精品解析：山西省太原市第五中学校2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期七年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图正方体纸盒，展开后可以得到（　　） A. B. C. D. 2. 下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 利用圆规可以比较两条线段的大小关系 D. 测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直 3. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若单项式与的和仍是单项式，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 下列方程变形中，正确的是（ ） A. 方程，移项，得 B. 方程，去括号，得 C. 方程，未知数系数化为，得 D. 方程化成 7. 如图，点是线段上一点，为的中点，且，．若点在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（） A. y=2n+1 B. y=2n+n C. y=2n+1+n D. y=2n+n+1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个解，则_________． 12. 从一个多边形的一个顶点出发．最多可以引12条对角线，则这个多边形是_____． 13. 如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③，正确的是_______（填序号）． 14. 根据如图所示的程序计算变量的值，若输入的值是或时，输出的值相等，则等于_____． 15. 如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第_______时，直线恰好平分锐角（图②）． 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 17. 已知代数式，，．求的值，其中x、y满足． 18. 下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得……① 去括号，得……② ，得……③ 合并同类项，得……④ 系数化为1，得……⑤ （1）该同学的解答过程在第 步开始就出现错误；（填写对应编号） （2）该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是 ； （3）请你写出此方程的正确解答过程． 19. 以点B为顶点，射线为一边，在射线上方作，使.（要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 20. 如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． （1）图中共有 条线段； （2）求线段的长； （3）若点E在直线上，且，求线段的长． 21. 国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 （1）A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ （2）该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 22. 【阅读材料】规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”． 例如：方程的解为， 而， 所以方程为“和谐方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于的一元一次方程是“和谐方程”的有______；（填写序号） ①；②；③． （2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，求的值； （3）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，并且它的解是，求，的值． 23. 综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 （1）数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； （2）如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ （3）如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期七年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图正方体纸盒，展开后可以得到（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠后白色圆与蓝色圆所在的面的位置进行判断即可． 【详解】解：A．两个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意； B．白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意； C．白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意； D．白色圆与两个蓝色圆所在的面折叠后是相邻的面，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，掌握正方体的展开图各个面的相对位置是解题的关键． 2. 下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 利用圆规可以比较两条线段的大小关系 D. 测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据“两点之间，线段最短”，“两点确定一条直线”以及“垂线段最短”进行分析，即可得出结果． 【详解】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上根据的是“两点确定一条直线”，故A选项错误； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程根据的是“两点之间，线段最短”，故B选项正确； 利用圆规可以比较两条线段的大小关系根据的是线段的和差，故C选项错误； 测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直根据的是“垂线段最短”，故D选项错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查的是对“两点之间，线段最短”，“两点确定一条直线”以及“垂线段最短”的理解． 3. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，等式两边同时加，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时乘，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时除以，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，当时，不一定等于，该选项变形不正确，符合题意； 故选：． 5. 若单项式与的和仍是单项式，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项，以及单项式，利用同类项定义求出m与n的值，即可求解． 【详解】单项式与的和仍是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 下列方程变形中，正确的是（ ） A. 方程，移项，得 B. 方程，去括号，得 C. 方程，未知数系数化为，得 D. 方程化成 【答案】D 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的方法即可解答． 【详解】A、方程，移项，得，故本选项错误． B、方程，去括号，得，故本选项错误． C、方程，未知数系数化为，得，故本选项错误． D、方程化成，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，步骤：去分母，去括号，移项合并，系数化为一． 7. 如图，点是线段上一点，为的中点，且，．若点在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，由题意得，，推出；分类讨论若点在点A左边，若点在点A右边，两种情况即可求解； 【详解】解：∵为的中点，． ∴，， ∵， ∴， 若点在点A左边，则； 若点在点A右边，则； 故选：D 8. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设城中有户人家，根据每家取一头鹿，共取头鹿，剩余鹿由每三家共取一头，可知每家又取头鹿，共取头鹿，恰好取完头鹿，由此列方程． 【详解】解：设城中有户人家， 每家取一头鹿，户人家共取头鹿， 剩余鹿由每三家共取一头，可知每家又取头鹿，共取头鹿 ∵总鹿数为100， ∴． 故选：A． 9. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，正确从数轴得到的大小以及正负是解题的关键． 由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 10. 如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（） A. y=2n+1 B. y=2n+n C. y=2n+1+n D. y=2n+n+1 【答案】B 【解析】 【详解】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n， 右边三角形的数字规律为：2，，…，， 下边三角形的数字规律为：1+2，，…，， ∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n. 故选B． 【点睛】考点：规律型：数字的变化类． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个解，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解及解法，熟练掌握方程解的意义及一元一次方程的求解是解题关键．把代入方程再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为： 12. 从一个多边形的一个顶点出发．最多可以引12条对角线，则这个多边形是_____． 【答案】十五边形 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键，据此即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得：， 解得：． ∴这个多边形是十五边形． 故答案为：十五边形． 13. 如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③，正确的是_______（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义，设，，，由可求，则，根据中点定义求出即可判断①；根据线段的和差关系可求出即可判断②；计算，即可判断③． 【详解】解：设，，， 由，得，， 则， ∵是中点， ∴，故①正确； ，故②正确； ，，故③错误； 故答案为：①②． 14. 根据如图所示的程序计算变量的值，若输入的值是或时，输出的值相等，则等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，把与代入程序中计算，根据值相等得到关于的一元一次方程，求解即可．弄清程序中的关系式是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，， ∵若输入的值是或时，输出的值相等， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第_______时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24##24或6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）先进行乘方和乘除运算，再进行减法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 已知代数式，，．求的值，其中x、y满足． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先对进行化简，再将、的表达式代入化简后的式子，最后根据非负数的性质求出、的值，代入求值．本题主要考查了整式的化简求值以及非负数的性质，包括平方数和绝对值的非负性．熟练掌握整式的运算法则（去括号、合并同类项）以及非负数的性质（若几个非负数的和为，则每个非负数都为）是解题的关键． 【详解】解： ∵，， ∵， ∴，， 解得，． 把，代入可得, 原式 18. 下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得……① 去括号，得……② ，得……③ 合并同类项，得……④ 系数化为1，得……⑤ （1）该同学的解答过程在第 步开始就出现错误；（填写对应编号） （2）该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是 ； （3）请你写出此方程的正确解答过程． 【答案】（1）① （2）移项 （3） ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母的方法，进行判断得出答案即可； （2）根据解一元一次方程的基本步骤，此时应该是移项； （3）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【小问1详解】 解：该同学的解答过程在第①步开始出现错误，出现错误的原因是去分母时漏乘常数项， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：该同学求解过程中，第③步中的横线上应填移项， 故答案为：移项； 【小问3详解】 略 19. 以点B为顶点，射线为一边，在射线上方作，使.（要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 【答案】 当在射线的上方时，如图，即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键；根据作一个角等于已知角的尺规作图方法即可得． 【详解】 略 20. 如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． （1）图中共有 条线段； （2）求线段的长； （3）若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】（1）6 （2）的长为 （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了线段两点间的距离，线段中点的有关计算，直线、射线、线段，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据图形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当点E在线段的延长线上时；当点E在线段上时；然后分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：图中共有6条线段，分别是：， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：点B为的中点，， ， ， ， 的长为； 【小问3详解】 解：分两种情况： 当点E在线段的延长线上时，如图： ，． ； 当点E在线段上时，如图： ，． ， ∴ 综上所述：的长为或． 21. 国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 （1）A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ （2）该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【答案】（1）A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个 （2）七五折 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个，根据“A款和B款冰箱贴总成本为1380元”列方程求解即可； （2）设B款冰箱贴按标价的m折出售，根据“共获利252元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个． 根据题意，得 解这个方程，得 ． 答：A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个． 【小问2详解】 解：设B款冰箱贴按标价的m折出售． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 答：B款冰箱贴按标价的七五折出售． 22. 【阅读材料】规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和谐方程”． 例如：方程的解为， 而， 所以方程为“和谐方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于的一元一次方程是“和谐方程”的有______；（填写序号） ①；②；③． （2）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，求的值； （3）已知关于的一元一次方程是“和谐方程”，并且它的解是，求，的值． 【答案】（1）② （2） （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了“和谐方程”的定义、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解此题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义逐项判断即可； （2）根据“和谐方程”的定义计算即可得出答案； （3）根据“和谐方程”的定义计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：①解得：， ， 不是“和谐方程”，故①不符合题意； ②解得：， ， 是“和谐方程”，故②符合题意； ③解得：， ， 不是“和谐方程”，故③不符合题意； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：的解为， 方程是“和谐方程”， ， ； 【小问3详解】 解：方程是“和谐方程”，而且方程的解为， ， ． 方程化为：， 解得， ， ． 23. 综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 （1）数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； （2）如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ （3）如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】（1），30，10 （2）22秒或18秒 （3）动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒 【解析】 【分析】（1）由，得，解得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为，分三种情况列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∴A表示的数是，B表示的数是30； 解方程得， ∴C表示的数为10； 故答案为：，30，10； 【小问2详解】 解：由题意得：P表示的数为，Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， 即或， 解得或； ∴经过22秒或18秒时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度； 【小问3详解】 解：设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，则有： 运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为， 若P为中点，则， 解得； 若Q为的中点，则， 解得； 若R为中点，则， 解得； ∴动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是读懂题意，列出方程及分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $