第2章 5 简单复合函数的求导法则(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦简单复合函数（形如f(ax+b)）的求导法则这一核心知识点，前承基本函数求导，后启复杂复合函数及导数应用。通过实际问题引入，构建“概念定义-法则推导-例题解析-跟踪训练”的学习支架，帮助学生逐步掌握。 该资料以商品利润等现实情境引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过问题链引导探究复合函数关系及求导法则，发展数学思维。结合潮水高度、切线问题等实例，强化数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后拓展内容助力学生查漏补缺。

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 $5简单复合函数的求导法则 【基础落实】 知识点 1.f(p(x))u2.(u)p'(x)a·(u) 想一想 1.提示：函数y=ln(2x十5)，y=sin(x十2)是复合函数，函数y=2x+5+lnx不是复合函数. 2.提示：设u=2x十5，则y=lnu,从而y=ln(2x+5)可以看作是由y=lnu和u=2x+5,经过“复 合”得到的，即y可以通过中间变量表示为自变量x的函数. 自我诊断 1.(1)×(2)√(3)√ 2.Bf(x)=-2sim2x-3,f(变)=-2sin元-3=-3. 3.-2e解析：f(x)=-2e2x+3,f(1)=-2e,即k=-2e. 【典例研析】 【例1】解：(1)令u=1-3x,则y=产=4， 所以yw=一4u-5,x=-3. 12 所以y=y4·=125=1-3x. (2)令u=x2,则y=cosu, 所以yx=y4·ux=-sinu·2x=-2 xsinx2. (3)令u=2x十1，则y=log24, 2 2 所以yx=y,·x=位=2x+1n2· 跟踪训练 解： (1)函数y=可以看作函数y=后和M=3x十1的复合玉数， 2 所以yx=y·tx=（云)·(3x+1)= (2)…3=-3r=-3(3x+1. (2)函数y=(1一2x)3可以看作函数y=3和u=1一2x的复合函数， 所以yx=y'4·x=(3)'·(1-2x)=-62=-6·(1-2x)2 (3)函数y=ln(2x+1)可以看作函数y=lnu和u=2x十1的复合函数， 1/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 所以y=y·,=(1n)·(2x+1)=合=2 2 (4)函数y=cos号可以看作函数y=cosu和u=号的复合函数， 所以yx=yw·ux=(cosu)'·（等)=-3simu=-青sin. (5)函数y=22x+1可以看作函数y=2u和u=2x+1的复合函数， 所以y%x=y·ux=（2u)'·(2x+1)'=2·2w·ln2=2·22x+1·ln2=22x+2·ln2. 【例2】解：设∫(x)=3simx,x=0(t)=t+钙， 所以y'()=fx)φ'()=3cosx…五=平cos(t+钙)， 将1=18代入s'(t),得s'(18)=平cos号=晋(mh). s'(18)表示当t=l8h时，潮水的高度上升的速度为晋mh. 跟踪训练 DDa0e·00,f4地故D 【例3】(1)A(2)2解析：(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(xo,yo)处的切线与直线 2x-y十3=0平行.“y=,.当x=0时，y=27=2,解得0=1，∴%=h(2-1)=0,即 2-0+31 切点坐标为(1,0).“切点(1,0)到直线2x一y十3=0的距离为d=件=5，即曲线y=n (2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是V5 (2)令y=f(x),则曲线y=em在点(0,1)处的切线的斜率为(0)，又，切线与直线x十2y 十1=0垂直，∴.f(0)=2..f(x)=ear,∴.f(x)=(er)'=ear·(ax)'=ae,∴.f(0)=ae0 =a,故a=2. 母题探究 1.解：由题意可知，设切点P(xo,yo), 则当x=xo时，y'=2x=2,0=1,即切点P(1,0）, :-25,好袋m=8友-12 即实数m的值为8或一12. 当m=8时，直线2x一y+8=0与曲线y=ln(2x一1)相离，符合题意； 当m=一12时，直线2x一y一12=0与曲线y=ln（2x一1)相交，不符合题意，舍去.故m=8. 2.解：由题意可知，切线方程为y一1=2x. 2/3 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即2x-y+1=0. 令x=0得y=1;令y=0得x=-支 ∴曲线的切线与坐标轴围成的面积为S=×是×1= 跟踪训练 2x一y=0解析：设x>0,则一x<0,f(一x)=ex-1+x.又f(x)为偶函数，f(x)=f(一x) =e-1+x.所以当x>0时，f(x)=e-1+x.因此，当x>0时，f(x)=e-1+1,(1)=e0+1 =2.则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为(1)=2，所以切线方程为y一2=2(x一 1),即2x-y=0. 随堂检测 1.A因为f(x)=sin2x十e2x,所以P(x)=2cos2x十2e2x.故选A. 2.Bf(x)=2-,故f(0)=是-0=是， 3.2解析：法-令e=t,则x=lntf(e*)=x十e*,f(t)=lnt十t,f(t)=+l,f (1)=1+1=2. 法二求导，得[f(e)]'=f(ex)e=1+ex,令x=0,得(e0)=f(1)=1+e0=2. 4.解：f(x)=(晋)sin3x十cos3x,f(x)=f(晋)·3cos3x-3sin3x,令x=晋可得f(晋)= fr(晋)×3cos骨-3sim骨=/()-3×，解得/（晋）=3V5. 3/3 ·独家授权侵权必究· §5　简单复合函数的求导法则 能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算）. 　　假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x. 　　那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60（60－3x）－（60－3x）2＝180x－9x2. 　　上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－[g（x）]2＝180x－9x2. 【问题】　（1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？ （2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察f'（u）和u'＝g'（x）的关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点　复合函数及求导法则 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝φ（x）＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f（u）和u＝φ（x）的复合函数，记作y＝　　　　，其中　　　为中间变量. 2.简单复合函数的求导法则 y'x＝[f（φ（x））]'＝　　　　，其中u＝φ（x）.特别地，当u＝ax＋b时，y'x＝　　　　. 　　提醒：复合函数导数的求解技巧：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数. 【想一想】 1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？ 2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f（x）＝2x2－是复合函数.（　　） （2）y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成.（　　） （3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1.（　　） 2.设f（x）＝cos 2x－3x，则f'＝（　　） A.－5　　B.－3　　C.－4　　D.－ 3.曲线f（x）＝e－2x＋3在（1，f（1））处的切线的斜率是　　　　. 题型一｜简单复合函数求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝cos x2； 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 （3）y＝log2（2x＋1）. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求复合函数的导数的步骤 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝（1－2x）3； （3）y＝ln（2x＋1）； （4）y＝cos； （5）y＝22x＋1. 题型二｜复合函数导数的应用问题 【例2】　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s（t）＝3sin（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　将复合函数的求导与导数的实际意义相结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况. 【跟踪训练】 某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的关系可近似地表示为y＝f（t）＝，则在时刻t＝41 min的降雨强度为（　　） A.2 mm/min　　　　　　 B.4 mm/min C. mm/min D. mm/min 题型三｜与复合函数有关的切线问题 【例3】　（1）曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（　　） A. B.2 C.3 D.0 （2）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 1.（变条件、变设问）本例（1）的条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值. 2.（变设问）本例（2）中的问题改为“求曲线的切线与坐标轴围成的面积”. 通性通法 解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法 　　正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 【跟踪训练】 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是　　　. 1.已知f（x）＝sin 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　） A.2cos 2x＋2e2x　　　　　B.cos 2x＋e2x C.2sin 2x＋2e2x D.sin 2x＋e2x 2.设f（x）＝ln（3x＋2）－3x2，则f'（0）＝（　　） A.1 B. C.－1 D.－2 3.设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f'（1）＝　　　　. 4.已知函数f（x）的导函数f'（x），若f（x）＝f'sin 3x＋cos 3x，求f'的值. 1.奇偶性 （1）若函数f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），两边对x求导，得f'（－x）＝f'（x），所以导函数f'（x）为偶函数. 如图①所示，曲线在点A，B处的切线斜率相等，即f'（－a）＝f'（a）. 于是我们得到：奇函数的导数是偶函数. 例如，y＝sin x是奇函数，y'＝cos x是偶函数. （2）若函数f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导，得f'（－x）＝－f'（x），所以导函数f'（x）为奇函数. 如图②所示，曲线在点A，B处的切线斜率互为相反数，即g'（a）＝－g'（－a）. 于是我们得到：偶函数的导数是奇函数. 例如，y＝x2是偶函数，y'＝2x是奇函数. 　　 2.对称性 （1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（a＋x）＝f（a－x），两边对x求导，得f'（a＋x）＋f'（a－x）＝0，所以导函数f'（x）的图象关于点（a，0）对称. 于是有：若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则导函数f'（x）的图象关于点（a，0）对称. （2）若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则f（a＋x）＋f（a－x）＝2b，两边对x求导，得f'（a＋x）＝f'（a－x），所以导函数f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 于是有：若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则导函数f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 3.周期性 若函数f（x）为周期函数，则f（x＋T）＝f（x）（T≠0）.两边对x对导，得f'（x＋T）＝f'（x）.所以导函数f'（x）仍为周期函数. 提示：完成课后作业　第二章　§5 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $