1.2.2 等差数列的前n项和-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

2．2　等差数列的前n项和

第1课时　等差数列的前n项和

　如图，某仓库堆放了一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．

　这堆钢管共有几层？图形的横截面大致是什么形状？

[提示]　六层；等腰梯形．

　假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？

[提示]　(4＋9)×6＝78.

　原来有多少根钢管？

[提示]　×78＝39.

　能否利用前面问题推导等差数列的前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?

[提示]　Sn＝a1＋a2＋…＋an

Sn＝an＋an－1＋…＋a1

所以2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)

＝n(a1＋an)，所以Sn＝.

◎结论形成

等差数列的前n项和公式

[导学点睛]　等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d与三个基本量“首项a1、公差d和项数n”有关，而公式Sn＝与三个基本量“首项a1、末项an和项数n”有关，其中a1＋an不只是首尾两项之和，也可以是ap＋aq(p＋q＝n＋1，p∈N＋，q∈N＋)，应根据题目中的已知条件灵活选择．

　我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋d吗？

[提示]　在等差数列{an}中，

Sn＝na1＋d＝n2＋n.

令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn.

当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上；

当A＝0(即d＝0)时，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点．

◎结论形成

已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，若C＝0，则数列{an}为等差数列；若C≠0，则数列{an}不是等差数列．

[拓展]　若数列{an}的前n项和为Sn，则{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，我们得到等差数列的另一种制定方法——前n项和公式法．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若数列{an}的前n项和Sn＝4，则{an}不是等差数列.(　　)

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　　)

(3)等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数．(　　)

(4)任意等差数列{an}前n项和Sn一定有最值．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为(　　)

A．200　　　　　　　 B．100

C．90    D．70

解析　设该等差数列为{an}，其前n项和为Sn，则由题意可知，a1＝－20，a10＝40，所以S10＝＝100.

答案　B

3．(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是(　　)

A．a1＝－2    B．a1＝2

C．d＝4    D．d＝－4

解析　设等差数列{an}的公差为d.

因为a4＋a5＝24，S6＝48，

所以2a1＋7d＝24，6a1＋d＝48，

解得a1＝－2，d＝4.

答案　AC

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝3，则公差d＝        ．

解析　由等差数列的性质可得S3＝＝＝3，解得a2＝1，

故公差d＝a3－a2＝4－1＝3.

答案　3

题型一　等差数列的前n项和的相关计算

　[教材例6拓展](1)(2025·天津和平期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，S10＝30，则S20＝(　　)

A．40　　　　　　　 B．70