2.1 平均变化率与瞬时变化率-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　平均变化率与瞬时变化率

1．1　平均变化率

1．2　瞬时变化率

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.

　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？

[提示]　＝＝4.05(m/s).

　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？

[提示]　＝＝－8.2(m/s).

◎结论形成

函数的平均变化率

　对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．用

它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

[拓展]

(1)平均变化率的几何意义就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)所在直线的斜率．

(2)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.

　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．

[提示]　＝＝－6－3Δt.

　当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？

[提示]　当Δt趋近于0时，趋近于－6，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．

◎结论形成

瞬时变化率

　对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝ ．如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．

[拓展]　

对瞬时变化率的几点说明

(1)在＝中，Δx可正，可负，但不可为0，但Δy可以为0，此时f(x)为常数函数.

(2)在＝中，当Δx趋向于0时，也趋于一个定值，与Δx无关．

(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．

(4)函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果f(x)在[x1，x2]上的平均变化率等于0，说明函数从x1到x2没有变化．(　　)

(2)在平均变化率中，函数值的改变量不能为零．(　　)

(3)函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))(x1≠x2)所在直线的斜率．(　　)

(4)瞬时变化率刻画的是函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是(　　)

A．2.1　　　　　　　 B．0.21

C．1.21    D．12.1

解析　Δx＝1.1－1＝0.1，

Δy＝1.12－1－(12－1)＝0.21.

所以函数的平均变化率为＝＝2.1.故选A.

答案　A

3．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷却和加热．如果第x小时时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，则第4小时时，原油温度的瞬时变化率为(　　)

A．－1    B．1

C．3    D．5

解析　因为Δy＝f(4＋Δx)－f(4)＝(4＋Δx)2－7(4＋Δx)＋15－(42－7×4＋15)＝8Δx＋Δx2－7Δx＝Δx2＋Δx，

因为＝Δx＋1.当Δx趋于0时，趋于1.

因此，第4小时时，原油温度的瞬时变化率为1.

答案　B

4．(2025·重庆永川北山中学期末)一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为        ．

解析　Δs＝5×32＋3m－(5×22＋2m)＝25＋m，Δt＝3－2＝1，

∵物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，

∴＝25＋m＝26，解得m＝1.

答案　1