4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时 等差数列前n项和的性质及应用）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 基础巩固 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝7，则＝（ ） A. B. C. D. 2.若等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和S3m为90，则它的前2m项和S2m为（ ） A.30 B.70 C.50 D.60 3.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ） A.0.25升 B.0.5升 C.1升 D.1.5升 4.已知等差数列{an}的公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，那么S100等于（ ） A.80 B.120 C.135 D.160 5.（多选）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则满足∈Z的n的值可能为（ ） A.2 B.4 C.12 D.14 6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝28，S11＝88，则{an}的公差d＝（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 023＝ . 8.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为 . 9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和. （1）证明{}是等差数列； （2）设Tn为数列{}的前n项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn. 综合运用 11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为（ ） A. B. C.10 D.11 12.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 . 13.若等差数列{an}的项数为2n＋1，前n项和为Sn，所有偶数项的和为S偶，所有奇数项的和为S奇，则S2n＋1＝（2n＋1）an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝ . 拔高拓展 14.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球，最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则m＝ . 15.（新课标全国Ⅱ卷）已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 基础巩固 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝7，则＝（　A　） A. B. C. D. 解析：由题意知，S7，S14－S7，S21－S14成等差数列，即2（S14－S7）＝S7＋（S21－S14），设S7＝m（m≠0），则S14＝7m，于是12m＝m＋（S21－7m），解得S21＝18m，所以＝.故选A. 2.若等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和S3m为90，则它的前2m项和S2m为（　C　） A.30 B.70 C.50 D.60 解析：∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴2（S2m－Sm）＝Sm＋S3m－S2m， ∴2（S2m－20）＝20＋90－S2m，∴S2m＝50. 3.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（　B　） A.0.25升 B.0.5升 C.1升 D.1.5升 解析：设九只茶壶按容积从小到大的顺序依次记为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5，所以3a2＝0.5，3a8＝2.5，故a2＋a8＝1，∴a5＝＝0.5，故选B. 4.已知等差数列{an}的公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，那么S100等于（　C　） A.80 B.120 C.135 D.160 解析：在等差数列{an}中，公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80， 所以a1＋a3＋…＋a99＝a2＋a4＋…＋a100－50d＝80－50×＝55， 所以S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝55＋80＝135. 5.（多选）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则满足∈Z的n的值可能为（　ABD　） A.2 B.4 C.12 D.14 解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，所以＝＝＝＝＝＝＝7＋， 又因为∈Z，所以n＋1＝1，3，5，15， 所以n＝0，2，4，14，又n∈N*， 所以n的值可能为2，4，14. 6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝28，S11＝88，则{an}的公差d＝（　B　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：a4＝＝4，a6＝＝8，解得d＝＝2，故选B. 7.在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 023＝　－2 023　. 解析：由等差数列前n项和的性质可知，数列{}为等差数列， 设其公差为d，则由－＝2， 可得2d＝2，即d＝1. 又＝－2 023， 所以＝－2 023＋（2 023－1）×1＝－1， 所以S2 023＝－2 023. 故答案为－2 023. 8.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为　10　. 解析：记该等差数列为an，所有奇数项的和为S奇，所有偶数项的和为S偶， ∵等差数列有2n＋1项，S奇－S偶＝an＋1， ∴an＋1＝15. 又S2n＋1＝（2n＋1）an＋1， ∴165＋150＝（2n＋1）×15，∴n＝10. 9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×（－）＝500，需要完成的工作量为24×20＝480. 又∵500＞480， ∴在24小时内能构筑成第二道防线. 10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和. （1）证明{}是等差数列； 解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2＋（a1－）n， ∴＝n＋（a1－）， ∴－＝（n＋1）＋（a1－）－[n＋（a1－）]＝， 又∵＝a1，∴{}是首项为a1，公差为的等差数列. （2）设Tn为数列{}的前n项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn. 解：（2）由（1）知{}为等差数列，设其公差为d'， 则－＝4d'，即4d'＝－＝2， 则d'＝， 又∵＝－3d'＝3－3×＝， ∴Tn＝n＋×＝n2＋n. 综合运用 11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为（　B　） A. B. C.10 D.11 解析：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列{an}是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1， Sn＝＝， 所以＝＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即n＝2时，等号成立， 所以的最小值为. 12.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　11　，项数是　7　. 解析：设项数为奇数的等差数列为{an}，其项数为2n＋1， 奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝ ＝（n＋1）an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ ＝nan＋1， 所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7， S奇－S偶＝an＋1，故a4＝44－33＝11，故所求中间项为11. 13.若等差数列{an}的项数为2n＋1，前n项和为Sn，所有偶数项的和为S偶，所有奇数项的和为S奇，则S2n＋1＝（2n＋1）an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝　　. 解析：由S2n＋1＝S偶＋S奇＝（2n＋1）an＋1，S偶－S奇＝－an＋1， 得S偶＝nan＋1，S奇＝（n＋1）an＋1， 故＝＝. 故答案为. 拔高拓展 14.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球，最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则m＝　2　. 解析：设向外每层雕孔依次增加固定的数量为d，所以每层雕孔数为等差数列，记为{an}，设公差为d，所以由6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，得出a4＋a5＋a6＝3a5＝30，所以a5＝10＝a1＋4d＝2＋4d，所以d＝2，则Sm＝2m＋×2＝m2＋m，由3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，可得｜Sm－S6｜＝36，即｜m2＋m－42｜＝36，又m∈N*，所以m＝2.故答案为2. 15.（新课标全国Ⅱ卷）已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. （1）求{an}的通项公式； 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，而bn＝ 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 由 解得a1＝5，d＝2， 所以an＝a1＋（n－1）d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解：（2）证明：方法一：由（1）知， Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2（n－1）－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝·＝n2＋n， 当n＞5时，Tn－Sn＝（n2＋n）－（n2＋4n）＝n（n－1）＞0，因此Tn＞Sn. 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝（n＋1）2＋（n＋1）－[4（n＋1）＋6]＝n2＋n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝（n2＋n－5）－（n2＋4n）＝（n＋2）（n－5）＞0， 因此Tn＞Sn，所以当n＞5时，Tn＞Sn. 方法二：由（1）知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝ 当n为偶数时，Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝·＋·＝n2＋n， 当n＞5时，Tn－Sn＝（n2＋n）－（n2＋4n）＝n（n－1）＞0，因此Tn＞Sn. 当n为奇数时，若n≥3，则 Tn＝（b1＋b3＋…＋bn）＋（b2＋b4＋…＋bn－1）＝·＋·＝n2＋n－5， 显然T1＝b1＝－1满足上式， 因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝（n2＋n－5）－（n2＋4n）＝（n＋2）（n－5）＞0， 因此Tn＞Sn，所以当n＞5时，Tn＞Sn. 学科网（北京）股份有限公司 $