4.2.2第2课时等差数列前n项和的应用同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2第2课时　等差数列前n项和的应用 一．选择题 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也一定是常数的是(　　) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 2.《张丘建算经》卷上有一题,其意思为现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布.现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为(　　) A.55 B.52 C.39 D.26 3.在数列{an}中,若an=43-3n,则Sn取得最大值时,n等于(　　) A.13 B.14 C.15 D.14或15 4.已知数列{an}中,a1=1,Sn=n2-n,设bn=,则数列{bn}的前n项和为(　　) A. B. C. D. 5.已知等差数列{an}中,a1=11,前7项的和S7=35,则前n项和Sn中(　　) A.前6项和最大 B.前7项和最大 C.前6项和最小 D.前7项和最小 6.(多选题)设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0,且S6=S9,则(　　) A.d>0 B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 7.已知点(n,an)在函数y=9-2x的图象上,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　) A.-14 B.-16 C.14 D.16 8.已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,则+…+等于(　　) A. B. C. D. 9.已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值,且-1<<0,则使得Sn>0成立的n的最小值是(　　) A.11 B.12 C.21 D.22 10.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0,a7<0,则(　　) A.a6<0 B.-<d<-3 C.当Sn<0时,n的最小值为13 D.数列中的最小项为第8项 二．填空题 11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为　　　　　.  12.在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是　　　　　. 13.(2024·新高考Ⅱ)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　　.  三．解答题 14.已知等差数列{an}满足a1+a3+a5=24,an=an-2-2(n≥3). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Sn. 15.设{an}是等差数列,a1=-10,且(a3+8)2=(a2+10)·(a4+6). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 16.已知数列{an}满足a1=1,(n+1)an+1-nan=n+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn为数列的前n项和,求证≤Sn<2. 17.某山村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用11万元,以后每年支出费用增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额). (1)求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值; (2)计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值. 18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数y=x2+x的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列的前n项和为Tn,不等式Tn>loga(1-a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围. 4.2.2第2课时　等差数列前n项和的应用 一．选择题 1.C 设等差数列{an}的公差为d,由题意可知a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数, 又S13==13a7,故S13一定是常数. 2.B 由题意可得{an}为等差数列,设其公差为d.a1=5,S30=30×5+d=390,解得d=,故a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52. 3.B 当n≥2时,an-an-1=43-3n-[43-3(n-1)]=-3,当n=1时,a1=40,即{an}是以40为首项,-3为公差的等差数列,故Sn==-n2+n=-,则当n=14时,Sn取得最大值. 4.A 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n-=3n-2,当n=1时,a1=3×1-2=1,符合上式,故an=3n-2,则bn=. 设Tn为数列{bn}的前n项和,则Tn==. 5.A 由题意知S7==35,则a7=-1,因为a1=11,所以公差d==-2,即an=-2n+13,则a6>0,a7<0,故前6项和最大. 6.BC 因为Sn=na1+d,所以Sn=n2+n,则Sn是关于n(n∈N*)的一个二次函数,又a1>0,且S6=S9,则二次函数图象的对称轴为直线n=,开口向下,则d<0,故A错误;因为n为整数,所以当n∈N*,且n≤7时,Sn单调递增,当n∈N*,且n≥8时,Sn单调递减,所以S5<S6,故D错误;当n=7或n=8时,Sn最大,故C正确;由S7=S8,得a8=0,故B正确. 7.D 根据题意,得an=9-2n,令an=9-2n≥0,解得n≤, 故当n=4时,Sn取最大值,且最大值为S4==16. 8.C 由于点P(an,an+1)在直线y=x+1上,则an+1-an=1,即{an}为等差数列,其中首项a1=1,公差为1,得an=n,即数列{an}的前n项和Sn=, 则=2, 故+…+=21-+…+=2. 9.D 由题意,可得等差数列{an}的公差d>0. 因为-1<<0,所以a12>0,a11<0,即a11+a12>0, 则S22==11(a11+a12)>0,S21=21a11<0. 故使得Sn>0成立的n的最小值是22. 10.BC 依题意得a3=a1+2d=12,a1=12-2d,S12=×12=6(a6+a7)>0, 而a7<0,所以a6>0,a1>0,d<0,A选项错误; 由 解得-<d<-3,B选项正确; 因为S13=×13=13a7<0,而S12>0,所以当Sn<0时,n的最小值为13,C选项正确; 由上述分析可知,当n≤6,且n∈N*时,an>0,当n≥7,且n∈N*时,an<0;当n≤12,且n∈N*时,Sn>0,当n≥13,且n∈N*时,Sn<0,故当7≤n≤12,且n∈N*时,an<0,Sn>0,<0,|an|单调递增,Sn为正数且单调递减,得数列中的最小项为第7项.D选项错误. 二．填空题 11. 4或5 设等差数列{an}的公差为d, 由解得 则a5=a1+4d=0,即S4=S5同时最大.故n=4或n=5. 12. S5 在等差数列{an}中,由于a3+a8>0,S9<0, 则a5+a6=a3+a8>0,S9==9a5<0, 即a5<0,a6>0,故S1,S2,…,S9中最小的是S5. 13.95 设等差数列{an}的公差为d. (方法一)由条件得解得所以S10=10a1+×3=95. (方法二)解得则d=3,a9=20,∴S10=5(a2+a9)=95. 三．解答题 14. 解(1)因为a1+a3+a5=24, 所以3a3=24,得a3=8. 设{an}的公差为d, 因为an=an-2-2,即an-an-2=2d=-2, 所以d=-1,an=a3+(n-3)d=11-n. (2)由(1)可知an=11-n,则|an|=|11-n|, 当n≤11时,Sn=(10+11-n)=; 当n>11时,Sn=S11+|a12+…+an|=55+=55++110. 综上所述,Sn= 15. 解(1)设等差数列{an}的公差为d,由(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),a1=-10, 得(2d-2)2=d(3d-4),解得d=2,故an=-10+2(n-1)=2n-12. (2)由(1)知an=2n-12,则Sn=×n=n2-11n=, 故当n=5或n=6时,Sn取得最小值-30. 16. (1)解由于(n+1)an+1-nan=n+1, 取n=1,2,3,…,n-1,得2a2-a1=2, 3a3-2a2=3, 4a4-3a3=4, …… nan-(n-1)an-1=n, 累加得nan=1+2+…+n=,故an=. (2)证明由(1)得=4, 则Sn=4[+…+]=2-. 因为Sn随着n的增大而增大,所以Sn≥S1=. 又Sn<2,所以≤Sn<2. 17. 解(1)由题意可知,每年的支出费用组成首项为11,公差为2的等差数列,故前n年的总支出费用为11n+×2=n2+10n,则f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64,n∈N*.f(n)=-(n-13)2+105,故当n=13时,f(n)取得最大值105,即前13年的纯利润总和最大,且最大值为105万元. (2)由(1)知,前n年的年平均纯利润为=-+26, 由于n+≥2=16,当且仅当n=,即n=8时,等号成立, 则≤-16+26=10,即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元. 18. 解(1)由于点(n,Sn)在函数y=x2+x的图象上,则Sn=n2+n.① 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1),② 由①-②,得an=n. 当n=1时,a1=S1=1,符合上式.故an=n. (2)由(1)得, 则Tn=+…+ =. Tn+1-Tn=>0,即数列{Tn}单调递增,故数列{Tn}中的最小项为T1=. 要使不等式Tn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要loga(1-a), 即loga(1-a)<logaa. 解得0<a<,即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $