精品解析：河南省商丘市柘城县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

河南省商丘市柘城县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键； 反比例函数的形式为，或，其中为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】A、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形：把形状相同的图形叫做相似图形，熟记相似图形的定义是解题关键．根据相似图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； D、两个图形形状相同，大小不同，相似，则此项符合题意； 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式； 一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；根据一元二次方程根的判别式解答，即可求解． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ∴在方程中，， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4. 小明做题时发现，反比例函数的比例系数被污染了，同学告诉他这个反比例函数图象在第二、四象限，则的值可能是（ ） A. 3 B. 10的平方根 C. D. 的相反数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质； 根据反比例函数图象与比例系数的关系，当时，图象在第二、四象限，依次判断每个选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， A、∵，∴此选项不符合题意； B、∵10的平方根为，∴，，∴此选项不符合题意； C、，∴此选项符合题意； D、的相反数为5，，∴此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似； ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 6. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是( ) A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个点， ∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 7. 如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意得的横坐标为，把直接代入解析式即可解答，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得的横坐标为，将代入得：， ∴， ∴， ∴水面与桥拱顶部的高度等于， 故选：． 8. 已知的半径为4，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，老师让同学们判断点与的位置关系，小明认为点在圆内，小亮认为点在圆外，关于两人的判断下列说法正确的是（ ） A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 两人合在一起才正确 D. 两人都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键； 先求解一元二次方程得到实数根，由于距离为正，所以取正根，比较与半径的大小关系判断点的位置即可． 【详解】解：方程， ∵， ∴， ∵为点到圆心的距离，故， ∴， ∵， ∴， ∴，点在圆外， ∴小亮正确，小明错误， 故选：B． 9. 如图，一张等腰三角形纸片，底边．若用这张等腰三角形纸片制作一个棱长为的正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，则这个纸片的高的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 证明，根据相似比等于高之比得到，即可求解． 【详解】解：为的高， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点的横坐标位于0和之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程有实数根，则．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；根据根的判别式即可判断；解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴，即， 当时，， ∴，故错误； ∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， 由图象可得，当时，， ∴，故正确； ∵直线是抛物线的对称轴， 设，两点横坐标与对称轴的距离为、， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故错误； ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴正确的结论有2， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，， ∵点恰好在同一条直线上， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出和时对应的I，最后观察图象即可求解． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 13. 互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小明和小红都想从微信、支付宝、云闪付三种支付方式中选一种方式进行支付，则两人恰好选择同一种支付方式的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图的问题，掌握树状图的性质、概率公式是解题的关键． 根据题意画出树状图，再根据树状图求出概率即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一支付方式的有3种， 所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 故答案为：． 14. 如图，点D、E分别在边、上，与交于点．已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点作，交于点，则可得，，根据相似三角形的性质可得，，再设，则，，，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质； 设的内切圆切三边于点、、，连接、、，可得四边形是正方形，由切线长定理可知，，可得，，由勾股定理得，再求出内切圆的半径为，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，     ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， ∴， ， ∴内切圆的半径为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，已知反比例函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 将代入，得， 解得：． 17. 如图，已知点O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为 （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原图的2倍，画出对应的，并写出点A的对应点的坐标； （2）直接写出的面积． 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2）10 【解析】 【分析】（1）直接根据位似图形的定义及性质得出对应点的坐标，进而得出答案； （2）利用所在矩形面积减去周围三角形面积，进而即可求解． 【小问1详解】 点A的对应点的坐标为； 【小问2详解】 的面积为． 【点睛】本题考查了位似变换及三角形面积的求法，正确得出对应点位置是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当时，x的取值范围． （3）连接，则的面积为______． 【答案】（1）， （2）或 （3）6 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式，将代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，结合函数的图象即可得出当时，x的取值范围； （3）设一次函数与与y轴交于点C，则点，由此根据可得出答案． 【小问1详解】 解：点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； 【小问3详解】 解：设一次函数图象与y轴交于点C，如图所示： 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ， 点， ． 19. 如图，已知直线分别截直线于点，截直线于点，E，F，且，与相交于点． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据代入计算即可得； （2）先证出，再根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效．如图1，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，开垦一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． （1）求采茶基地的长和宽； （2）该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与采茶基地大小、形状均相同，计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图2所示的小路（空白部分）供游客观光，且四周小路的宽度相等，中间小路的宽度是四周小路宽度的2倍，若鲜花的种植面积为468平方米，求四周小路的宽度． 【答案】（1）采茶基地的长为30米，宽为20米 （2）四周小路的宽度为1米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设采茶基地的宽为米，则长为米，根据长方形采茶基地的面积为600平方米建立方程，解方程即可得； （2）设四周小路的宽度为米，则中间小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为468平方米建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得（不合题意，舍去），， 则， 答：采茶基地的长为30米，宽为20米． 【小问2详解】 解：由题意可知，观光园区的长为30米，宽为20米， 设四周小路的宽度为米，则中间小路的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意； 答：四周小路的宽度为1米． 21. 如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． （1）求证：与相切； （2）若，的长为，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为2 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、弧长等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可得，再证出，则可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设的半径为，连接，先求出，再利用弧长公式求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：设的半径为， 如图，连接， ∵，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， ∴的半径为2． 22. 【新课标，项目式学习】 定州塔，位于河北省定州市城内，原名开元寺塔，是中国现存最高大的一座砖木结构古塔，有“中华第一塔”之称，某实践小组欲测量定州塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见表． 主题 测量“定州塔”的高度 成员 组长：xxx，组员：xx 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交地面于点，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交地面于点，测得米，米． 根据表格信息，求定州塔的高度． 【答案】定州塔的高度为84米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的应用是解题关键．设米，则米，米，先证出，，根据相似三角形的性质可得，，再根据可得，解方程可得的值，则可得的值，由此即可得． 【详解】解：设米， ∵米，米，米， ∴米，米， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， 由题意可知，米， ∴，即， 解得， ∴， ∴（米）， 答：定州塔的高度为84米． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，，，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接，M，N是线段上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，求出，根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得； （3）过点作且，连接，则，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据可得的最小值为的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：将点代入 得：， 解得， 所以抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得：， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴与的边上的高之和为， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，； 当时，； 综上，满足条件的点的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点作且，连接， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当点共线时，等号成立， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省商丘市柘城县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 小明做题时发现，反比例函数的比例系数被污染了，同学告诉他这个反比例函数图象在第二、四象限，则的值可能是（ ） A. 3 B. 10的平方根 C. D. 的相反数 5. 如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 6. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是( ) A. B. C. D. 1 7. 如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径为4，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，老师让同学们判断点与的位置关系，小明认为点在圆内，小亮认为点在圆外，关于两人的判断下列说法正确的是（ ） A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 两人合在一起才正确 D. 两人都错误 9. 如图，一张等腰三角形纸片，底边．若用这张等腰三角形纸片制作一个棱长为的正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，则这个纸片的高的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点的横坐标位于0和之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程有实数根，则．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则_______． 12. 图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是___________． 13. 互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小明和小红都想从微信、支付宝、云闪付三种支付方式中选一种方式进行支付，则两人恰好选择同一种支付方式的概率为_______． 14. 如图，点D、E分别在边、上，与交于点．已知，则__________． 15. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求的值． 17. 如图，已知点O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为 （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到原图的2倍，画出对应的，并写出点A的对应点的坐标； （2）直接写出的面积． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当时，x的取值范围． （3）连接，则的面积为______． 19. 如图，已知直线分别截直线于点，截直线于点，E，F，且，与相交于点． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 20. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效．如图1，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，开垦一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． （1）求采茶基地的长和宽； （2）该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与采茶基地大小、形状均相同，计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图2所示的小路（空白部分）供游客观光，且四周小路的宽度相等，中间小路的宽度是四周小路宽度的2倍，若鲜花的种植面积为468平方米，求四周小路的宽度． 21. 如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． （1）求证：与相切； （2）若，的长为，求的半径． 22. 【新课标，项目式学习】 定州塔，位于河北省定州市城内，原名开元寺塔，是中国现存最高大的一座砖木结构古塔，有“中华第一塔”之称，某实践小组欲测量定州塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见表． 主题 测量“定州塔”的高度 成员 组长：xxx，组员：xx 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交地面于点，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交地面于点，测得米，米． 根据表格信息，求定州塔的高度． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，，，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接，M，N是线段上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $