12.8.2尺规作图 学习任务单2025-2026学年北京版数学八年级上册

该初中数学学习任务单聚焦角平分线的尺规作图、性质及判定定理，以作图操作与逻辑证明为基础，通过探究应用串联知识脉络，为后续三角形内心等内容学习搭建支架。 资料注重几何直观与推理意识培养，设计从作图探究到性质证明再到现实应用（如度假村选址）的进阶任务，习题梯度合理，强化“数学眼光观察”“数学思维推理”与“数学语言表达”，有效提升学生逻辑推理与问题解决能力。

基本信息 课题 尺规作图 学习目标 探究作角平分线的方法，掌握角平分线的尺规作图方法并加以证明；探究角平分线的性质并加以证明．学习并使用新的定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养自己逻辑推理的能力. 课上学习任务 探究1：角平分线的尺规作图方法及其证明 探究2：角的平分线的性质 【学习任务一】 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC． 【学习任务二】 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等． 探究3：应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 例：如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE＝DF． 练习．如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA相等的角是　 　，并证明你的结论． 【学习任务三】 例，在△ABC中，∠C＝36°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F， DE＝DF．求∠ADB的度数． 练：如图，D，E，F分别是△ABC的三条边上的点，BE＝CF，△DBE和△DCF的面积 相等．求证：AD平分∠BAC． 课堂检测 1. 如图，OP为∠AOB内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且 ∠PCO+∠PDO＝180°，PC＝PD．求证：OP平分∠A0B． 2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN． 北京版数学八年级上册《12.8.2尺规作图》学习任务单答案 课上学习任务答案 【学习任务一】 证明： 1. ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 2. 在Rt△BDE和Rt△CDF中： ∠B=∠C（已知） DE=DF（已证） ∠DEB=∠DFC=90° ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS） ∴ EB=FC（全等三角形对应边相等）。 【学习任务二】 证明： 1. 过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。 2. ∵ BM平分∠ABC，P在BM上， ∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 3. ∵ CN平分∠ACB，P在CN上， ∴ PE=PF（同理）。 4. ∴ PD=PE=PF，即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 【探究3应用】 答案：应修建在三角形内部三个内角平分线的交点（即三角形的内心）处。因为该点到三角形三边的距离相等。 例：证明： 1. 连接AD。 2. 在△ABD和△ACD中： AB=AC（已知） BD=CD（已知） AD=AD（公共边） ∴ △ABD≌△ACD（SSS） ∴ ∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等） 3. ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，且AD平分∠BAC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 练习：证明： 1. 作PH⊥OA于H，PG⊥OB于G。 2. ∵ OP平分∠AOB， ∴ PH=PG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 3. 在Rt△PHD和Rt△PGE中： PD=PE（已知） PH=PG（已证） ∴ Rt△PHD≌Rt△PGE（HL） ∴ ∠PDA=∠PEB（全等三角形对应角相等）。 【学习任务三】 例：解： 1. ∵ DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ AD平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 2. ∠BAC=180°∠ABC∠C=180°110°36°=34°。 ∴ ∠BAD=∠DAC=17°。 3. 在△ABD中，∠ABD=180°∠ABC=70°（因为∠ABC=110°，所以∠ABD=70°）。 ∴ ∠ADB=180°∠BAD∠ABD=180°17°70°=93°。 练：证明： 1. 作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H。 2. ∵ S△DBE = S△DCF，且BE=CF， ∴ DG = DH（等底等高的三角形面积相等，高即距离）。 3. ∵ DG⊥AB，DH⊥AC，且DG=DH， ∴ AD平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 课堂检测答案 1. 证明： 1. 作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F。 ∵ ∠PCO+∠PDO=180°，∠PDO+∠PDF=180°， ∴ ∠PCO=∠PDF。 在△PEC和△PFD中： ∠PEC=∠PFD=90° ∠PCO=∠PDF（已证） PC=PD（已知） ∴ △PEC≌△PFD（AAS） ∴ PE=PF。 ∵ PE⊥OA，PF⊥OB，且PE=PF， ∴ OP平分∠AOB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 2. 证明： 1. 在△ABD和△CBD中： AB=BC（已知） ∠ABD=∠CBD（BD平分∠ABC） BD=BD（公共边） ∴ △ABD≌△CBD（SAS） ∴ ∠ADB=∠CDB（全等三角形对应角相等）。 2. ∵ PM⊥AD，PN⊥CD，且∠ADB=∠CDB， ∴ PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 学科网（北京）股份有限公司 $