12.8尺规作图（第3课时线段垂直平分线与三角形作图）（教学课件）数学北京版2024八年级上册

北京版2024·八年级上册 四、尺规作图及轴对称 12.8尺规作图 第三课时线段垂直平分线与三角形作图 第十二章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质定理 理解垂直平分线性质与判定的互逆关系 能根据已知条件用尺规作三角形 复习回顾 1.角平分线性质双问： 性质定理：平分线上的点到两边距离______ 逆定理：到两边距离相等的点在______ （相等） （角平分线上） 2.基本作图回顾： 作等角的方法步骤？ 作角平分线的关键要点？ "固定半径画双弧， 移心截弦莫疏忽。 全等判定SSS， 新角旧角不差殊。" "同径画双交， 大于半弦妙。 三点连平分， 全等错不了。" 情景导入 "工程师要在河两岸（A、B两点）建造对称的桥墩，如何精准找到河中心线位置？" 思考： "如果只用绳子和木桩，如何确定到两岸距离相等的点？" 垂直平分线的定义：垂直于一条线段并过这条线段中点的直线叫作这条线段的垂直平分线.又称线段的中垂线. 新知探究 垂直平分线概念建立 定义解析： 垂直平分线 = 垂直线段 + 通过中点 别称："中垂线"的由来（中文"中"指中点，"垂"指垂直） 新知探究 垂直平分线概念建立 已知线段AB，作垂直平分线CD 解：如图所示，直线CD即为所求作的线段的垂直平分线. 作法： (1)分别以点A、B为圆心、大于为半径作弧，两弧分别交于点C,D; (2)作直线CD. 作图探究 新知探究 垂直平分线概念建立 作法： (1)分别以点A、B为圆心、大于为半径作弧，两弧分别交于点C,D; (2)作直线CD. 分步原理 取半径>AB的原因： 1.确保两弧能相交（三角形不等式） 2.若半径=AB，两弧仅在中点相切 为什么只需两个交点： 两点确定唯一直线 新知探究 垂直平分线概念建立 理论验证 证明：连接AC、AD、BC、BD ∵ AC=BC=AD=BD（同半径作弧） ∴ △ACD≌△BCD（SSS） 得∠ACD=∠BCD，且AC=BC ∴ CD垂直平分AB（等腰三角形三线合一） 新知探究 性质定理探究 思考与交流 1.如图12-72、CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上一点，分别连接PA,PB.当点P在CD上移动时，观察PA,PB长度的关系，可得出什么猜想?能证明你的猜想吗? 图12-72 测量发现：PA = PB 新知探究 性质定理探究 验证猜想： 图12-72 证明：当P与C重合时：CA=CB 当P在其他位置： ∵ CD是对称轴 ∴ PA=PB（对称点性质） 新知探究 性质定理探究 归纳小结 由此我们可以可以得出线段垂直平分线的定理1： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. P A B l C 符号语言： ∵l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB 新知探究 性质定理探究 思考与交流 2.如图12-73,PA=PB,点P在什么位置上? 图12-73 解：取AB中点M，连接PM ∵ PA=PB，PM=PM，AM=BM ∴ △PAM≌△PBM（SSS） 得∠PMA=∠PMB=90° 故P在AB的垂直平分线上 M 新知探究 性质定理探究 归纳小结 由此我们可以可以得出线段垂直平分线的定理1： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言： ∵PA=PB ∴P在AB的垂直平分线 P A B l C 新知探究 三角形作图 例6已知两边及其夹角，求作三角形. 已知：线段a,b及∠a(图12-76). 求作：△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=∠a. 图12-76 分析：欲作一个三角形，使其两边分别等于a,b、其夹角等于∠a、先作∠DCE等于∠a、然后在这个角的两条边上分别截取CB=a,CA=b,再连接AB即可. 新知探究 三角形作图 作法： (1)作∠DCE=∠a; (2)在射线CE上截取CB=a; (3)在射线CD上截取CA=b; (4)连接AB. 所以△ABC就是所求作的三角形 新知探究 三角形作图 关键步骤解析： 先作角的必要性： 确定三角形的"骨架" 保证夹角大小精确 截取长度的技巧： 使用圆规固定长度 作标记防止滑动误差 典例解析 例5 已知：如图12-75、AC=AD、BC=BD、E是直线AB上任意一点.求证：EC=ED. 图12-75 证明：∵ AC=AD, ∴ 点A在线段CD的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 同理可证：点B在线段CD的垂直平分线上. 根据两点确定一条直线，可知直线AB是线段CD的垂直平分线. ∵点E在直线AB上， ∴ EC=ED(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 课堂练习 1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B P A B C D 图① 课堂练习 A B C D E 图② 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . 10cm 课堂练习 8 A B C D E 3.如图，在△ABC 中，BC =8，AB的中垂线交BC于D，AC的 中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等于______． 课堂练习 4.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 课堂练习 5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm. A B C D E 16 课堂练习 6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O， ∴ AO=BO. 课堂练习 7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系． 解：AD垂直平分EF. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°. 又∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF， ∴AE＝AF，DE＝DF. ∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF. A B C D E F 课堂总结 垂直平分线 作图方法 同半径作弧 两点定直线 性质定理 距离相等 逆定理 判定位置 课堂总结 几何作图"三要素"： 圆心定位准 半径固定牢 交点标记清 证明"垂直平分"的双向思路： 正向：在中垂线上→距离等 逆向：距离等→在中垂线上 感谢聆听! $