15.3 第2课时　分式方程的应用课件2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“分式方程的应用”，通过工程、行程、商城等短视频情境引入，结合温故知新衔接旧知，以明确的学习目标构建“问题情境-知识回顾-新知探究”的学习支架，助力学生掌握分式方程解决实际问题的方法。 其亮点在于融合视频微课辅助教学，典例覆盖工程、行程、商业等真实问题，通过“一审二设三找四列五解六验七写”步骤培养数学思维，“321法”总结提升建模能力。既帮助学生用数学眼光观察现实，发展应用意识，又为教师提供分层练习和互动资源，提高教学效率。

15.3 可化为一元一次方程的分式方程 温故知新 学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 合作探究 课堂小结 随堂演测 第2课时 分式方程的应用 1 课件说明 1.共分【学习目标】【情境引入】【探求新知】【典例铺路】【合作探究】【随堂演测】【课堂小结】七个板块，每个板块都有返回首页的链接，方便老师调用； 2.在【探求新知】中，每个知识点的最后，都附有视频微课，供老师备课时参考； 3.在【典例铺路】中，每道例题后面附有同类型的视频例题，供老师选用； 4在【随堂演测】中，配有六道小练习，前三道是给学生演练，后三道是学生检测，老师也可以布置成课后作业。 学 习 目 标 明确课堂学习目标对学生的学习效果和教师的教学效率都有重要意义。它帮助学生明确方向、提升效率、增强动机，同时为教师设计教学和评估效果提供依据。通过清晰、具体的学习目标，师生可以更好地实现教学目标，提高课堂质量 返回主页 1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程. (重点) 2.运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程.(难点) 3.通过分式方程的应用过程，培养数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力. 情 境 引 入 情境引入是教学中的重要策略，它通过创设生动、相关的情境，激发学生的学习兴趣，促进知识理解，培养问题解决能力，并增强知识的实用性。合理设计情境引入，能够有效提升课堂教学效果，帮助学生更好地掌握和应用知识 返回主页 短视频：工程 短视频：行程 短视频：商城 探 求 新 知 在数学课堂中学习新知识时，学生需要专注听讲、积极参与、及时巩固，而教师则需要设计合理的教学流程、注重互动和反馈。双方共同努力，才能确保新知识的有效掌握和灵活应用。 返回主页 由实际问题抽象出分式方程 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租金为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有人，则所列方程为（ ） B. C. D. 本题的等量关系为：原来每人分摊的钱数 - 实际每人分摊的钱数 = 3。原来参加旅游的学生有人，则增加两人后人数是人，由题意得，故选A。 方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系． 2.当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加。科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源。据研究，从每吨废旧智能手机中，能提炼出的白银比黄金多760 g。已知从2.5t废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6t废旧智能手机中提炼出的白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克。 由实际问题抽象出分式方程并解方程 列方程 步骤1：设未知数 设每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，则提炼出的白银为克（因为白银比黄金多760g）。 步骤2：根据等量关系列方程 根据题意，得 解方程 1.解分式方程的基本思路是什么？ 2.解分式方程有哪几个步骤？ 3.验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 去分母 转化 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 步骤3：解方程 展开并整理方程：   解决问题 步骤4：求白银的质量 白银质量：（克） 结论：每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克。 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有4种： （1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式； （2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式； （4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价；利润率=利润÷进价. 基本题型 典 例 铺 路 例题讲解是教学中的关键环节，它帮助学生理解知识、掌握解题方法、培养逻辑思维和问题解决能力，同时增强学习信心和应试能力。通过精心设计的例题讲解，教师可以有效提升教学效果，促进学生的全面发展。 类型一.列分式方程解决工程问题 例1 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致。两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 类型一.列分式方程解决工程问题 例1 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致。两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 步骤1：设未知数 设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据（因为甲的速度是乙的2倍）。 步骤2：根据“工时差”列方程 已知总数据量是2640个，根据公式 ： - 乙的输入时间（分钟）： - 甲的输入时间（分钟）： 又因为“甲比乙少用2小时（即120分钟）”，所以： 类型一.列分式方程解决工程问题 例1 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致。两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 步骤3：解方程 化简方程： 解得： 步骤4：验证并确定结果 经检验，是原方程的解，且符合实际意义。 因此： - 乙每分钟输入：个 - 甲每分钟输入：个 答案：甲每分钟输入22个数据，乙每分钟输入11个数据。 类型一.列分式方程解决工程问题 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 类型一.列分式方程解决工程问题 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 步骤1：设未知数 设乙单独完成这项工程需要x天. 步骤2：结合表格1，列方程 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 类型一.列分式方程解决工程问题 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 关系1：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” ， 步骤3：解方程 即 方程两边都乘以，得 解得 类型一.列分式方程解决工程问题 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 步骤1：设未知数 设乙单独完成这项工程需要x天. 步骤2：结合表格2，列方程 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲单独 两队合作 1 （+） 类型一.列分式方程解决工程问题 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 关系2：甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1” 步骤3：解方程 类型一.列分式方程解决工程问题 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 步骤4：解决问题 比较两队的工作效率 甲队的工作效率：（每月完成）； 乙队的工作效率：（每月完成全部工程）。 因为，所以乙队的施工速度更快。 1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2.通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率； 3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”. 点评 点评 4.解题方法：可概括为“321”，3指工程问题中的三量关系，即工作效率，工作时间，工作量；2指工程问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指工程问题中的一个等量关系，即两个主人公工作总量之和=全部工作总量. 短视频：分式方程解决工程问题 类型二.列分式方程解决行程问题 张庄和李庄两地之间的路程是25 km，嘉淇和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉淇骑自行车，爸爸骑摩托车，爸爸比嘉淇晚出发1 h，却和嘉淇同时到达，已知爸爸的速度是嘉淇速度的2.5倍，嘉淇和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉淇的速度为 km/h 根据以上信息，解答下列问题。 （1）甲同学所列方程中的表示________； （2）根据乙同学设的未知数，列方程并解答。 (1) 甲同学所列方程中x的含义 甲方程=2.5×中，x表示嘉淇从张庄到李庄所用的时间（单位：h）。 (2) 设嘉淇的速度为y km/h，列方程并解答 爸爸的速度是嘉淇的2.5倍，因此爸爸的速度为2.5y km/h。 根据“爸爸比嘉淇晚出发1h，却同时到达”，可知： 嘉淇用的时间 - 爸爸用的时间 =1 路程为25km，时间，因此列方程： 解方程： 检验：当y=15时，2.5y=37.5≠0，因此y=15是原方程的解。 爸爸的速度：2.5×15=37.5（km/h） 答：嘉淇的速度是15 km/h，爸爸的速度是37.5 km/h。 点评 1.行程问题中的三个量，即路程、速度和时间，分别用代数式表示出来； 2.行程问题中的等量关系通常是抓住“时间线”来建立. 短视频：分式方程解决行程问题 【问题背景】2024年4月23日是第29个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍。 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 类型三.列分式方程解决商业问题 【问题解决】 (1)问题一：求出A，B两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为ω元，求ω与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价m元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值。 【解】 (1) 设B种书架的单价为元，则，解得：，经检验，是所列方程的根，且符合题意，。 ∴A、B两种书架的单价分别为1200元，1000元。 购买个A种书架时，购买总费用为，由题意得，，解得。 ，∴随着的增大而增大。 ∴当时，的值最小，此时购买B种书架（个）。 ∴费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个。 由题意得， 解得。 短视频：分式方程解决商业问题 合 作 探 究 师生合作探究是一种以学生为中心的教学方法，强调师生共同参与学习过程，通过合作解决问题、探索知识。其核心在于师生平等互动，教师不再是单纯的知识传授者，而是引导者和协作者，学生则主动参与知识的构建。 返回主页 牛刀小试1 【工程问题】随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有A、B两组员工可完成这项任务。已知A组员工单独完成此项任务所需的时间是B组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务。 (1)求A、B两组员单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知A组原有10人，两组合作2天后，A组决定增加员工，B组人数保持不变，两组继续合作，假设A组每个人的工作效率相同，则A组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ (1) 求A、B两组单独完成任务的时间 设B组单独完成任务需天，则A组单独完成需天。 两组合作的工作效率为，根据“合作12天完成”列方程： 化简得： 因此： - B组单独完成需天， - A组单独完成需天。 (2) 求A组至少增加的人数 设A组每人每天效率为，B组每人每天效率为（但B组人数不变，整体效率为）。两组合作2天的工作量： 剩余工作量：，剩余时间：天。 (2) 求A组至少增加的人数 设A组增加人，A组总效率变为，两组合作效率为。 根据“6天完成剩余工作量”列不等式： 化简： 因此（人数为整数）。 牛刀小试2 【行程问题】某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300km，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度。 设D型车的平均速度为x km/h，则C型车的平均速度为3x km/h。 根据“C型车比D型车少用2小时”，结合“时间=路程÷速度”，列方程： 解方程： 检验：当x=100时，3x=300≠0，因此x=100是原方程的解。 答案： D型车的平均速度是100 km/h。 牛刀小试3 【商业问题】某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格? 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3. 设去年居民用水的价格为元，则今年水价上涨后，今年的水价为元。 先化简方程： 两边同乘： 今年水价为，代入： 验证（避免分式方程增根） 去年12月用水量：，今年7月用水量：，差值：，符合题意。 结论：该市今年居民用水的价格是元。 随 堂 演 测 返回主页 随堂演 【工程问题】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程． 解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时． 由题意得 . 解得x＝6. 经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． 随堂演 【行程问题】朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200km时，发现小轿车只行驶了180km，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,问面包车，小轿车的速度分别为多少？ 0 180 200 解：设小轿车的速度为xkm/h，则面包车的速度为(x+10)km/h，依题意得 解得x＝90 经检验，x＝90是原方程的解， 且x=90，x+10=100，符合题意. 答：面包车的速度为100km/h， 小轿车的速度为90km/h. = 随堂演 【商业问题】佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？ 解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案； 解：(1)设第一次购买的进价为x元，则第二次的进价为1.1x元， 根据题意得 ， 解得x＝6. 经检验，x＝6是原方程的解． 答：第一次水果的进价为每千克6元． (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． (2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)． 第二次购买水果200＋20＝220(千克)． 第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)， 第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝ －12(元)． 所以两次共赚钱400－12＝388(元)． 随堂测 【工程问题】 某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h，然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？ 【分析】设安排x人先做2h，然后根据先后两个时段完成这项工作的，可列方程求解。 【详解】解：设应该先安排x名工人工作， 由题意得： 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， 答：应该先安排2名工人工作。 随堂测 【行程问题】小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200km，小轿车行驶了180km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，结果他们正好同时到达距离出发点300km的地方，请问小轿车提速多少？ 0 180 200 300 解：设小轿车提速为xkm/h，依题意得 解得x＝30 经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意. 答：小轿车提速为30km/h. = 随堂测 【商业问题】 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得 解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160. 答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元． 课 堂 小 结 课堂小结是教学过程中不可或缺的环节，它不仅帮助学生巩固知识、提升学习效果，还能促进教师反思教学、优化课堂设计。通过有效的课堂小结，师生可以共同实现教学目标，提高教学效率和学习质量。 返回主页 1 2 3 4 认真领会 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二设三找四列五解六验七写 321法 65 $