2.2.2 导数的几何意义-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

2．2　导数的几何意义

　如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？

[提示]　l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线．

　

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋于点A时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么关系？

[提示]　当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB趋近于切线AD，且kAB无限趋近于切线AD的斜率k.

◎结论形成

1．曲线的切线概念

如图，设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l．称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)

在点A处相切．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．

[导学点睛]

1．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，直线l1与曲线只有一个交点，但直线l1不是曲线的切线；直线l2是曲线的切线，但与曲线有两个交点．

2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．(　　)

(2)若直线与曲线相切，则该曲线在切线的一侧．(　　)

(3)一条直线过点P(x0，y0)与曲线y＝f(x)相切，则点P(x0，y0)一定是切点．(　　)

(4)切点一定是切线与曲线的公共点．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)＞f′(xB)　　 B．f′(xA)＜f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)    D．不能确定

解析　分别作出A，B两点处的切线，由图可知kB＜kA，即f′(xB)＜f′(xA).

答案　A

3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝        ．

解析　点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，

所以f(5)＝－5＋8＝3，

且f′(5)＝－1，所以f(5)＋f′(5)＝2.

答案　2

4．函数f(x)＝x2在x＝1处的切线方程为        ．

解析　＝＝2＋Δx，当Δx趋于0时，趋于2，故f′(1)＝2，即x＝1处的切线斜率为2.切点坐标为(1，1)，

故所求的切线方程为y－1＝2(x－1)，

即2x－y－1＝0.

答案　2x－y－1＝0

题型一　求曲线的切线方程