1.2.2 等差数列的前n项和-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“等差数列的前n项和”核心知识点，系统梳理从高斯算法引入的推导方法，构建首项、公差、项数与首项、末项、项数两类求和公式，明确前n项和Sn与通项an的关系，衔接等差数列定义与通项公式，形成从概念到公式再到应用的学习支架。 该资料以高斯故事创设情境，引导学生用数学眼光发现现实问题中的等差数列规律。通过公式推导与性质辨析（如Sn是否为二次函数）培养数学思维中的逻辑推理能力，结合“八子分绵”“甲乙运动相遇”等实例，提升数学语言表达与数学建模素养。课中例题分层设计助力教师教学，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2　等差数列的前n项和 学习任务 核心素养 1．理解等差数列前n项和的推导方法．(难点) 2．掌握等差数列的前n项和公式．(重点) 3．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题．(重点、难点) 1．通过等差数列的前n项和公式的数学应用，培养数学运算素养． 2．借助利用等差数列的前n项和公式解决实际问题，培养数学建模素养． 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？” [提示]　＝101×50＝5 050． 1．等差数列的前n项和公式 已知量 选用公式 首项、公差和项数(a1，d和n) Sn＝ 首项、末项和项数(a1，an和n) Sn＝ 2．数列的前n项和Sn与通项an的关系 an＝ 1．等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数吗？ [提示]　不一定，当公差d≠0时，Sn＝n是关于n的二次函数；当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数． 2．在等差数列中，如已知a10，则一定可求出该数列前多少项的和？ [提示]　因为S19＝＝19a10，所以一定可求出数列前19项的和． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列{an}的前n项和Sn＝(n≥2，且n∈N＋)． (　　) (2)等差数列的前n项和Sn是关于n的常数项为0的二次函数． (　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4－S2是S2，S6－S4的等差中项． (　　) (4)若Sn是数列{an}的前n项和，且ai＝1－a20－i，i＝1，2，…，19，则S19＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A．31　　　B．32　　　C．33　　　D．34 B　[由已知可得 解得 ∴S8＝8a1＋d＝32．] 3．(2025·上海卷)已知等差数列{an}的首项a1＝－3，公差d＝2，则该数列的前6项和为________． 12　[法一：该数列的前6项和为6×(－3)＋×2＝12． 法二：a6＝a1＋5d＝－3＋10＝7，则该数列的前6项和为＝12．] 4．已知等差数列{an}，a10＝10，其前10项和S10＝70，则公差d＝________． 　[＝5(a1＋10)＝70，解得a1＝4，因为a10＝a1＋9d＝10，所以d＝．] 类型1　等差数列的前n项和公式的应用 【例1】　已知等差数列{an}． (1)若a2＝1，S9＝－45，求an； (2)若a3＋a8＝－12，求S10． [思路点拨]　(1)利用等差数列的通项公式与前n项和公式构建关于首项a1和公差d的方程组求解； (2)利用等差数列的性质与前n项和公式求解． [解]　 (1)由S9＝－45，得9a1＋＝－45，即a1＋4d＝－5，① 由a2＝1，得a1＋d＝1，② 联立①②解得，a1＝3，d＝－2， ∴an＝3－2＝－2n＋5． (2)S10＝＝－60． [母题探究] 　在例1第(1)问的条件下，求Sn的最大值． [解]　法一：∵Sn＝3n＋＋4，∴当n＝2时，Sn取最大值4． 法二：∵d＝－2<0，∴是递减数列， 由an>0，得n<，又a3＝－1<0， ∴Sn的最大值是S2＝4． 　　1．用公式Sn＝na1＋求前n项和，则需求a1和d，可考虑用基本量法求解；用Sn＝求前n项和，则可将a1＋an看作一个整体，可考虑用性质法求解．前者是通法，后者需要观察项与项的关系，有一定的技巧． 2．求等差数列前n项和最值的方法 (1)利用Sn＝An2＋Bn，通过二次函数y＝Ax2＋Bx的性质求解； (2)求出正负转折项，利用数列的单调性确定前n项和的最值． 类型2　等差数列前n项和性质的应用 【例2】　已知Sn为等差数列的前n项和，Sn＝m，Sm＝n，试求Sm＋n． [思路点拨]　利用等差数列的有关性质求解． [解]　法一：令Sn＝An2＋Bn，则 ∴A(n2－m2)＋B(n－m)＝m－n． ∵n≠m，∴A(n＋m)＋B＝－1， ∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)． 法二：不妨设m＞n， Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋am－1＋am＝＝n－m． ∴a1＋am＋n＝an＋1＋am＝－2， ∴Sm＋n＝＝－(m＋n)． 法三：∵数列是等差数列，∴数列为等差数列， ∴三点共线． ∴，∴Sm＋n＝－(m＋n)． 　若数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，则： (1)数列是公差为的等差数列； (2)Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 也成等差数列，公差为k2d． (3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； S2n－1＝(2n－1)an． [跟进训练] 1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(　　) A．70　　　B．130　　　C．140　　　D．210 D　[因为{an}是等差数列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列， 所以Sm＋， 即30＋， 所以S3m＝210．] 类型3　等差数列的前n项和公式的实际应用 【例3】　在《张丘建算经》中有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是(　　) A．斤　　 B．斤　　 C．斤　　 D．斤 C　[设第n个人得金an斤，由题意可知数列{an}是等差数列，设公差为d， 则有 解得 则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤．故选C．] 　　数列应用题的一般解法 (1)建模：根据题设条件，建立数列模型． 分析实际问题对象的结构特征，找出所含元素的数量关系，确定为何种数学模型． (2)解模：利用相关的数列知识加以解决． 分清首项、公差、项数等，分清是求项还是求和，选用适当的方法求解． (3)把相关问题的解客观化． 针对实际问题的约束条件修正，使其成为实际问题的解． [跟进训练] 2．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言．”题意：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵有(　　) A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤 B　[用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴8a1＋×17＝996，解得a1＝65． ∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤．] 1．(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 B　[根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15．] 2．(教材P19练习T2改编)如果在等差数列中，a3＋a4＋a5＝12，那么S7等于(　　) A．14 B．21 C．28 D．35 C　[∵a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4． ∴S7＝＝7a4＝28．] 3．数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1＋a2＋a3＋…＋an＝100，则n的最大值为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 C　[要想n最大，则a1及递增幅度要尽可能小，不妨设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．则有3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14前12项和为102超过了100，故n的最大值为11．] 4．全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 ……………… 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________． 　[前(n－1)行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个， 因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为．] 5．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m． (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ [解]　(1)设n分钟后第一次相遇，依题意，有 2n＋＋5n＝70． 整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7，n＝－20(舍去)． 第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设m分钟后第二次相遇， 依题意有2m＋＋5m＝3×70， 整理得m2＋13m－6×70＝0． 解得m＝15，m＝－28(舍去)． 所以第二次相遇是在开始运动后15分钟． 1．在等差数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，Sn，n，d，其中a1和d为基本量，已知其中的三个量，可以由其通项公式和前n项和公式建立方程组，求出另外的两个量，即“知三求二”，该解法体现了方程思想的应用．在解方程组时，注意整体代换的应用，以简化求解过程． 2．等差数列的判定方法 若一个数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn，其中A，B是常数，则该数列是等差数列． 3．等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，认识到这一点，我们可以利用二次函数的图象和性质来研究等差数列前n项和的有关问题． 课时分层作业(五)　等差数列的前n项和 一、选择题 1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ B　[由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0， 则等差数列{an}的公差d＝，故a1＝a5－4d＝1－4×． 故选B．] 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a15的值为常数，则下列各数中也是常数的是(　　) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 C　[由a2＋a4＋a15是常数，可得a1＋6d＝a7是常数，所以S13＝＝13a7是常数，故选C．] 3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则＝(　　) A． B． C． D． A　[设S4＝m，则S8＝3m，S8－S4＝2m， 由于S4＝m，S8－S4＝2m，S12－S8＝3m，S16－S12＝4m， 相加可得S16＝10m，则．] 4．已知首项为正数的等差数列{an}满足a99＋a100>0，a99·a100<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　) A．197 B．198 C．199 D．200 B　[由题意知：等差数列中，从第1项到第99项是正数，且从第100项开始为负数， S198＝99>0， S199＝＝199a100<0，故n的最大值为198．] 5．已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则S10的值为(　　) A．90 B．91 C．96 D．100 B　[∵对任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)， ∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2． ∴数列在n≥2时是等差数列，公差为2．又a1＝1，a2＝2，∴S10＝1＋9×2＋×2＝91．] 二、填空题 6．已知Sn为等差数列的前n项和，a6＝100，则S11＝________． 1 100　[] 7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 95　[因为数列{an}为等差数列，则由题意得解得 则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．] 8．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于________． 　[] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． [解]　法一：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以数列{an}是递减数列． 又由an＝10＋(n－1)(－2)＝－2n＋12，可知： 当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0． 所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…． 也就是说，当n＝5或6时，Sn最大． 因为S5＝×[2×10＋(5－1)×(－2)]＝30，所以Sn的最大值为30． 法二：因为Sn＝n ＝－n2＋11n ＝－， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30． 10．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． [解]　(1)设数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝13，d＝－2． 所以数列{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)×(－2)＝15－2n． (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2． 综上，Tn＝ 11．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． D　[由等差数列的求和公式， 得S9＝＝1，故a3＋a7＝．故选D．] 12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a8等于(　　) A．21 B．15 C．12 D．9 B　[由数列{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，所以a7＋a8＋a9＝45，所以3a8＝45，所以a8＝15．] 13．(多选题)已知Sn是等差数列{an}(n∈N＋)的前n项和，且S6>S7>S5，下列选项正确的是(　　) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 AB　[由S6＞S7得a7＜0， 由S6＞S5得a6＞0，由S7＞S5得a6＋a7＞0． ∵d＝a7－a6，∴d<0， S11＝a1＋a2＋…＋a11＝＝11a6>0， S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a12)＋(a2＋a11)＋…＋(a6＋a7)＝6(a6＋a7)>0， ∵a6>0，a7<0，∴{Sn}中S6最大． 故选AB．] 14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________． 0　－10　[由题意得a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10， 解得a1＝－4，d＝1， 所以a5＝a1＋4d＝0， 故an＝a1＋(n－1)d＝n－5． 令an≤0，则n≤5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后各项为正． 所以Sn的最小值为S4＝S5＝－10．] 15．已知数列1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，…，其中相邻的两个1被2隔开，第n对1之间有n个2，求该数列前1 234项的和． [解]　根据题意，先把数列排成如下数阵： 1，2 1，2，2 1，2，2，2 … 则前n行共有2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝个数，＝1 224＜1 234＜1 274＝， 则该数列的第1 234项在第49组且是该组的第10个数，前48组中，有48个1，有(1＋2＋3＋…＋48)＝1 176个2，则前48组之和为48＋1 176×2＝2 400，第49组的前10个数中，有1个1，9个2，其和为1＋2×9＝19， 所以该数列的前1 234项和为2 400＋19＝2 419． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $