专题03 二次根式比较大小的方法（8种方法4大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理二次根式比较大小的8种方法，按“适用场景-核心逻辑”分类呈现，结合4大基本题型构建“方法-题型”知识体系，并用对比表格归纳方法差异与内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“方法-题型”匹配的分层练习设计，如题型1用平方法直接比较√5与√7，题型2含参数题用特殊值法验证，培养推理意识与运算能力。每个方法附典例与变式练习，基础生可掌握通法，优秀生能突破综合题，助力教师实施精准化复习教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题03 二次根式比较大小的方法（8种方法4大基本题型） 题型1：直接比较两个二次根式的大小 题型2：含有字母参数的二次根式比较 题型3：多个二次根式排序 题型4：结合其他知识点的综合题 一、平方法：正数比较的基础方法 平方法是最常用的方法之一，适用于两个正数的大小比较。其核心逻辑是：若，则： 1. 2. 3. 适用场景：当二次根式的被开方数或表达式为正数时，可通过平方将根号去掉，转化为整数或整式比较。 二、作差法：最通用的实数比较方法 作差法是实数大小比较的通用方法，适用于所有实数（包括二次根式）。其核心逻辑是：计算， 1. 若，则 ； 2. 若，则； 3. 若，则。 适用场景：当二次根式的差值易化简或有理化时，可通过作差判断符号。 三、作商法：正数比较的另一种选择 作商法适用于两个正数的大小比较，核心逻辑是：若，则 1. ，则； 2. ，则； 3. ，则； 适用场景：当两个正数的商易化简为整数或易判断与1的关系时，可选用此方法。 四、分子有理化法：处理“差式”或“和式”的有效方法 分子有理化法通过将分子的二次根式有理化，转化为易比较的形式，核心逻辑是：对于，可乘以有理化，得 适用场景：当二次根式的分子为“根号差”或“根号和”时，有理化后可简化比较。 五、分母有理化法：处理“分母含根号”的关键方法 分母有理化法通过将分母的二次根式有理化，转化为整数或整式，核心逻辑是：对于，可对分母乘以有理化，得 适用场景：当二次根式的分母为“根号和”或“根号差”时，有理化后可简化比较。 六、倒数法：间接比较的巧妙方法 倒数法通过比较两个正数的倒数大小，间接判断原数的大小，核心逻辑是：若，则 1. 若，则 2. 若，则 3. 若，则 适用场景：当两个正数的倒数易化简为整数或易比较时，可选用此方法。 七、移入根号内法：将“系数”转化为“被开方数” 移入根号内法适用于系数为正数的二次根式，核心逻辑是：对于，可转化为，通过比较被开方数的大小判断原数大小。 适用场景：当二次根式的系数为正数时，可将系数移入根号内，转化为被开方数的比较。 八、特殊值法：快速验证的辅助方法 特殊值法是辅助验证方法，适用于含字母或范围明确的二次根式，核心逻辑是：在字母的取值范围内选取特殊值（如整数、简单分数），代入计算后比较大小。 适用场景：当二次根式含字母且取值范围明确时，可通过特殊值快速验证。 九、总结：方法选择的策略​ 1. 优先选平方法：若二次根式为正数，且平方后易化简； 2. 其次用作差法：若差值易有理化或有理化后易判断符号； 3. 分子/分母有理化：若分子或分母含“根号差”或“根号和”； 4. 倒数法/移入根号内法：若系数或倒数易化简； 5. 特殊值法：若含字母且取值范围明确，用于快速验证。 【题型1】直接比较两个二次根式的大小 题型特征：给出两个独立的二次根式，要求判断它们的大小关系。 核心解题思路： 1. 若二次根式均为正数，优先采用平方法（将根号去掉，转化为整数或整式比较）； 2. 若二次根式为差式结构，采用分子有理化法（将分子化为常数，比较分母大小）； 3. 若二次根式为分式结构，采用分母有理化法（将分母化为整数，比较分子大小）。 【典例1】阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： _，_，_； (2)比较大小：_（直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 【练习1】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 【练习2】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，________（填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【练习3】【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 【题型2】含有字母参数的二次根式比较 题型特征：二次根式中包含字母参数，需根据参数范围或表达式结构比较大小。 核心解题思路： 1. 若参数为正整数，采用倒数法（将参数移到根号内，比较被开方数大小）； 2. 若参数为变量，采用特殊值法（在参数范围内取具体值，代入比较）； 3. 若参数为根式差，采用分子有理化法（将分子化为常数，比较分母大小）。 【典例1】比较和的大小； 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．将变形为，变形为，利用即可判断； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 【练习1】比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【练习2】（）填空：______；______； （）当时，______（用“”填空）； （）当时，求证：． 【答案】（）； （） （）证明见解析 【分析】（）根据二次根式的性质解答即可求解； （）根据二次根式的性质解答即可； （）根据二次根式的性质证明即可； 本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（）解：；， 故答案为：；； （）解：当时，， ∴， 故答案为：； （）证明：∵， ∴， ∴． 【练习3】写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，见解析 【分析】此题考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】解：，证明如下： ， ∵， ∴， ∴． 【题型3】多个二次根式排序 题型特征：给出三个或以上二次根式，要求按从小到大或从大到小排序。 核心解题思路： 1. 先将所有二次根式化为同次根式（如将平方根化为六次根式，立方根也化为六次根式）； 2. 再比较被开方数的大小，从而得出排序结果。 【典例1】数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 【练习1】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【练习2】已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【练习3】已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 【题型4】结合其他知识点的综合题 题型特征：将二次根式比较与分母有理化、完全平方公式、乘法公式等知识点结合。 核心解题思路： 1. 先通过分母有理化或公式化简，将二次根式转化为更易比较的形式； 2. 再采用作差法或平方法比较大小。 【典例1】阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 【练习1】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）先进行分母有理化，然后合并即可得出答案； （2）分别把与进行分母有理化，然后比较大小即可； （3）先根据分母有理化求出，将原式裂项求和即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由，， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， ∴原式 ． 【练习2】阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是___________．___________； (2)比较大小：___________（填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4). 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的分母有理化． 因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； 把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； 把括号里面的二次根式分别进行分母有理化，可得：原式，再利用平方差公式进行计算； 首先把进行分母有理化，可得：，得出，再值代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）解： ， ； ， ； 故答案为：； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． 【练习3】二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题03二次根式比较大小的方法（8种方法4大基本题型) 专题概览 题型1：直接比较两个二次根式的大小 题型2：含有字母参数的二次根式比较 题型3：多个二次根式排序 题型4：结合其他知识点的综合题 核心知识点总结 一、平方法：正数比较的基础方法 平方法是最常用的方法之一，适用于两个正数的大小比较。其核心逻辑是：若a>0,b>0,则： 1.a2>b2÷a>b 2.a2=b2日a=b 3.a2<b2日a<b 适用场景：当二次根式的被开方数或表达式为正数时，可通过平方将根号去掉，转化为整数或整式比较。 二、作差法：最通用的实数比较方法 作差法是实数大小比较的通用方法，适用于所有实数（包括二次根式）。其核心逻辑是：计算α-b 1.若a-b>0,则a>b; 2.若a-b=0,则a=b; 3.若a-b<0,则a<b。 适用场景：当二次根式的差值易化简或有理化时，可通过作差判断符号。 三、作商法：正数比较的另一种选择 作商法适用于两个正数的大小比较，核心逻辑是：若a>0,b>0,则 1.4>1,则a>b; 61 2 分-1，则a=b: 3. 分<1，则a<b; 适用场景：当两个正数的商易化简为整数或易判断与1的关系时，可选用此方法。 四、分子有理化法：处理“差式”或“和式”的有效方法 分子有理化法通过将分子的二次根式有理化，转化为易比较的形式，核心逻辑是：对于 6-6a>60,可定以6+6有理化，得6 适用场景：当二次根式的分子为“根号差”或“根号和”时，有理化后可简化比较。 五、分母有理化法：处理“分母含根号”的关键方法 分母有理化法通过将分母的二次根式有理化，转化为整数或整式，核心逻辑是：对于 a+6a>0,b>0),可对分母乘以a-B有理化，得后-万 1 a-b 适用场景：当二次根式的分母为“根号和”或“根号差”时，有理化后可简化比较。 六、倒数法：间接比较的巧妙方法 倒数法通过比较两个正数的倒数大小，间接判断原数的大小，核心逻辑是：若a>0,b>0,则 1. 若上>，则a<b 0万 2. 若11。 有a6’则a=b 3. 若上<，则a>b a b 适用场景：当两个正数的倒数易化简为整数或易比较时，可选用此方法。 七、移入根号内法：将“系数”转化为“被开方数” 移入根号内法适用于系数为正数的二次根式，核心逻辑是：对于k√ā(k>0,a>0),可转化为√k2a, 通过比较被开方数k2a的大小判断原数大小。 适用场景：当二次根式的系数为正数时，可将系数移入根号内，转化为被开方数的比较。 八、特殊值法：快速验证的辅助方法 特殊值法是辅助验证方法，适用于含字母或范围明确的二次根式，核心逻辑是：在字母的取值范围 内选取特殊值（如整数、简单分数），代入计算后比较大小。 适用场景：当二次根式含字母且取值范围明确时，可通过特殊值快速验证。 九、总结：方法选择的策略 1.优先选平方法：若二次根式为正数，且平方后易化简； 2.其次用作差法：若差值易有理化或有理化后易判断符号； 3. 分子分母有理化：若分子或分母含“根号差”或“根号和”； 4.倒数法/移入根号内法：若系数或倒数易化简； 5.特殊值法：若含字母且取值范围明确，用于快速验证。 题型归纳 【题型1】直接比较两个二次根式的大小 题型特征：给出两个独立的二次根式，要求判断它们的大小关系。 核心解题思路： 1.若二次根式均为正数，优先采用平方法（将根号去掉，转化为整数或整式比较）； 2.若二次根式为差式结构，采用分子有理化法（将分子化为常数，比较分母大小） 3.若二次根式为分式结构，采用分母有理化法（将分母化为整数，比较分子大小）。 【典例1】阅读材料与综合实践： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化， 如：↓=1x551 1×2+V3 5=3x5=3’2-5(2-52+5) =2+V3. 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： 1 2 7-,5+5,5-2: 1 (2)此较大小：2026-2025-V2024-V2023 （直接填“>或<或=”)； (3)定义：两个二次根式m、n满足mn=p,且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”.若 2-√2与2+√2k是关于2的“友好二次根式”，求k的值 【练习1】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果.例如，比较α=5v6和 b=6√5的大小，我们可以把a和b分别平方. a2=150、b2=180, .a2<b2而a>0、b>0, .a<b.请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较c=2V3,d=3v2的大小，cd:(填写>，<或者=) (2)猜想m=25+√13，n=2√万+√5之间的大小关系，并证明. 【练习2】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法” 来比较大小也会取得很好的效果.例如，比较a=2√3和b=3√2的大小，我们可以把Q和b分别平方. a2=12,b2=18,则a2<b2,a>0,b>0,a<b. 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较c=42,d=2万的大小，cd(填写“><”或“=”). (2)猜想m=2√5+√6和n=25+√4之间的大小，并说明理由. 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小.例如，比较 √万-√6和√6-√5的大小，可以先将它们分子有理化如下： 万-6=万66-5=65+6>6+5,5-6<6-5. (3)根据材料，请选择合适的方法比较√2025-√2024与√2024-√2023的大小，写出具体比较过程. 【练习3】【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式 的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式. 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中 2-√5 2-5 的根号，这个过程就是分母有理化，如：2+(2+2-可2-(5) 1 =2-√5 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分 于有理化，如：2+5-2+52-月2-5 1 2-V3 2-32-√3 【问题解决】 任务一：请写出√2的一个有理化因数为 任务二：1-√5与-√5-√是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出√1-√5的 一个有理化因式： 【知识应用】 1 1 1)请利用分母有理化知识，化简：1+N2+V2+5+5+V4++65+66' (2)请利用分子有理化知识，比较大小：√2025-√2024与√2026-√2025. 【题型2】含有字母参数的二次根式比较 题型特征：二次根式中包含字母参数，需根据参数范围或表达式结构比较大小。 核心解题思路： 1.若参数为正整数，采用倒数法（将参数移到根号内，比较被开方数大小）： 2.若参数为变量，采用特殊值法（在参数范围内取具体值，代入比较）； 3.若参数为根式差，采用分子有理化法（将分子化为常数，比较分母大小）。 【典例l】比较√a-√a-I和√a+1-√a的大小； 【练习1】比较大小：Vx+2y-V2y V2y-√2y-x.(用“>”、“<”、“≥”或“≤”填空) 【练习2】(1)填空：=；V-5列= (2)当a>b>0时，V √b2（用“>、=、<”填空)： (3)当a<b<0时，求证：√a>Vb2. 【练习3】写出Va+1与a+2 (Q为正整数)的大小关系，并证明你的结论. a+2 a+3 【题型3】多个二次根式排序 题型特征：给出三个或以上二次根式，要求按从小到大或从大到小排序。 核心解题思路： 1.先将所有二次根式化为同次根式（如将平方根化为六次根式，立方根也化为六次根式）； 2.再比较被开方数的大小，从而得出排序结果。 【典例1】数学老师给出了以下四个代数式：①√aⅡ，②√a3,③a,④a,且告知a>1.小兴发现： 若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是() A.①②③④ B.④②③① C.①④③② D.③②①④ 【练习1】已知：a=√7-√6，b=22-√7，c=3-2√2，则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 【练习2】已知a=√2006-√2005，b=√2007-√2006，c=√2008-√2007，则a,b,c的大小关系 是 【练习3】已知a=599×2026-599×2025,b=2025×2026-2023×2028,c=V596×597+598+2×597, 则a,b,c的大小关系是() A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 【题型4】结合其他知识点的综合题 题型特征：将二次根式比较与分母有理化、完全平方公式、乘法公式等知识点结合。 核心解题思路： 1. 先通过分母有理化或公式化简，将二次根式转化为更易比较的形式： 2.再采用作差法或平方法比较大小。 【典例1】阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分 母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 7-6.5-67+6 1 ，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来 √7+√6 √7+6 处理一些二次根式的最值问题.例如：比较√万-√和√-√5的大小可以先将它们分子有理化如下： 万-6766-5 6+5,因为万+6>6+5，所以万-6<6-5.再例如： 求y=√x+2-V√x-2的最大值.做法如下： 解：由x+2≥0，x-2≥0可知x≥2，而y=Vx+2-Vx-2= F+2+-2,当x=2时，分母 4 √x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2. 解决下述问题： (1)由材料可知， 3+2 (2)比较√3-√2和√2-的大小； (3)式子y=√x+1-√x-1的最大值是 1 2 【练习1】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如 万'35的计算，需要运用分式的基 122 本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化，例如：万可2： 2 2×3+2) 3-2(3-2)x3+2)(-(2) 25+2225+25=25+2反.类似地，将分子转化为有理 3-2 数，就称为分于有理化，例如：万：巨 2 1 5-1(5-x5+1(-31=2 √3 5x5+(+53+53+5· 根据上述知识，请你完成下列问题： （1运用分母有理化，化简：5-25· 15 (2)运用分子有理化，比较√万-√6与√6-√5的大小，并说明理由： 1 1 1 1 (3)请化简： 2+1W2*3W2+2W5+4W5+3W4+…+100v99+9/00 【练习2】阅读材料：像(5+2×(V5-2=1,√aVa=a(a≥0)…这种两个含二次根式的代数式相乘， 积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如√5+2与√5-2，√ā与√ā等都是互为有理 化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，数学课上，徐老师出了一道 1 题“已知a=- 2-1,求3a2-6a-1的值 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： √2+1 因为a2-1(2-1)×5+ =√2+1， 所以a-1=√2， 所以(a-1)2=2,所以a2-2a+1=2, 所以a2-2a=1,所以3a2-6a=3,所以3a2-6a-1=2. 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： 2 (1)√3-√2的有理化因式是 V3+1 (2)比较大小：√2024-√2023 √2025-√2024（填>，<，=，≥或≤中的一种）： 1 1 (3)计算： 2+1+5+5+4+5+.+2025+V2024 一十 √2025+1； 37,求-2a2+12a+3的值. (4)若a= 【练习3】二次根式除法可以这样解：如2+5_2+v32+ 2-5(2-⑤2+5) =7+4√3.像这样通过分子、分母同 乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是() ①若a是√2的小数部分，则三的值为2+1： ②比较两个二次根式的大小6-2之5-万' 1 1 7 2 ③计算 3+353+3575+5斤+.+9997+97210 2 3； ④对于式了52，对它的分子分母同时乘以5-5或5或7-20，均不能对其分母有理化： ⑤设实数x,y满足x+√2+2022y+V)2+2022=2022,则(x+y)2+2022=2022: ⑥若x=n+I-Vn 1 ，y= ，且19x2+123xy+19y2=1985,则正整数n=2. √n+1+√n A.①④⑤ B.②③④ C.②④⑤⑥ D.②④⑥