1.2.2 等差数列的前n项和-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦等差数列前n项和核心知识点，从钢管堆放问题引入倒序相加法推导公式，衔接函数视角分析Sn=An²+Bn，进而延伸至前n项和计算、an与Sn关系及最值问题，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料特色在于通过实际情境培养数学眼光，如用倒序相加推导公式发展逻辑推理（数学思维），结合天坛石板等实例渗透数学建模（数学语言）。课中例题变式助教师高效授课，课后练习题与易错案例帮学生查漏补缺，提升数学运算与问题解决能力。

2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学业标准 素养目标 1.体会等差数列的前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列的前n项和公式并能应用其解决前n项和及其最值等有关问题．(重点、难点) 1.借助等差数列的前n项和公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过等差数列的前n项和公式的应用，重点提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学1 等差数列的前n项和公式 　如图，某仓库堆放了一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． 　这堆钢管共有几层？图形的横截面大致是什么形状？ [提示]　六层；等腰梯形． 　假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？ [提示]　(4＋9)×6＝78. 　原来有多少根钢管？ [提示]　×78＝39. 　能否利用前面问题推导等差数列的前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? [提示]　Sn＝a1＋a2＋…＋an Sn＝an＋an－1＋…＋a1 所以2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1) ＝n(a1＋an)，所以Sn＝. ◎结论形成 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝n(a1＋an) Sn＝na1＋n(n－1)d [导学点睛]　等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d与三个基本量“首项a1、公差d和项数n”有关，而公式Sn＝与三个基本量“首项a1、末项an和项数n”有关，其中a1＋an不只是首尾两项之和，也可以是ap＋aq(p＋q＝n＋1，p∈N＋，q∈N＋)，应根据题目中的已知条件灵活选择． 导学2 从函数角度认识等差数列的前n项和公式 　我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋d吗？ [提示]　在等差数列{an}中， Sn＝na1＋d＝n2＋n. 令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn. 当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上； 当A＝0(即d＝0)时，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点． ◎结论形成 已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，若C＝0，则数列{an}为等差数列；若C≠0，则数列{an}不是等差数列． [拓展]　若数列{an}的前n项和为Sn，则{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，我们得到等差数列的另一种制定方法——前n项和公式法． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列{an}的前n项和Sn＝4，则{an}不是等差数列.(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数．(　　) (4)任意等差数列{an}前n项和Sn一定有最值．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为(　　) A．200　　　　　　　 B．100 C．90 D．70 解析　设该等差数列为{an}，其前n项和为Sn，则由题意可知，a1＝－20，a10＝40，所以S10＝＝100. 答案　B 3．(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是(　　) A．a1＝－2 B．a1＝2 C．d＝4 D．d＝－4 解析　设等差数列{an}的公差为d. 因为a4＋a5＝24，S6＝48， 所以2a1＋7d＝24，6a1＋d＝48， 解得a1＝－2，d＝4. 答案　AC 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝3，则公差d＝ ． 解析　由等差数列的性质可得S3＝＝＝3，解得a2＝1， 故公差d＝a3－a2＝4－1＝3. 答案　3 题型一　等差数列的前n项和的相关计算 　[教材例6拓展](1)(2025·天津和平期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，S10＝30，则S20＝(　　) A．40　　　　　　　 B．70 C．90 D．100 (2)(2025·安徽阜阳期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差不为0，若S5＝S10，则(　　) A．S5＝0 B．S8＝0 C．S15＝0 D．S17＝0 (3)(2025·重庆广益中学月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－3，S4＝0. ①求{an}的通项公式和Sn； ②求a2＋a4＋…＋a8＋a10＋a12的值． [解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以S20＝20a1＋×d＝20×＋190×＝100.故选D. (2)因为S5＝S10，所以S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，解得a8＝0，故S15＝＝15a8＝0.故选C. (3)①设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝－3，S4＝0，得4a1＋6d＝－12＋6d＝0， 解得d＝2. ∴an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝－3n＋×2＝n2－4n. ②由①得a2＝2×2－5＝－1，a12＝2×12－5＝19，∴a2＋a4＋…＋a8＋a10＋a12＝＝54. [答案]　(1)D　(2)C　(3)略 等差数列前n项和的运算技巧 (1)列方程．此类运算涉及的基本量有a1，d，n，an，Sn，一般转化为关于a1，d，n的方程组，解出方程组后再求其他的基本量． (2)用性质．利用等差数列的性质简化运算，常用的性质如若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (3)当已知首项、末项和项数时，用Sn＝较简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn＝na1＋d较简便．　 [触类旁通] 1．(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＋a14＝6，则S13＝(　　) A．14 B．26 C．28 D．32 (2)(2025·北京海淀区月考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，则m的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a4＋a14＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7＝6，则a7＝2，所以S13＝13a7＝26.故选B. (2)由a1＝2a2＝2(a1＋d)，得a1＝－2d，又Sm＝ma1＋d＝－2md＋d＝0，又d≠0，所以－2m＋＝0，解得m＝5或m＝0(舍去).故选B. 答案　(1)B　(2)B 题型二　an与Sn的关系及其应用 　若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n，则数列{an}的通项an＝ ． [解析]　因为数列{an}的前n项和为 Sn＝n2－n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝－＝； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－ ＝n－1. 当n＝1时，上式也成立，所以an＝n－1. [答案]　n－1 [母题变式] 1．(变条件)本例中若Sn＝n2＋2n＋1，试求an. 解析　当n＝1时，代入可得a1＝S1＝4. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝n2＋2n＋1－[(n－1)2＋2(n－1)＋1] ＝2n＋1. 经验证当n＝1时，上式不符合． 故an＝ 2．(变条件)若将本例中的条件改为“a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1”，试求an. 解析　因为an＋1＝SnSn＋1，且an＋1＝Sn＋1－Sn， 所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1， 所以－＝1， 即－＝－1. 又＝＝－1， 所以是首项为－1，公差为－1的等差数列， 所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n. 所以Sn＝－.所以当n≥2时， an＝＝. 当n＝1时，a1不满足上式． 所以an＝ 由Sn求an的方法 (1)an与Sn的关系：an＝当n＝1适合于an时，则a1可以统一到an(n≥2，n∈N＋)的形式中，而不用写成分段函数形式．若n＝1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式． (2)在等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列． [提醒]　在数列{an}的式子中，如果含有an－1，Sn－1，必须注明n≥2.　 [触类旁通] 2．(多选题)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n+1－1，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2) C．an＝2n D．an＝2n(n≥2) 解析　Sn＝2n+1－1， 当n＝1时，a1＝S1＝21+1－1＝3； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n+1－1)－(2n－1)＝2n. 当n＝1时，不符合上式，故an＝ 答案　AD 题型三　等差数列前n项和的最值问题 　已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [解析]　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝11－2n. (2)法一　a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋·(－2) ＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25 所以当n＝5时，Sn取得最大值． 法二　由(1)知a1＝9，d＝－2＜0， 所以{an}是递减数列． 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. 因为n∈N＋， 所以当n≤5时，an＞0，当n≥6时，an＜0. 所以S5最大． 即当n＝5时，Sn取得最大值． [母题变式] (变条件、变结论)若本例变为“等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 024＞0，S2 025＜0”，则当n＝ 时，Sn取得最大值． 解析　因为S2 024＝ ＝1 012(a1 012＋a1 013)＞0， 所以a1 012＋a1 013＞0， 又S2 025＝＝2 025a1 013＜0， 所以a1 013＜0，所以a1 012＞0， 所以当n＝1 012时，Sn取得最大值． 答案　1 012 [素养聚焦]　本题重在考查求等差数列前n项和的最值，体现了逻辑推理和数学运算等核心素养． 求等差数列前n项和Sn的最值的方法 (1)二次函数法 将Sn＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决，体现了函数思想． (2)通项法 若a1＞0，d＜0，则数列的所有正数项之和最大，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值． 若a1＜0，d＞0，则数列的所有负数项之和最小，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值．　 [触类旁通] 3．(1)(多选题)(2025·山西运城高二期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1<0，且S19＝S13，则(　　) A．公差d>0 B．a16＝0 C．S33＝0 D．n＝16时，Sn最小 (2)(2025·武汉高二期中)在等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是 ；使前n项和Sn＞0的正整数n的最大值是 ． 解析　(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S19＝S13，则S19－S13＝0， 可得a14＋a15＋a16＋a17＋a18＋a19＝0，所以3(a16＋a17)＝0，即a16＋a17＝0.设数列{an}的公差为d， 则有2a1＋31d＝0，因为a1<0，所以d>0，所以a16<0，a17>0，故A正确，B错误； S33＝33a17>0，故C错误； 当n≤16时an<0，当n≥17时an>0，所以当n＝16时，Sn取得最小值，故D正确．故选AD. (2)因为|a5|＝|a9|，d＜0，所以a5>0>a9，且a5＝－a9，所以a5＋a9＝0，所以a7＝0，所以当1≤n≤7时，an≥0；当n≥8时，an<0.所以使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是6或7. 因为S13＝＝13a7＝0，且S13＝S12＋a13＝0，所以S12＝－a13>0，所以使前n项和Sn>0的正整数n的最大值是12. 答案　(1)AD　(2)6或7　12 [缜密思维提能区] 易错案例 利用an与Sn的关系求an [典例]　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋a，求通项公式an. [错解]　因为Sn＝2n＋a， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－(2n-1＋a)＝2n-1， 所以数列{an}的通项公式an＝2n-1. [正解]　因为Sn＝2n＋a， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－(2n-1＋a)＝2n-1. 当n＝1时，若a＝－1，a1＝S1＝2－1＝1，适合上式； 若a≠－1，则a1＝S1＝2＋a≠1，不适合上式， 故当a＝－1时，an＝2n-1； 当a≠－1时，an＝ [纠错心得]　已知数列{an}的前n项和公式Sn，求an时应分三步．第一步，利用a1＝S1求a1.第二步，当n≥2时，求an＝Sn－Sn－1.第三步，检验a1是否适合当n≥2时得到的an，若适合，则an即为所求；若不适合，将an用分段函数表示． 知识落实 技法强化 (1)等差数列前n项和公式及相关计算． (2)an与Sn的关系． (3)等差数列前n项和的最值问题． (1)注意整体代换法、倒序相加法，方程思想的应用． (2)由Sn求通项公式时，注意对n＝1的讨论． [必备知识·基础巩固] 1．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3＋a7＝(　　) A．－2　　　　　　　 B． C．1 D． 解析　设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D. 答案　D 2．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，其前n项和为Sn，若S9＝18，则a5等于(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 解析　根据2an＋1＝an＋an＋2，可得数列{an}为等差数列，所以S9＝＝18，所以a1＋a9＝4，所以2a5＝4，所以a5＝2. 答案　C 3．已知公差不为0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0).由a＝a1a4得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理可得a1＝－4d≠0.则＝＝＝＝－3.故选B. 答案　B 4．(多选题)(2025·河南南阳六校高二期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝，则(　　) A．S11＝0 B．a6＝0 C．S6＝S5 D．S7＝S6 解析　因为{an}是等差数列，所以 a5＋a7＝a1＋a11＝2a6. 根据题意S11＝＝a6，又S11＝＝11a6，所以11a6＝a6， 从而a6＝0，S11＝0，故选项A，B正确； 又a6＝S6－S5＝0，所以S6＝S5，故选项C正确； 对于选项D，S7－S6＝a7，根据题意无法判断a7是否为零，故选项D错误． 故选ABC. 答案　ABC 5．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ ． 解析　因为{an}为等差数列， 所以a3＋a4＝2a1＋5d＝7， 3a2＋a5＝4a1＋7d＝5， 所以a1＝－4，d＝3， 所以S10＝10a1＋45d＝95. 答案　95 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2·3n－3，则数列{an}的通项公式为 ． 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4·3n-1. 当n＝1时，不满足上式，故an＝ 答案　an＝ 7．已知等差数列{an}的公差d≠0，Sn为其前n项和，S12＝8S4，则的值为 ． 解析　因为S12＝8S4，所以由等差数列前n项和公式得12a1＋66d＝8(4a1＋6d)，即9d＝10a1，所以＝，所以＝＝＝＋1＝. 答案　 8．设等差数列{an}的公差为整数，且a4＝a－28，a5＝10， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝a3n＋1，若数列{bn}的前n项和Sn＝350，求n. 解析　(1)设数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝2，d＝2或a1＝－21，d＝(舍)， 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n. (2)由bn＝a3n＋1知，bn＝2(3n＋1)＝6n＋2， bn＋1＝6(n＋1)＋2＝6n＋8， 所以bn＋1－bn＝(6n＋8)－(6n＋2)＝6，为常数，故数列{bn}为等差数列，且公差d＝6，首项b1＝8， 所以Sn＝8n＋×6＝3n2＋5n. 令3n2＋5n＝350，即3n2＋5n－350＝0， 解得n＝10或n＝－(舍)，故n＝10. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列选项正确的是(　　) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析　∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确． 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确． S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确． {Sn}中最大项为S6，D不正确． 答案　AB 10．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，公差为d，S16>0，a9<0，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．当n＝8时，Sn取得最大值 C．a4＋a5＋a18<0 D．使得Sn>0成立的最大自然数n是17 解析　对于A，因为等差数列中，S16＝＝>0，a9<0，所以a8>0，d＝a9－a8<0，A正确； 对于B，由A知当n＝8时，Sn取得最大值，B正确； 对于C，a4＋a5＋a18＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝3a9<0，C正确； 对于D，S16>0，S17＝＝17a9<0， 故使得Sn>0成立的最大自然数n＝16，D错误．故选ABC. 答案　ABC 11．设数列{an}的前n项和为Sn，如果a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N＋，那么S1，S2，S3，S4中最小的为 ． 解析　因为数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N＋，所以数列{an}是首项为－5，公差为2的等差数列． 所以a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1. 所以S1＝－5，S2＝－8，S3＝－9，S4＝－8. 所以S1，S2，S3，S4中最小的为S3. 答案　S3 12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝ ． 解析　因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10. 答案　10 13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0. 因为a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117， 所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根． 又公差d＞0，所以a3＜a4，所以a3＝9，a4＝13. 所以所以所以an＝4n－3. (2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n， 所以bn＝＝. 所以b1＝，b2＝，b3＝. 因为{bn}是等差数列，所以2b2＝b1＋b3， 所以2c2＋c＝0，所以c＝－(c＝0舍去). 经检验，c＝－符合题意， 所以c＝－. [学科素养·探索创新] 14．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为 ． 解析　对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n.当Sn取得最大值时，对任意n∈N＋满足解得n＝20，即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20. 答案　20 15．已知{an}是等差数列，首项为a1，其公差d<0，前n项和为Sn，设数列的前n项和为Tn. (1)若a1＝－4d，则当n＝ 时，Tn有最大值； (2)若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则的取值范围是 ． 解析　易知＝n＋， 若a1＝－4d，则＝n－d，由 解得8≤n≤9. 即n＝8或9时，Tn有最大值． 若当且仅当n＝6时，Tn有最大值， 则解得－3<<－. 答案　(1)8或9　(2) 第2课时　等差数列习题课 学业标准 素养目标 1.掌握等差数列前n项和的性质并能简单应用．(难点) 2．能利用等差数列的知识解决简单的实际问题．(重点、难点) 1.通过等差数列前n项和性质的应用，提升数学运算等核心素养． 2．借助等差数列的知识解决实际问题，培养数学建模等核心素养． 导学 等差数列前n项和的性质 　Sn是数列{2n－1}的前n项和． (1)判断数列是不是等差数列． (2)证明：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． [提示]　设an＝2n－1，易知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列． (1)因为Sn＝n2，所以＝n，即数列是等差数列． (2)证明　因为S3＝a1＋a2＋a3，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋18. S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a4＋a5＋a6＋18， 故S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． ◎结论形成 等差数列的前n项和常用的性质 1．等差数列{an}的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， (1)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， ＝； (2)当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， ＝. 4．Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd(m，n∈N＋)； Sm＋n＝(m，n∈N＋，且m≠n). 特别地，若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n＋1＝(2n＋1)an.(　　) (2)若等差数列{an}共有20项，则＝.(　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S5，S10，S15也成等差数列．(　　) (4)若数列{an}为等差数列，则数列{|an|}一定不是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　) A．5　　　 B．4　　　　 C．3　　　 D．2 解析　设等差数列为{an}，公差为d， 则 两式作差得5d＝15，所以d＝3. 答案　C 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析　由{an}是等差数列， 得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列， 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45＝a7＋a8＋a9. 答案　B 4．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为 ． 解析　因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75. 答案　75 题型一　等差数列前n项和性质的应用 　(1)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝ ； (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，求S110. [解析]　(1)＝＝ ＝＝＝＝. (2)法一　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为d，前10项和为10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，所以S110＝－120＋S100＝－110. 法二　设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)， 则 解得A＝－，B＝. 故Sn＝－n2＋n， 所以S110＝－×1102＋×110＝－110. [答案]　(1)　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)本例(2)若条件不变，则S120的值为 ． 解析　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为d，其前10项和为10S10＋×d＝S100＝10，所以d＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，所以S110＝－120＋S100＝－110，S120－S110＝S10＋(12－1)d＝100＋11×(－22)，所以S120＝S110＋100＋11×(－22)＝－252. 答案　－252 2．(变条件、变结论)本例(2)中的条件“S10＝100，S100＝10”若换为“Sm＝70，S2m＝110”，其他条件不变，则S3m的值为 ． 解析　因为{an}为等差数列， 所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列， 所以2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，即2×(110－70)＝70＋S3m－110，所以S3m＝120. 答案　120 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中如果运用得当，可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．　 [触类旁通] 1．已知等差数列{an}的前m(m为奇数)项的和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100＝ ． 解析　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，由题意可知Sm＝135，前m项中偶数项之和S偶＝63，∴奇数项之和S奇＝135－63＝72，∴S奇－S偶＝a1＋＝＝ ＝72－63＝9. 又∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16， ∵Sm＝＝135，∴m＝15， ∴d＝＝＝1， ∴a100＝a1＋99d＝101. 答案　101 题型二　求数列{|an|}的前n项和 　(1)(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　) A．48 B．112 C．80 D．144 (2)(2025·湖北天门高二检测)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. ①求数列{an}的通项公式； ②设bn＝－2an＋25，求数列{|bn|}的前n项和． [解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9， 显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以|an|＝所以{|an|}的前12项和为＋＝80，故选C. (2)①等差数列{an}的公差设为d，a2＝4，a4＋a7＝15， 可得解得 则an＝n＋2. ②bn＝－2an＋25＝21－2n，设{bn}的前n项和为Sn＝n(19＋21－2n)＝20n－n2， 当n≤10时，数列{|bn|}的前n项和为20n－n2； 当n≥11时，数列{|bn|}的前n项和为S10－(Sn－S10)＝2S10－Sn＝200－20n＋n2，综上可得数列{|bn|}的前n项和为Tn＝ 答案　(1)C　(2)略 求数列{|an|}的前n项和的方法 给出数列{an}，要求数列{|an|}的前n项和，关键是分清n取什么值时an>0(an<0). 一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，那么有： (1)若a1>0，d<0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1<0，从而有Tn＝ (2)若a1<0，d>0，则存在是k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1>0，从而有Tn＝　 [触类旁通] 2．(2025·安徽六安示范高中期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S17＝17，S5＝S13，则数列的前20项和是 ． 解析　∵S17＝17a9＝17，∴a9＝1，又∵S5＝S13， ∴a6＋a7＋…＋a12＋a13＝0，即a9＋a10＝0， ∴a10＝－1，∴公差d＝a10－a9＝－2， ∴an＝a9＋(n－9)·d＝19－2n， ∴Sn＝·n＝(18－n)·n， 故数列{|an|}的前20项和是|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10|＋…＋|a20|＝(a1＋…＋a9)－(a10＋…＋a20)＝2S9－S20＝162＋40＝202. 答案　202 题型三　等差数列前n项和的实际应用 　[教材例9、例10拓展]甲、乙两小型机器人分别从相距70 m的两处同时相向而行，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么甲、乙两小型机器人开始运动后几分钟第二次相遇？ [解析]　设n分钟后第2次相遇，依题意有，甲机器人每分钟走的距离可以构成首项为2，公差为1的等差数列，所以n分钟后甲机器人共走2n＋ m； 乙机器人每分钟走的距离可以构成首项为5，公差为0的等差数列，所以n分钟后乙机器人共走5n m. 从开始运动到第二次相遇两机器人一共走了70×3 m， 所以2n＋＋5n＝3×70， 整理得n2＋13n－420＝0， 解得n＝15，n＝－28(舍去). 所以第二次相遇是在开始运动后15分钟． [素养聚焦]　通过等差数列前n项和的实际应用，提升数学建模等核心素养． 应用等差数列解决实际问题的一般思路 　 [触类旁通] 3．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 解析　设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列{an}，由题意知a1＝9.又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，所以数列{an}为公差为9的等差数列．设每层环数为n(n∈N＋)，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a1，a2，…，an，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为an＋1，an＋2，…，a2n，下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a2n＋1，a2n＋2，…，a3n.由题意知(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝729，由等差数列的性质知a2n＋1－an＋1＝a2n＋2－an＋2＝…＝a3n－a2n＝9n，所以9n2＝729，得n＝9.则数列{an}共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和，即27×9＋×9＝3 402，故选C. 答案　C [缜密思维提能区] 规范答题 简单数列的求和问题 [典例]　(13分)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝45，S6＝60. (1)求{an}的通项公式an； (2)若数列{an}满足bn＋1－bn＝an(n∈N＋)，且b1＝3，求的前n项和Tn. [审题指导]　(1)由已知S5和S6，运用方程思想求基本量，从而求an. (2)由(1)的结果an，利用累加法求bn，再分析的结构特点，求Tn. [规范解答]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为S5＝45，S6＝60， 所以 解得(3分) 所以an＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.(4分) (2)因为bn＋1－bn＝an＝2n＋3，b1＝3， 所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝[2(n－1)＋3]＋[2(n－2)＋3]＋…＋(2×1＋3)＋3＝2×＋3n＝n2＋2n，(6分) 所以＝ ＝，(8分) 所以Tn＝(10分) ＝ ＝－－③.(13分) 知识落实 技法强化 (1)等差数列前n项和的性质及简单应用． (2)用等差数列的知识解决实际问题． (1)转化法、数列模型． (2)若{an}是等差数列，而{|an|}不一定是等差数列． [必备知识·基础巩固] 1．(2025·河南周口高二期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　) A．－50　　　　　　　 B．－60 C．－70 D．－80 解析　由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.故选D. 答案　D 2．(2025·聊城期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，因为＝，所以＝， 即S8－S4＝S4， 则数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12是以S4为首项，S4为公差的等差数列， 则S12－S8＝2S4，S16－S12＝S4，所以S8＝S4，S16＝7S4，所以＝.故选A. 答案　A 3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 024，－＝2，则S2 025＝(　　) A．0 B．2 024 C．2 025 D．－2 026 解析　由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则－＝2d＝2， ∴d＝1.∴＝＋2 024d＝－2 024＋2 024＝0，∴S2 025＝0×2 025＝0. 答案　A 4．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足|a4|＝|a10|，公差d＜0，则(　　) A．a7＝0 B．S13＞0 C．Sn有最大值 D．Sn＝S13－n(1≤n≤12，n∈N＋) 解析　由|a4|＝|a10|，d＜0，得a4＞0，a10＜0，且a4＋a10＝0，所以a4＋a10＝2a7＝0，即a7＝0，故A正确； S13＝(a1＋a13)＝13a7＝0，故B错误； 由d＜0，a4＞0，a10＜0，得{an}是首项为正数的递减数列，又a7＝0，所以当n＝6或n＝7时Sn有最大值，C正确； 由以上分析易知Sn＝S13－n(1≤n≤12，n∈N＋)，D正确．故选ACD. 答案　ACD 5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 ． 解析　由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． 设一共有n层， ∴钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝19时，S19＝190. 当n＝20时，S20＝210>200. ∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 答案　10 6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝8，则S6＝ ． 解析　由等差数列{an}的前n项和性质可得 S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． 所以2(S4－S2)＝S2＋S6－S4， 即2×6＝2＋S6－8，解得S6＝18. 答案　18 7．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝ ． 解析　法一　令Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋)， 则 得A(n2－m2)＋B(n－m)＝m－n. 因为n≠m，所以A(n＋m)＋B＝－1， 所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－m－n. 法二　不妨设m>n， 则Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋am－1＋am ＝＝n－m， 所以a1＋am＋n＝an＋1＋am＝－2. 所以Sm＋n＝＝－m－n. 答案　－m－n 8．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项的和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解析　(1)由得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜， 所以当n≤17，n∈N＋时，an＞0； 当n≥18，n∈N＋时，an＜0， 所以数列{an}的前17项和最大． (2)当n≤17时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝n2－n＋884. 所以Sn＝ [关键能力·综合提升] 9．(多选题)(2025·广东清远期末)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝66，a2＋a4＋a6＝57，则下列结论正确的是(　　) A．{an}的公差为－2 B．{an}的通项公式为an＝31－3n C．{an}的前n项和为 D．{|an|}的前50项和为2 575 解析　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，因为a1＋a3＋a5＝3a3＝66，a2＋a4＋a6＝3a4＝57，所以a3＝22，a4＝19，所以d＝a4－a3＝－3，故A错误； a1＝a3－2d＝28，∴an＝28＋(n－1)×(－3)＝31－3n，故B正确； Sn＝＝，故C正确； 易得a10＝31－3×10＝1＞0， a11＝31－3×11＝－2＜0， ∴{|an|}的前50项和为S10－(S50－S10)＝－S50＋2S10＝＋2×＝2 565，故D错误．故选BC. 答案　BC 10．(多选题)已知公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．若S15<0，S16>0，则a8是数列中绝对值最小的项 B．若＝，则＝ C．若a1＝8，a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝32 D．若|a4|＝|a8|，d≠0，则S11＝0 解析　因为{an}为等差数列，且 所以即 所以|a9|>|a8|，d>0，故a8是数列{an}中绝对值最小的项，故A说法正确； 因为{an}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，设S3＝x，由＝，得S6＝3x，故x，2x，S9－3x为等差数列，故S9＝6x，所以＝＝，故B说法正确； 因为{an}为等差数列，且a1＝8，a4＝－1， 所以3d＝－9，d＝－3， 则an＝8－3(n－1)＝－3n＋11， 则|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝8＋5＋2＋1＋4＋7＋10＋13＝50，故C说法错误； 因为{an}为等差数列，且|a4|＝|a8|，d≠0，所以a4＝－a8，则a4＋a8＝0，则S11＝＝＝0，故D说法正确．故选ABD. 答案　ABD 11．已知在数列{an}中a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝ ． 解析　因为a1＝－60，an＋1＝an＋3， 所以{an}是首项为a1＝－60，公差为3的等差数列， 所以an＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an<0，得n<21， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30| ＝－2(a1＋a2＋…＋a20)＋(a1＋a2＋…＋a30) ＝－2×＋＝765. 答案　765 12．数列{an}与{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，若＝，则＝ ，使得为整数的n值个数为 ． 解析　由等差数列的性质可得＝＝＝＝＝. ＝＝＝＝＝＝＝＝＝3－， 因为为整数，所以4能被n＋1整除， 又n＋1≥2，n∈N＋，故n＋1＝2或n＋1＝4， 解得n＝1或n＝3， 所以使得为整数的n值个数为2. 答案　　2 13．在①a4＋a5＝－4，②a2＋a6＝－6，③S7＝14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题． 问题：等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝3.若 ，是否存在实数k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1？若k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由． 解析　若存在k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1，则ak<0，ak＋1>0.设等差数列{an}的公差为d. 若选择条件①： 由得 解得 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N＋). 令an<0，得n<；令an＋1＞0，得n＞，所以当k＝5时，满足a5<0，a6>0，所以k＝5满足题意． 若选择条件②： 由 得解得 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N＋). 后同选择条件①. 若选择条件③： 由得解得 所以an＝1＋(n－1)＝n＋(n∈N＋). 易知an>0恒成立， 所以不存在满足条件的实数k. [学科素养·探索创新] 14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(即金杖)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n段的重量为an斤(n＝1，2，…，15)，且a1＜a2＜…＜a15，若bn＝[an]·an(其中[an]表示不超过an的最大整数)，则数列{bn}的所有项的和为 ． 解析　由题意，由细到粗每段的重量成等差数列{an}，设公差为d， 则⇒ 解得a1＝，d＝，所以an＝. 所以[an]＝ 因此数列{bn}的所有项的和为a8＋a9＋…＋a15＝＝. 答案　 15．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种．甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1 000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元． (1)你会怎样选择增资方案？请说明你的理由； (2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a元，问a为何值时，方案乙总比方案甲增资多？ (说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数) 解析　(1)设甲方案第n次的增资额为an，则 an＝1 000n，第n年末的增资总额为Tn＝500n(n＋1)； 乙方案第n次的增资额为bn，则bn＝300n， 第n年末的增资总额S2n＝300n(2n＋1). 因为Tn－S2n＝100n(2－n)， 所以当n＝1时，Tn＞S2n； 当n＝2时，Tn＝S2n； 当n≥3时，S2n＞Tn. 所以只工作一年选择甲方案；只工作两年，随便选；工作两年以上选择乙方案． (2)Tn＝500n(n＋1)，S2n＝an(2n＋1)， 由题设S2n＞Tn， 即a＞500·＝250. 经分析知为递减数列， 当n＝1时，取得最大值. 故当a＞时， 方案乙总比方案甲增资多． 学科网（北京）股份有限公司 $