2.1 平均变化率与瞬时变化率-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平均变化率与瞬时变化率核心知识点，通过高台跳水、质点运动等实例引入，先定义平均变化率（Δy/Δx）并阐释几何（割线斜率）与物理（平均速度）意义，再通过Δx趋近0过渡到瞬时变化率，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以现实情境为载体，通过实例分析、变式训练培养数学抽象（概念形成）、直观想象（几何意义）、数学运算（Δy/Δx计算）等核心素养。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后通过判断题、巩固练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

　平均变化率与瞬时变化率 1．1　平均变化率 1．2　瞬时变化率 学业标准 素养目标 1.了解函数的平均变化率与在某一点的瞬时变化率的概念，理解平均变化率与瞬时变化率的关系．(难点) 2．会求函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率．(重点) 1.通过函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求平均变化率和瞬时变化率，提升直观想象等核心素养． 导学1 平均变化率 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ [提示]　＝＝4.05(m/s). 　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ [提示]　＝＝－8.2(m/s). ◎结论形成 函数的平均变化率 　对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． [拓展] (1)平均变化率的几何意义就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)所在直线的斜率． (2)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝. 导学2 瞬时变化率 　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度． [提示]　＝＝－6－3Δt. 　当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ [提示]　当Δt趋近于0时，趋近于－6，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度． ◎结论形成 瞬时变化率 　对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝ ．如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． [拓展]　 对瞬时变化率的几点说明 (1)在＝中，Δx可正，可负，但不可为0，但Δy可以为0，此时f(x)为常数函数. (2)在＝中，当Δx趋向于0时，也趋于一个定值，与Δx无关． (3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． (4)函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果f(x)在[x1，x2]上的平均变化率等于0，说明函数从x1到x2没有变化．(　　) (2)在平均变化率中，函数值的改变量不能为零．(　　) (3)函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))(x1≠x2)所在直线的斜率．(　　) (4)瞬时变化率刻画的是函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是(　　) A．2.1　　　　　　　 B．0.21 C．1.21 D．12.1 解析　Δx＝1.1－1＝0.1， Δy＝1.12－1－(12－1)＝0.21. 所以函数的平均变化率为＝＝2.1.故选A. 答案　A 3．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷却和加热．如果第x小时时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，则第4小时时，原油温度的瞬时变化率为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．5 解析　因为Δy＝f(4＋Δx)－f(4)＝(4＋Δx)2－7(4＋Δx)＋15－(42－7×4＋15)＝8Δx＋Δx2－7Δx＝Δx2＋Δx， 因为＝Δx＋1.当Δx趋于0时，趋于1. 因此，第4小时时，原油温度的瞬时变化率为1. 答案　B 4．(2025·重庆永川北山中学期末)一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为 ． 解析　Δs＝5×32＋3m－(5×22＋2m)＝25＋m，Δt＝3－2＝1， ∵物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s， ∴＝25＋m＝26，解得m＝1. 答案　1 题型一　函数的平均变化率 　已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． [解析]　自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝. 因为＜，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． [母题变式] 1．(变条件、变结论)计算函数f(x)＝x2在区间[1，1＋Δx](Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为 (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 解析　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx， 所以＝＝Δx＋2. (1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4； (2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3； (3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1； (4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01. 2．(变条件、变结论)若函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围． 解析　因为函数f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝ ＝＝－3－Δx， 所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx＞0， 所以Δx的取值范围是(0，＋∞). [素养聚焦]　在求平均变化率的过程中，体现了数学运算等核心素养． 求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； (3)最后求平均变化率＝.　 [触类旁通] 1．已知函数f(x)＝x2－1，则自变量x由1变到1.1时，f(x)的平均变化率为(　　) A．0.21 B．－0.21 C．2.1 D．－2.1 解析　平均变化率＝＝＝2.1.故选C. 答案　C 题型二　物体的平均速度 　已知某质点按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动，求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度． [解析]　(1)由题意可知Δt＝3， Δs＝s(3)－s(0)＝24， 所以平均速度为＝＝8(m/s). (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， 所以平均速度为＝＝12(m/s). 关于物体的平均速度 (1)如果已知物体运动的轨迹方程，则可以转化为计算函数的平均变化率来求物体运动的平均速度． (2)如果物体的运动轨迹未知，只知道在某些时刻的位移，则可以“以直代曲”，将运动轨迹近似看成直线解决相关的问题．　 [触类旁通] 2．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围． 解析　质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为 ＝＝ ＝4＋Δt. 又≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1. 又Δt>0，所以Δt的取值范围为(0，1]. 题型三　估计瞬时变化率 　高台跳水是世界锦标赛比赛项目之一，运动员在腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t s后运动员相对于水面的高度(单位：m)为H(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，试确定t＝2 s时，运动员的瞬时速度． [解析]　先求运动员在2 s到2.1 s(即t∈[2，2.1])的平均速度为 ＝＝＝ ＝＝－13.59(m/s). 将时间间隔每次缩短为前面的，计算相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改 变量(Δt)/s 高度的改变量 (ΔH)/m 平均速度 /(m/s) 2 2.01 0.01 －0.131 49 －13.149 2 2.001 0.001 －0.013 104 9 －13.104 9 2 2.000 1 0.000 1 －0.001 310 049 －13.100 49 2 2.000 01 0.000 01 －0.000 131 000 49 －13.100 049 2 … … … … 可以看出，当时间趋于t＝2 s时，平均速度趋于－13.1 m/s，因此可以认为t＝2 s时，运动员的瞬时速度为－13.1 m/s. 求瞬时变化率时，要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率．　 [触类旁通] 3．假设t s后运动员相对于水面的高度(单位：m)为H(t)＝－4.9t2＋4.9t＋10，且运动员在区间[0，t0]上的平均速度为0，试确定t0，并估计此时刻的瞬时速度． 解析　由已知得＝ ＝ ＝－4.9t0＋4.9＝0. 所以t0＝1. 可以计算出相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改 变量(Δt)/s 高度的改变量 (ΔH)/m 平均速度 /(m/s) 1 1.1 0.1 －0.539 －5.39 1 1.01 0.01 －0.049 49 －4.949 1 1.001 0.001 －0.004 904 9 －4.904 9 1 1.000 1 0.000 1 －0.000 490 049 －4.900 49 1 … … … … 可以看出，当时间t1趋于t0＝1 s时，平均速度趋于－4.9 m/s，因此可估计运动员在t0＝1 s时的瞬时速度为－4.9 m/s. [缜密思维提能区] 规范答题 求函数的平均变化率 [典例]　(13分)已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L，半径r的平均变化率哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ [审题指导]　(1)直接求r(V)即可． (2)依据平均变化率的定义分别求解再进行比较． [规范解答]　 (1)因为V＝πr3， 所以r3＝，r＝， 所以r(V)＝ ①.(3分) (2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为 ＝≈0.62(dm/L)，(6分) 函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为 ＝－ ≈0.16(dm/L)②.(10分) 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．(13分) 知识落实 技法强化 (1)平均变化率及其几何意义，物理意义． (2)瞬时变化率． (1)数形结合． (2)平均变化率与瞬时变化率的关系，瞬时变化率中Δx≠0只与x0有关． [必备知识·基础巩固] 1．(2024·广西南宁二中高二期中)函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　) A．Δx＋2　　　　　 B．Δx＋3 C．2Δx＋(Δx)2 D．3Δx＋(Δx)2 解析　Δy＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－12－1＝(Δx)2＋3Δx，所以＝＝Δx＋3. 答案　B 2．(2025·北京人大附中质量检测)某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s(t)＝t2＋t，则这个物体在时间段[1，2]内的平均速度为(　　) A．2 B． C．3 D． 解析　＝＝＝.故选D. 答案　D 3．某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g≈9.8 m/s2.若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体(　　) A．从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度 B．从0 s到1 s这段时间的平均速度 C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 解析　s(1＋Δt)－s(1)表示从1 s到(1＋Δt)s这段时间内物体的位移，Δt为从1 s到(1＋Δt)s这段时间的增加量，所以表示从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度．故选A. 答案　A 4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在上的平均变化率为，则下列说法正确的是(　　) A．直线AB的倾斜角为 B．直线AB的倾斜角为 C．直线AB的斜率为－ D．直线AB的斜率为－ 解析　∵f(x)在上的平均变化率为，∴＝＝， ∴f(x)在上的平均变化率就是直线AB的斜率kAB，即kAB＝， 故直线AB的倾斜角为，故选A. 答案　A 5．质点运动规律为s＝t2＋3，则在时间(3，3＋Δt)内相应的平均速度为 ． 解析　因为质点运动规律为s＝t2＋3，所以在时间(3，3＋Δt)内的平均速度＝＝＝6＋Δt. 答案　6＋Δt 6．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝ ． 解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2， 所以＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍去). 答案　5 7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为 ；函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为 ． 解析　从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 答案　　 8．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率； (2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率； (3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解析　Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5 ＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx. (1)当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均变化率＝＝21. (2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率＝＝19.2. (3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上两点P0(4，39)与P1(5，60)所在直线的斜率； 在(2)中，＝＝，它表示曲线上两点P0(4，39)与P2(4.1，40.92)所在直线的斜率． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是 ＝＝28，A正确； 物体在t＝4时的瞬时速度是Δt→0时，＝(56＋7Δt)→56，故B正确； 物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误； 物体在t＝5时的瞬时速度是Δt→0时，＝(70＋7Δt)→70，故D正确． 答案　ABD 10．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　) A．[x1，x2] B．[x2，x3] C．[x1，x3] D．[x3，x4] 解析　由函数平均变化率的计算公式，可得函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为P1＝>0，函数f(x)在[x2，x3]上的平均变化率为P2＝<0，函数f(x)在[x1，x3]上的平均变化率为P3＝<0，函数f(x)在[x3，x4]上的平均变化率为P4＝>0，结合函数y＝f(x)的图象可得P4最大，即平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 答案　D 11．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是 ． 解析　因为s＝4t2＋4t＋1， Δs＝[4(1＋Δt)2＋4(1＋Δt)＋1]－(4×12＋4×1＋1)＝4(Δt)2＋12Δt， ＝＝4Δt＋12， 当Δt趋于0时，趋于常数12， 所以物体在1秒末的瞬时速度为12米/秒． 答案　12米/秒 12．已知物体运动位移x cm是时间t s的函数，而且t＝0.1时，x＝4.7；t＝0.2时，x＝4.4. (1)这个物体在时间段[0.1，0.2]内的平均速度为 ． (2)估计t＝0.05时物体的位移为 ． 解析　(1)所求的平均速度为＝3(cm/s)； (2)将x在[0.1，0.2]上图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为－3，且直线过点(0.1，4.7)，因此x与t的关系可以近似地表示为x－4.7＝－3(t－0.1). 在上式中令t＝0.05，可求得x＝4.85 cm. 即物体的位移可以估计为4.85 cm. 答案　(1)3 cm/s　(2)4.85 cm 13．已知s(t)＝gt2，其中g＝10 m/s. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t＝3秒时的瞬时速度． 解析　(1)Δt＝3.1－3＝0.1(s)， Δs＝s(3.1)－s(3)＝·g·3.12－·g·32 ＝3.05 m， 则1＝＝＝30.5(m/s). (2)Δt＝3.01－3＝0.01(s)， Δs＝s(3.01)－s(3)＝·g·3.012－·g·32＝0.300 5(m). 则2＝＝＝30.05(m/s). (3)由瞬时速度的定义，可知 Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝g(3＋Δt)2－g·32＝3gΔt＋g(Δt)2，＝3g＋gΔt， 当Δt无限趋近于零时，趋近于30 m/s. 即当t＝3秒时的瞬时速度为30 m/s. [学科素养·探索创新] 14．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 解析　由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好，故选B. 答案　B 15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 ． 解析　体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)， 所以＝＝， 所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍). 答案　2 学科网（北京）股份有限公司 $