2.2.2 导数的几何意义-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“导数的几何意义”核心知识点，从切线概念切入，通过割线极限过程引出导数几何意义（切线斜率），系统梳理求切线方程（在点处、过点）、切点坐标等题型，结合易错点分析，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过动态割线变切线过程培养直观想象，分层题型（母题变式、触类旁通）提升数学运算，易错案例强化逻辑推理。课中助教师高效授课，课后学生可借知识落实与技法强化查漏补缺，深化对导数几何意义的理解与应用。

2．2　导数的几何意义 学业标准 素养目标 1.了解切线的概念，理解导数的几何意义．(难点) 2．会利用导数的几何意义求简单函数的切线方程．(重点) 1.通过学习切线的概念，培养直观想象等核心素养． 2．通过求切线方程，提升数学运算等核心素养． 导学 导数的几何意义 　如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？ [提示]　l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线． 　 设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋于点A时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么关系？ [提示]　当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB趋近于切线AD，且kAB无限趋近于切线AD的斜率k. ◎结论形成 1．曲线的切线概念 如图，设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l．称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． [导学点睛] 1．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，直线l1与曲线只有一个交点，但直线l1不是曲线的切线；直线l2是曲线的切线，但与曲线有两个交点． 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．(　　) (2)若直线与曲线相切，则该曲线在切线的一侧．(　　) (3)一条直线过点P(x0，y0)与曲线y＝f(x)相切，则点P(x0，y0)一定是切点．(　　) (4)切点一定是切线与曲线的公共点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　　 B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析　分别作出A，B两点处的切线，由图可知kB＜kA，即f′(xB)＜f′(xA). 答案　A 3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝ ． 解析　点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上， 所以f(5)＝－5＋8＝3， 且f′(5)＝－1，所以f(5)＋f′(5)＝2. 答案　2 4．函数f(x)＝x2在x＝1处的切线方程为 ． 解析　＝＝2＋Δx，当Δx趋于0时，趋于2，故f′(1)＝2，即x＝1处的切线斜率为2.切点坐标为(1，1)， 故所求的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. 答案　2x－y－1＝0 题型一　求曲线的切线方程 　[教材例4、例5拓展](1)已知曲线方程为y＝x2，则过点A(2，4)且与曲线相切的直线方程为 ； (2)过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是 ． [解析]　(1)因为＝＝4＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于4， 又点A(2，4)在y＝x2上，所以f′(2)＝4. 所以所求切线的斜率k＝4， 故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3(Δx)2＋2Δx， 当Δx趋于0时，趋于2，故f′(1)＝2， 所以所求直线的斜率k＝2. 则直线方程为y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0. [答案]　(1)4x－y－4＝0　(2)2x－y＋4＝0 [母题变式] 1．(变条件)在本例(1)中若将“点A(2，4)”改为“点B(0，0)”，则结果如何？ 解析　因为＝＝Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于0. 又点B(0，0)在曲线y＝x2上，所以f′(0)＝0， 所以所求切线的斜率k＝0. 故所求切线的方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0. 2．(变条件)在本例(1)中若将“点A(2，4)”改为“点C(3，5)”，则结果如何？ 解析　因为点C(3，5)不在曲线y＝x2上， 所以设切点坐标为(x0，x). 因为＝＝2x0＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于2x0. 所以切线的斜率k＝2x0， 切线方程为y－x＝2x0(x－x0)， 又因为点C(3，5)在切线上， 所以5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或x0＝5. 所以切点坐标为(1，1)，(5，25). 故所求切线方程为 y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 1．求曲线在点P(x0，y0)(点P在曲线上)处切线的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0). (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2．求过曲线外的点P(x1，y1)的切线方程的步骤 (1)设切点为Q(x0，y0). (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0). (3)利用点Q(x0，y0)在曲线上，点P(x1，y1)在切线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0). (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).　 [触类旁通] 1．(1)曲线y＝－在点处的切线方程是(　　) A．y＝x－2　　　　　 B．y＝x－ C．y＝4x－4 D．y＝4x－2 (2)(2025·江苏无锡高二期中)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程是y＝2x－3，则f(2)＋f′(2)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　(1)因为Δy＝－＋＝，＝，当Δx趋于0时，趋于4.所以曲线y＝－在点处的切线斜率k＝f′＝4.所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4. (2)根据题意，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程是y＝2x－3， 即f′(2)＝2，且f(2)＝2×2－3＝1，所以f(2)＋f′(2)＝1＋2＝3.故选C. 答案　(1)C　(2)C 题型二　求切点坐标 　[教材P66习题2－3A组T5拓展]已知抛物线y＝2x2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? [解析]　设切点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. 所以＝4x0＋2Δx. 当Δx趋于零时，趋于4x0.即f′(x0)＝4x0. (1)因为抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， 所以斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， 所以该点为(1，3). (2)因为抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，所以斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2， 所以该点为(2，9). [素养聚焦]　在求切点坐标的过程中，体现了数学运算等核心素养． 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求切线的斜率f′(x0). (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (4)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入f(x)求y0.　 [触类旁通] 2．(1)(多选题)曲线y＝f(x)＝x3在点P处的切线斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1，1)　　　　　　 B．(－1，－1) C．(－2，－8) D．(2，8) (2)若曲线y＝f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是 ． 解析　(1)设点P的坐标为(x0，y0). ＝＝3Δx·x0＋3x＋(Δx)2. 当Δx趋于0时，趋于3x 所以f(x)在P点处的切线的斜率为f′(x0)＝3x， 于是3x＝3，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝1； 当x0＝－1时，y0＝－1.故P点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，故选AB. (2)设P(x0，y0)，则 f′(x0)＝ ＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2. 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0， 所以点P处的切线的斜率为2， 所以2x0＋2＝2，解得x0＝0， 即点P的坐标是(0，0). 答案　(1)AB　(2)(0，0) 题型三　导数的几何意义的综合应用 　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，直线l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积． [解析]　 因为＝ ＝Δx＋3， 所以当Δx趋于0时，趋于3，所以f′(1)＝3， 即直线l1的斜率为3. 所以直线l1的方程为y＝3x－3. 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点B(b，b2＋b－2)， 当Δx趋于0时， 趋于2b＋1， 所以直线l2的斜率为2b＋1. 因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－. 所以直线l2的方程为y＝－x－. 由得 所以直线l1和l2的交点坐标为. l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，. 所以所求三角形的面积S＝××＝. 导数的几何意义综合应用的解题策略 (1)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (2)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．　 [触类旁通] 3．(1)已知函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)为f(x)的导函数，则(　　) A．f(1)－f(0)>f′(1)>f′(0) B．f′(1)>f′(0)>f(1)－f(0) C．f′(0)>f(1)－f(0)>f′(1) D．f′(1)>f(1)－f(0)>f′(0) (2)若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 ． 解析　(1)由导数的几何意义可知，f′(1)和f′(0)分别表示f(x)图象在点(1，f(1))，(0，f(0))处的切线的斜率，所以由图象可知，f′(1)>f′(0)，而f(1)－f(0)＝表示过点(1，f(1))，(0，f(0))的直线的斜率，由图象可知，f′(1)>f(1)－f(0)>f′(0)，故选D. (2)由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝lim ＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝. 答案　(1)D　(2) [缜密思维提能区] 易错案例 求切线方程时忽视点是否在曲线上致误 [典例]　已知抛物线y＝x2＋x＋1，求过原点且与该抛物线相切的直线方程． [错解]　切点即为原点(0，0)， ＝＝1＋Δx. 当Δx趋于0时，趋于1， 故切线的斜率k＝f′(0)＝1， 即所求切线方程为y＝x，即x－y＝0. [正解]　设切点坐标为(x0，y0)，则 ＝ ＝2x0＋1＋Δx. 当Δx趋于0时，趋于1＋2x0， 所以切线的斜率k＝2x0＋1， 故所求的切线方程为y－y0＝(2x0＋1)(x－x0)， 将(0，0)及y0＝x＋x0＋1代入上式得 －(x＋x0＋1)＝－x0(2x0＋1)， 解得x0＝1或x0＝－1，所以k＝3或k＝－1， 所以切线方程为y＝3x或y＝－x， 即3x－y＝0或x＋y＝0. [纠错心得]　错解中没有注意到点(0，0)不在曲线y＝x2＋x＋1上，因此导致错误．避免这种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率才等于函数在该点处的导数值；如果点不在曲线上，应先另设切点，再利用导数的几何意义求解． 知识落实 技法强化 (1)导数的几何意义． (2)求曲线在某点处的切线方程和切点坐标． (3)求曲线过某点的切线方程． 求曲线的切线方程时，要看清题目是“求曲线在某点处的切线方程”，还是“求曲线过某点的切线方程”．前者的切线有且只有一条，而后者有可能有一条或多条． [必备知识·基础巩固] 1．(2025·烟台一中高二月考)若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 解析　由题意知切线过点(1，3)，(0，2)，所以切线的斜率k＝f′(1)＝＝1>0.故选A. 答案　A 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析　将(0，b)的坐标代入切线方程可得0＋b＋1＝0，所以b＝－1. 当Δx趋于0时，趋于a， 所以f′(0)＝a，即a＝－1. 答案　D 3．如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析　曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，所以切线l的方程为y＝－2(x－2).因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C. 答案　C 4．(2025·北京通州区高二期中)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是(　　) A.f1′(x0)>f2′(x0)>f3′(x0)>f4′(x0) B．f1′(x0)>f3′(x0)>f2′(x0)>f4′(x0) C．f4′(x0)>f1′(x0)>f3′(x0)>f2′(x0) D．f1′(x0)>f3′(x0)>f4′(x0)>f2′(x0) 解析　依次作出曲线f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)在x＝x0处的切线，如图所示．根据图中切线的斜率可知f1′(x0)>f2′(x0)>f3′(x0)>f4′(x0).故选A. 答案　A 5．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝ ． 解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3. 答案　3 6．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为 ． 解析　设点M(x0，y0)， 因为＝ ＝1＋2x0＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于1＋2x0， 即M点处切线的斜率为1＋2x0， 令2x0＋1＝3， 所以x0＝1，则y0＝0，所以M(1，0). 答案　(1，0) 7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为 ． 解析　由偶函数的图象关于y轴对称，可知曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率应为－1. 答案　－1 8．已知曲线C：y＝x3.求： (1)曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解析　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， 所以切点为P(1，1). 因为＝＝ ＝3＋3Δx＋(Δx)2， 所以当Δx趋于0时，趋于3， 即f′(1)＝3， 所以点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)由可得(x－1)(x2＋x－2)＝0， 解得x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为P(1，1)或P(－2，－8). 故第(1)小题中的切线与曲线C还有其他的公共点． [关键能力·综合提升] 9．(2024·齐齐哈尔高二检测)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5) B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3) C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5) D．2f′(3)<2f′(5)<f(3)－f(5) 解析　由题图知：f′(3)<<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5). 答案　A 10．(多选题)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)·(x－x0)，那么下列结论正确的有(　　) A．f′(1)＝－5 B．函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线平行或重合于x轴 C．切线斜率的最小值为1 D．曲线f(x)在x＝4处的切线与直线x＋16y－1＝0垂直 解析　由题意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4). 对于A，f′(1)＝(1－2)×(1＋4)＝－5，故A正确； 对于B，f′(2)＝0，故函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线平行或重合于x轴，故B正确； 对于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，故切线斜率的最小值为－9，故C错误； 对于D，f′(4)＝(4－2)×(4＋4)＝16，直线x＋16y－1＝0的斜率为－，16×＝－1，故D正确． 故选ABD. 答案　ABD 11．(2025·河北衡水重点中学联考)已知函数g(x)与f(x)＝x2(x∈[0，＋∞))的图象关于直线y＝x对称，将g(x)的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到h(x)的图象，若P，Q分别为函数f(x)，h(x)图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为 ． 解析　由已知得将直线y＝x先向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得函数f(x)和h(x)图象的对称轴，即直线y＝x－1－1，即y＝x－2， 所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y＝x－2距离的最小值的2倍，易知当点P到直线y＝x－2的距离最小时，f(x)的图象在点P处的切线平行于直线y＝x－2，设P(x0，y0)， 则＝＝＝Δx＋2x0，当Δx→0时，→2x0，故函数f(x)＝x2的图象在P点处的切线斜率为2x0，故2x0＝1，解得x0＝，则y0＝，所以点P到直线y＝x－2距离的最小值为＝，所以P，Q两点之间距离的最小值为2×＝. 答案　 12．已知直线l：y＝4x＋a(a＜0)和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，则a的值为 ，切点坐标为 ． 解析　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， 因为＝ ＝ ＝3x－4x0＋(Δx)2－2Δx＋3Δxx0， 所以当Δx趋于0时，趋于3x－4x0， 即k＝f′(x0)＝3x－4x0， 由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， 所以切点的坐标为或(2，3). 当切点为时， 有＝4×＋a，解得a＝(舍去). 当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5. 答案　－5　(2，3) 13．已知函数f(x)＝x3. (1)求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程； (2)若函数f(x)的图象为曲线C，过点P作曲线C的切线，求切线的方程． 解析　(1)由导函数的概念，得 ＝＝ ＝ ＝ ＝3x(x＋Δx)＋(Δx)2， 当Δx趋于0时，趋于3x2，所以f′(1)＝3， 所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2. (2)设切点为Q(x0，x)，则由第一问得切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x， 切线方程为y－x＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x. 因为切线过点P， 所以2x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝1， 从而切线方程为y＝0或y＝3x－2. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是(　　) A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 解析　A选项，根据图象可知，在t1时刻，两图象相交，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A正确；B选项，根据图象以及导数的知识可知，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，即甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B正确；C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率均为，C正确；D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率大于在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率，D错误．故选ABC. 答案　ABC 15．已知曲线y＝x2＋1，问：是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解析　假设存在实数a满足条件． 设切点坐标为(x0，x＋1)， 由＝＝2x0＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于2x0， 则切线的斜率k＝f′(x0)＝2x0. 由点斜式，得切线方程为y－y0＝2x0(x－x0). 又切线过点(1，a)，y0＝x＋1， 所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)， 即x－2x0＋a－1＝0. 因为切线有两条， 所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，实数a的取值范围是(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $