12.8尺规作图（第2课时尺规作图角与角平分线性质）（教学课件）数学北京版2024八年级上册

北京版2024·八年级上册 尺规作图及轴对称 12.8尺规作图 第二课时尺规作图角与角平分线性质 第十二章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 掌握作等角和角平分线的尺规作图方法 理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理 能综合运用定理解决几何问题 复习回复 1.全等三角形判定方法回顾 2.基本尺规作图： （SSS、SAS、ASA） 作线段、作垂线 3.诊断练习： 作一条线段等于已知线段（已知：线段a） 解：如图所示，线段AB即为所求作的线段. 情景导入 "工匠需要精确复制一个木构件的角度，但没有量角器，只有直尺和圆规。如何保证复制角度完全一致？" 新知探究 作等角 1.作一个角等于已知角 例1 已知：∠AOB. 求作：一个角，使它等于∠AOB. 分析：欲作一个角等于∠AOB,联想到全等三角形的对应角相等，可以先构造一个以∠AOB为内角的三角形，再作与之全等的三角形。 新知探究 作等角 作法：(1)作射线O'A; O' A (2)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C,交OB于点D; (3)以点O'为圆心，OC的长为半径作弧CE’,交OA'于点C; (4)以点C'为圆心，CD的长为半径作弧，交弧CE于点D'; （5)过点D'作射线O'B'. 新知探究 作等角 作图原理分析： 核心思想：全等三角形对应角相等 关键步骤： 1.固定半径作弧（保证边相等） 2.截取等长弦（保证三角形全等） 新知探究 作角的平分线 2.作角的平分线 例2 已知：∠AOB. 求作：射线OC,使它平分∠AOB 作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径交OA于点D,交OB于点E; (2)分别以点D,E为圆心，以大于DE长为半径作弧，两弧交于点C; (3)作射线OC. 所以射线OC就是所求作的射线 新知探究 作角的平分线 数学原理：证OC是∠AOB的角平分线 1.连接DC和EC的几何意义： DC是以D为圆心，半径r₁的圆弧半径 EC是以E为圆心，半径r₂的圆弧半径 根据作图要求，必须保证 r₁ = r₂ ∴DC=EC 新知探究 作角的平分线 2.全等三角形判定： 在△ODC和△OEC中： OD = OE（第一步同半径画弧） DC = EC（第二步同半径画弧） OC = OC（公共边） ∴ △ODC ≌ △OEC（SSS全等） 新知探究 作角的平分线 3.角度相等推导： ∵ △ODC ≌ △OEC ∴ ∠DOC = ∠EOC 即OC平分∠AOB 进一步确定所作射线0C为∠AOB的角平分线 新知探究 角平分线性质探究 实验观察 任意画一个∠AOB，作∠AOB的角平分线，C是OP上任意一点，CM⊥OA于点M,CN⊥OB于点N,观察并交流记录CM与CN之间的关系. 思考与交流 CM CN 甲记录 乙记录 丙记录 发现规律：CM=CN O B A C M N 新知探究 角平分线性质探究 定理证明： 已知：OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB 求证：CM=CN O B A C M N 解：∵∠MOC=∠NOC（角平分线） ∠OMC=∠ONC=90° OC=OC ∴△OMC≌△ONC（AAS） ∴CM=CN 新知探究 角平分线性质探究 逆定理探究 如图,P是∠AOB内一点，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,且PC=PD.猜想：点P在什么位置上?你能证明你的猜想吗? O B A P C D 证明：连接OP 在Rt△OPC和Rt△OPD中 Rt△OPC≌Rt△OPD（HL） ∴∠POC=∠POD PC=PD OP=OP 所以点P在∠AOB的角平分线上 新知探究 角平分线性质探究 归纳小结 通过上述活动，我们得到定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 典例解析 例3 已知：如图12-70、在Rt△ABC中、∠C=90°、CA=CB、AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E. 图12-70 分步解析： 1.根据角平分线性质：DC=DE 2.已知条件CA=CB，得出△ABC为等腰三角形∠B=45° 45° 3.在△DEB中，根据三角形的内角和得∠EDB=∠B=45° 4.根据等角对等边，得出DE=BE 5.等量代换得DC=BE 典例解析 例3 已知：如图12-70、在Rt△ABC中、∠C=90°、CA=CB、AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.求证：DC=BE. 图12-70 证明： ∵DE⊥AB, ∴ ∠C=∠DEA=90°, 又∵AD平分∠BAC, ∴DC=DE .:∠C=90°,CA=CB, ∴ ∠B=45°. ∴ ∠EDB=180°-90°-45°=45°. ∴ ∠B=∠EDB. ∴ BE=DE. ∴ DC=BE. 课堂练习 1、如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 2、△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 . 3 A B C D 课堂练习 3、如图，在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论： ①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF．其中，正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 课堂练习 4、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________． 350 课堂练习 E D C B A 6 8 10 5、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 课堂练习 6、如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 课堂总结 角平分线 作图方法 固定半径作弧 截取等长弦 性质定理 点到两边距离相等 逆定理 距离相等的点在角平分线上 课堂总结 几何作图"三检查"原则： 检查圆规半径 检查交点位置 检查最终图形 证明"距离相等"的双向思路： 正向：平分线→距离等 逆向：距离等→在平分线 感谢聆听! $