2.4.1-2.4.2 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的四则运算法则这一核心知识点，在学生掌握基本初等函数导数公式的基础上，通过问题导入引导发现加减乘除法则，再结合例题解析、跟进训练逐步深化应用，为后续复合函数求导等内容搭建学习支架。 该资料以问题驱动激发探究，如通过4个对比问题验证法则成立与否，培养数学运算素养。分层设计例题、训练及课时作业，结合教材原题与跨知识综合题（如等比数列结合求导），课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

§4　导数的四则运算法则 4.1　导数的加法与减法法则 4.2　导数的乘法与除法法则 学习任务 核心素养 1．掌握导数的四则运算法则．(重点) 2．能利用导数的四则运算法则求导函数．(重点、难点) 通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数学运算素养． 已知函数f (x)＝x，g(x)＝x2． 问题1：[f (x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g′(x)吗？ [提示]　等于． 问题2：[f (x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x)吗？ [提示]　等于． 问题3：[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)·g′(x)吗？ [提示]　不等于． 问题4：′＝吗？ [提示]　不等于． 　导数的运算法则 若两个函数f (x)和g(x)的导数分别是f ′(x)和g′(x)，则 两个函数的 和的导数 [f (x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g′(x) 两个函数的 差的导数 [f (x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x) 两个函数的 积的导数 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x) 特别地，[kf (x)]′＝kf ′(x)，k∈R 两个函数的 商的导数 ′＝，g(x)≠0 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)[2f (x)]′＝2f ′(x)． (　　) (2)′＝． (　　) (3)′＝－． (　　) (4)(sin 2x)′＝2cos 2x． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列求导运算中正确的是(　　) A．′＝1＋ B．(lg x)′＝ C．(ln x)′＝x D．(x2cos x)′＝－2xsin x B　[′＝1－，故A错误；(ln x)′＝，故C错误；(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错误．故选B．] 3．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． y＝4x－3　[函数的导数为f ′(x)＝3ln x＋1＋x×＝3ln x＋4， 所以在(1，1)处的切线斜率为k＝4， 所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3．] 类型1　利用导数的运算法则求导数 【例1】　求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x2＋log3x； (3)y＝x2·sin x； (4)y＝． [思路点拨]　结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [解]　(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5． (2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋． (3)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2x·sin x＋x2·cos x． (4)y′＝ ＝＝． 　　解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量． [跟进训练] 1．设f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． D　[f ′(x)＝3ax2＋6x，∴f ′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝．] 类型2　导数与曲线的切线问题 【例2】　【链接教材P68例2】 已知函数f (x)＝x3＋x－16． (1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． [解]　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f (x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13． ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32． (2)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f ′(x0)＝＋1， ∴直线l的方程为y＝＋x0－16， 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝＋x0－16， 整理得＝－8，∴x0＝－2． ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13． ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 【教材原题·P68例2】 求曲线y＝x3－在点(1，0)处的切线的方程． [解]　首先求出函数y＝x3－在x＝1处的导数． 函数y＝x3－是函数f (x)＝x3与g(x)＝的差，由导数公式表分别得出 f ′(x)＝3x2，g′(x)＝－． 根据求导的减法法则，可得 ′＝(x3)′－′＝3x2－＝3x2＋． 将x＝1代入导数，得 3×1＋＝4． 即曲线y＝x3－在点(1，0)处的切线斜率为4，从而其切线的方程为 y＝4(x－1)，即y＝4x－4． 　　1．求曲线在某点处的切线方程的步骤 2．求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，然后根据其他条件列方程，求出切点，再求切线方程． [跟进训练] 2．若曲线f (x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________． 2　[因为f ′(x)＝sin x＋xcos x， 所以f ′＝sin cos ＝1． 又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－， 所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2．] 类型3　与导数运算有关的综合问题 【例3】　在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f (x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 C　[∵f (x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)， ∴f ′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)， ∴f ′(0)＝(－a1)(－a2)…(－a8)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝84＝212．] 　　求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [跟进训练] 3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N＋，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 025＝________． 1　[f2(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x， 以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)， 又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0， ∴f1＋f2＋…＋f2 025＝f1＝1．] 1．设f (x)＝x ln x，若f ′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．e2　　　　B．e　　　　C．　　　　D．ln 2 B　[由题意得f ′(x0)＝1＋ln x0＝2，解得x0＝e．] 2．若函数f (x)＝ex cos x，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为(　　) A．0 B．锐角 C．直角 D．钝角 D　[由已知得f ′(x)＝ex cos x－ex sin x ＝ex(cos x－sin x)． ∴f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)． ∵>1>， 而由正、余弦函数性质可得cos 1<sin 1， ∴f ′(1)<0．即f (x)在(1，f (1))处的切线的斜率k<0． ∴切线倾斜角是钝角．] 3．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________． 4　[设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y′＝ex＋1，所以＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4．] 4．(教材P73习题2－4A组T3改编)曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为________． 2x－y＋1＝0　[y′＝3x2－1，当x＝1时，y′＝2，此时k＝2，故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0．] 5．已知函数f (x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R．若曲线y＝f (x)在点P(2，f (2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f (x)的解析式． [解]　f ′(x)＝1－，由导数的几何意义得f ′(2)＝3，于是a＝－8． 由切点P(2，f (2))在直线y＝3x＋1上， 可得f (2)＝2－＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9． 所以函数f (x)的解析式为f (x)＝x－＋9． 运用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则时，要认真分析函数解析式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量将函数化成和或差的形式，避免运用积或商的求导法则，这样可以简化运算过程． 课时分层作业(十四)　导数的四则运算法则 一、选择题 1．已知函数f (x)＝，则该函数的导函数f ′(x)＝(　　) A．　　　　　　 B． C． D．2x－cos x B　[由题意可得 f ′(x)＝ ＝，故选B．] 2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 B　[∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，y′＝3x2－6x，∴当x＝1时，y′＝－3，该点处切线的斜率为k＝－3， ∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2．] 3．若过函数f (x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] 　 B．(－∞，2) C．(2，＋∞)　 D．(0，＋∞) B　[设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f ′(x)＝＋a，故f ′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2．] 4．若f (x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)＞0的解集为(　　) A．(0，＋∞)　 B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞)　 D．(－1，0) C　[∵f (x)＝x2－2x－4ln x， ∴f ′(x)＝2x－2－，又f ′(x)＞0， 整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2， 又∵f (x)的定义域为(0，＋∞)， ∴x＞2．] 5．函数f (x)＝在点(x0，f (x0))处的切线平行于x轴，则f (x0)等于(　　) A．－ B． C． D．e2 B　[与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f ′(x0)＝＝＝0，故x0＝e， 所以f (x0)＝．] 二、填空题 6．函数y＝x的导数为________． 3x2＋　[y＝x＝x3＋1－，y′＝3x2＋．] 7．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f (x)＝2xf ′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________． － 　[由f (x)＝2xf ′(e)＋ln x，得f ′(x)＝2f ′(e)＋，则f ′(e)＝2f ′(e)＋⇒f ′(e)＝－．] 8．设函数f (x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x)，且f (ln x)＝2x－ln x，则f ′(1)＝________． 2e－1　[因为f (ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et，所以f (t)＝2et－t，即f (x)＝2ex－x， 所以f ′(x)＝2ex－1，因此f ′(1)＝2e－1．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)求下列函数的导数： (1)y＝x3ex； (2)y＝． [解]　(1)y′＝(x3ex)′ ＝(x3)′ex＋x3(ex)′ ＝3x2ex＋x3ex． (2)y′＝′ ＝＝ ＝． 10．偶函数f (x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f (x)的解析式． [解]　∵f (x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1． 又∵f (x)为偶函数， ∴f (－x)＝f (x)， 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e． ∴b＝0，d＝0．∴f (x)＝ax4＋cx2＋1． ∵函数f (x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点为(1，－1)． ∴a＋c＋1＝－1．① ∵f ′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1．② ∴由①②得a＝，c＝－． ∴函数f (x)的解析式为f (x)＝x4－x2＋1． 11．曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ C　[由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C．] 12．f (x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f (x)，g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则f (x)与g(x)满足(　　) A．f (x)＝g(x) B．f (x)＝g(x)＝0 C．f (x)－g(x)为常数函数 D．f (x)＋g(x)为常数函数 C　[由f ′(x)＝g′(x)，得f ′(x)－g′(x)＝0，即[f (x)－g(x)]′＝0，所以f (x)－g(x)＝c(c为常数)．] 13．(多选题)已知曲线f (x)＝2x－ln x在点(1，f (1))处的切线与曲线g(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且只有一个公共点，则实数a的值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 AC　[由f ′(x)＝2－，得f ′(1)＝1．而f (1)＝2，∴f (x)＝2x－ln x在(1，f (1))处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0．又x－y＋1＝0与曲线g(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且只有一个公共点， ∴ax2＋(a－1)x－1＝x＋1，整理得ax2＋(a－2)x－2＝0． 当a≠0时，Δ＝(a－2)2＋8a＝0，可得a＝－2；当a＝0时，显然只有一个解，符合题设．∴a＝0或a＝－2．] 14．设函数f (x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f (x)在点P(0，f (0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________． 0　1　[由题意得f ′(x)＝x2－ax＋b， 由切点P(0，f (0))既在函数f (x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得 即 解得b＝0，c＝1．] 15．设函数y＝xsin x＋cos x的图象上的点(x0，y0)处的切线的斜率为k，若k＝g(x0)，则函数k＝g(x0)的图象大致为(　　) 　 A　　　　B　　　　C　　　　D A　[y′＝x cos x⇒g(x0)＝x0cos x0⇒g(x0)为奇函数， ∴可排除B、C，又x0从正方向趋向于0时，g(x0)>0， ∴可排除D．故选A．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $