝2x－2cos x． 答案　(1)0或2　(2)略 题型二　导数公式与运算法则的综合应用 角度1　利用导数求函数解析式 　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，则f(x)的解析式为 ． (2)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值． [解析]　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1). 令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)， 即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝－2x. (2)f′(x)＝－. 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，f(1))， 则f(1)＝1，f′(1)＝－，即b＝1，－b＝－， 解得a＝1，b＝1. [答案]　(1)f(x)＝－2x　(2)略 1．确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数． 2．利用待定系数法可确定a，b的值． 完成题目的前提是熟练应用导数的运算法则．　 角度2　与切线有关的问题 　[教材例2、例6拓展]已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使△ABP的面积最大． [解析]　因为|AB|为定值，所以要使△PAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，即要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可，设P(x0，y0).由图知，点P在x轴下方的图象上， 所以y＝－2，所以y′＝－. 因为kAB＝－，所以－＝－，x0＝4. 由y＝4x0(y0＜0)，得y0＝－4， 所以点P(4，－4). 利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标，另外也可利用函数的方法求点P的坐标，运用配方法的思想求出最值．　 [触类旁通] 2．(1)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x2－x·f′(3)，则f(1)＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．－2 C．2 D．3 (2)若曲线y＝有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为(　　) A． B． C． D． (3)已知f(x)＝x3－－a. ①若a＝0，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程； ②若过点P(－1，0)的直线l与曲线f(x)在x＝1处相切，求实数a的值． 解析　(1)因为f(x)＝x2－x·f′(3)， 所以f′(x)＝2x－f′(3)， 令x＝3，得f′(3)＝6－f′(3)，所以f′(3)＝3， 所以f(x)＝x2－3x，则f(1)＝－2.故选B. (2)设y＝f(x)＝，则f′(x)＝，设切点为，则f′(x0)＝， 所以切线方程为y－＝· (x－x0)，又该切线过原点，所以0－＝(0－x0)， 整理得ax＋x0＋1＝0　①， 因为曲线y＝f(x)只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故Δ＝1－4a＝0，解得a＝.故选A. (3)①当a＝0时，f(x)＝x3－， 则f′(x)＝3x2＋， 所以f(1)＝－1，f′(1)＝5， 所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＋1＝5(x－1)，即5x－y－6＝0. ②由f(x)＝x3－－a，得f′(x)＝3x2＋， 因为直线l与曲线f(x)在x＝1处相切，所以直线l的斜率k＝f′(1)＝5， 又k＝＝f(1)＝－－， 所以－－＝5，解得a＝－11， 故实数a的值为－11. 答案　(1)B　(2)A　(3)略 [缜密思维提能区] 规范答题 求曲线的切线方程 [典例]　(13分)已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？ [审题指导]　 ———— [规范解答]　(1)把x＝1代入C的方程，求得 y＝－4. 所以切点为(1，－4).(2分) 因为y′＝12x3－6x2－18x， 所以切线斜率为k＝12－6－18＝－12.(5分) 所以切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即y＝－12x＋8①.(7分) (2)由 得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，(9分) 所以(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0， 所以x1＝1，x2＝－2，x3＝.(11分) 分别代入y＝－12x＋8， 求得y1＝－4，y2＝32，y3＝0. 即公共点为(1，－4)(切点)，(－2，32)，. 所以除切点外，还有两个交点(－2，32)和.(13分) 知识落实 技法强化 (1)导数的运算法则． (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． (1)要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误； (2)利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． [必备知识·基础巩固] 1．(2025·河南商丘部分学校高二联考)已知函数f(x)＝x＋4sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．5x－y＝0　　　　 B．5x＋y＝0 C．x－5y＝0 D．x＋5y＝0 解析　f′(x)＝1＋4cos x，f(0)＝0，f′(0)＝5，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝5x，即5x－y＝0.故选A. 答案　A 2．(2025·广州高二月考)曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，因为f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1，故选C. 答案　C 3．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 解析　f′(x)＝， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 答案　A 4．(多选题)直线y＝x＋b可以作为下列函数图象的切线的有(　　) A．y＝＋x B．y＝ C．y＝－x3＋x2 D．y＝ex－x 解析　因为直线y＝x＋b的斜率为1，根据导数的几何意义，判断选项中的导数值能否为1. A．y′＝－＋1＝1，无解，故A不正确； B．y′＝＝1，解得x＝1，故B正确； C．y′＝－3x2＋2x＝1，即3x2－2x＋1＝0，Δ<0，无解，故C不正确； D．y′＝ex－1＝1，解得x＝ln 2，故D正确．故选BD. 答案　BD 5．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为 ． 解析　f′(x)＝若f′(a)＝12，则或 解得a＝或a＝－4. 答案　或－4 6．已知f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝ ． 解析　对f(x)求导， 得f′(x)＝2x＋2f′， f′＝2×＋2f′， 所以f′＝. 答案　 7．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝ ． 解析　因为y′＝(ax＋a＋1)ex， 所以当x＝0时，y′＝a＋1， 所以a＋1＝－2，所以a＝－3. 答案　－3 8．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f(x)的图象相切，如图所示，求函数g(x)＝xf(x)在点(3，g(3))处的切线方程． 解析　因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图象可知f(3)＝1，又点(3，1)在直线l上， 所以3k＋2＝1，从而k＝－， 所以f′(3)＝k＝－， 因为g(x)＝xf(x)， 所以g(3)＝3f(3)＝3， g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0， 即函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零， 所以函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为y＝3. [关键能力·综合提升] 9．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的人，在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，在(a，b)上f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凹函数”．则下列函数在(0，2π)上是“凹函数”的是(　　) A．f(x)＝x－sin x B．f(x)＝x2＋sin x C．f(x)＝x＋ln x D．f(x)＝ex－x ln x 解析　对于A，f′(x)＝1－cos x，f″(x)＝sin x，当x∈(π，2π)时，f″(x)<0，不符合题意； 对于B，f′(x)＝2x＋cos x，f″(x)＝2－sin x>0在(0，2π)上恒成立，符合题意； 对于C，f′(x)＝1＋，f″(x)＝－<0，不符合题意； 对于D，f′(x)＝ex－ln x－1，f″(x)＝ex－，则f″＝e－e<0，不符合题意．故选B. 答案　B 10．(多选题)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ 解析　在A中，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，故A符合要求； 在B中，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝＝ ln ＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求； 在C中，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，作出y＝ln x，y＝(x>0)的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求； 在D中，若f(x)＝，则f′(x)＝－，令＝－，可得x＝－1，故D符合要求．故选ACD. 答案　ACD 11．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x). (1)则f(1)＋f′(1)的值为 ． (2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为 ． 解析　(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. (2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0时导函数f′(x)＝2ax＋存在零点， 即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0). 答案　(1)3a＋1　(2)(－∞，0) 12．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝ ． 解析　法一　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0， 将x＝0代入切线方程y＝2x＋5， 可得y＝2×0＋5＝5， 所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上， 所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 故答案为4. 法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)， 则解得a＝4. 故答案为4. 答案　4 13．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x). (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值； (2)若存在曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝1＋，g′(x)＝－， 所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1) ＝3， 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a. 由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以a＝－3. (2)由题意，得1＋＝－(x>0)， 则a＝－x－≤－2， 当且仅当x＝时，等号成立，故实数a的取值范围为(－∞，－2]. [学科素养·探索创新] 14．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝ ． 解析　因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， 所以f′(0)＝84＝212＝4 096. 答案　4 096 15．(2025·河北衡水高二联考)设f(x)＝sin x－x cos x，求证：曲线f(x)在点P处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1. 证明　∵f＝1，∴P，又f′(x)＝cos x－cos x＋x sin x＝x sin x，∴切线斜率k＝f′＝，∴曲线f(x)在点P处的切线方程为y－1＝·，即y＝x＋1－，当x＝0时，y＝1－；当y＝0时，x＝－.∴S＝·＝，由3.1<π<3.2，得49.6<16π<51.2，5.6<π2－4<6.3，31.4<(π2－4)2<39.7，∴0.6<<0.8，即S＝<1.故命题得证． 学科网（北京）股份有限公司 $