精品解析：天津市蓟州区第一中学2025-2026学年上学期八年级第二次月考数学试卷

八年级阶段性练习数学 一、选择题（每题3分，共12题，共36分） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的基本定义，需注意变形后必须是整式的乘积． 因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式．根据定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，积的乘方，熟知计算法则是解题的关键． 利用同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，积的乘方运算法则进行判定即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断各表达式是否为分式． 【详解】解：分式需满足分母中含有字母， 分析各表达式： ：分母为常数，不是分式； ：分母x为字母，是分式； ；分母3为常数，不是分式； ：无分母，不是分式； ：分母y为字母，是分式； ：分母含字母，是分式， 故选：B． 4. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，根据系数相除、同底数幂相除时，底数不变，指数相减的法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 5. 若，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，因此，成立的条件是 ，即． 【详解】解：∵ 零指数幂的定义：当时，， ∴ 成立的条件是，即。 因此，满足的条件是． 故选：C． 6. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A． =，可以用平方差公式； B．= ，可以用平方差公式； C． =，可以用平方差公式； D．=，不能用平方差公式． 故选D． 7. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 8. 一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 【详解】解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 9. 若，，则的值为（  ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解和化简求值，熟练掌握提取公因式和完全平方公式是解题的关键．将所求表达式因式分解为，然后代入已知值即可． 【详解】解：， 又，， 原式， 故选：C． 10. 若能因式分解为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数 a 的值． 【详解】解：∵， 又∵能因式分解为， ∴， 故选：A． 11. 如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．由图1可得剩余部分的面积，由图2可求得长方形的面积，结合两部分面积相等即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为：， 图2长方形的面积为， 根据两者面积相等，可得， 故选：A． 12. 无论、取何值，多项式的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵≥1＞0， ∴多项式的值总是正数． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 13. 要使分式有意义，则应满足的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得， 故答案为：． 14. 若，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用， 利用同底数幂的除法法则，将 转化为 ，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故答案为2． 15. 若多项式是一个完全平方式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据即可求解． 【详解】解：是一个完全平方式，， 解得． 故答案为：． 16. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆应用以及同底数幂的乘法，利用指数法则和负数的奇数次幂性质，将原式化简为同底数幂的乘法，再计算指数运算． 【详解】解：， ． 故答案为：． 17. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_________． 【答案】(x+2)(x-6) 【解析】 【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，然后代入分解即可． 【详解】解：∵=x2+x-12， ∴b=-12； ∵=x2-4x-21， ∴a=-4， ∴ = =(x+2)(x-6)． 故答案为：(x+2)(x-6)． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 三、解答题（共7个题，共66分） 18. 计算或化简 （1）； （2）； （3） （4）（简便计算）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式与完全平方公式： （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项； （2）先计算完全平方式，多项式乘多项式，再去括号，合并同类项； （3）先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式公式计算括号内的，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式； （4）逆用完全平方公式计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 19. 分解因式． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练找出公因式是解题的关键． （1）提取公因式进行分解即可； （2）提取公因式进行分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. （1）先化简，再求值：，其中； （2）先因式分解，再求值：已知，求． 【答案】（1），2 （2），48 【解析】 【分析】本题考查整式的化简与因式分解，第一小题通过展开与合并得到最简形式后代入数值；第二小题通过提取公因式并结合完全平方公式进行因式分解，再代入已知数值简化计算过程，体现了因式分解在代数求值中的应用优势． （1）先利用乘法分配律和多项式乘法展开原式，然后合并同类项进行化简，最后代入求值． （2）观察代数式结构，提取公因式后使用完全平方公式进行因式分解，结合已知条件，代入化简后的表达式求值． 【详解】解（1）原式 = ， 代入计算 原式； （2）原式 ， 已知， 原式． 21. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，， ； 【小问3详解】 解：，， ． 22. 如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分． （1）写出阴影部分面积的代数式； （2）将该代数式分解因式； （3）若，求阴影部分面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值以及因式分解，能够通过图形列出代数式是解题关键； （1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）将代入（2）中的结果计算即可． 【小问1详解】 解：∵大正方形的面积为：，小正方形的面积为：， ∴阴影部分面积为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：当时，， ∴阴影部分的面积为． 23. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解：． （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． 【小问1详解】 解：设， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∴ ， ∴． 【小问3详解】 略 24. 阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： （1）上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； （2）分解因式：； （3）若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 【答案】（1）提公因式法；两 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了提公因式分解因式，要连续多次用到提公因式的方法，找到规律是解题的关键． （1）由解答过程即可完成解答； （2）通过例子找到规律即可作出解答； （3）连续多次提公因式即可． 【小问1详解】 解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式； 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段性练习数学 一、选择题（每题3分，共12题，共36分） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则的值为（  ） A. 6 B. C. D. 10. 若能因式分解为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 11. 如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. 4 D. 12. 无论、取何值，多项式的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 13. 要使分式有意义，则应满足的条件为________． 14. 若，则的值是_______． 15. 若多项式是一个完全平方式，则的值为________． 16. 计算的结果是______． 17. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_________． 三、解答题（共7个题，共66分） 18. 计算或化简 （1）； （2）； （3） （4）（简便计算）． 19. 分解因式． （1） （2） 20. （1）先化简，再求值：，其中； （2）先因式分解，再求值：已知，求． 21. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） （3） 22. 如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分． （1）写出阴影部分面积的代数式； （2）将该代数式分解因式； （3）若，求阴影部分面积． 23. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解：． （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 24. 阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： （1）上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； （2）分解因式：； （3）若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $