专题02 实数（期末复习优选题题型集训 29个题型讲练 共58题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册培优讲练

专题02 实数 （29个高频易错题型讲练 共58题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 无理数的大小估算 2 易错题型2 实数的性质 2 易错题型3 实数与数轴 2 易错题型4 实数的大小比较 3 易错题型5 勾股定理与无理数 3 易错题型6 利用算术平方根的非负性解题 3 易错题型7 估计算术平方根的取值范围 3 易错题型8 无理数整数部分的有关计算 4 易错题型9 与算术平方根有关的规律探索题 4 易错题型10 算术平方根的实际应用 4 易错题型11 已知一个数的平方根，求这个数 5 易错题型12 已知一个数的立方根，求这个数 5 易错题型13 立方根的实际应用 6 易错题型14 算术平方根和立方根的综合应用 6 易错题型15 求二次根式中的参数 7 易错题型16 利用二次根式的性质化简 7 易错题型17 复合二次根式的化简 7 易错题型18 二次根式的乘除混合运算 8 易错题型19 化为最简二次根式 9 易错题型20 已知最简二次根式求参数 10 易错题型21 同类二次根式 10 易错题型22 二次根式的加减运算 10 易错题型23 二次根式的混合运算 10 易错题型24 分母有理化 11 易错题型25 已知字母的值，化简求值 12 易错题型26 已知条件式，化简求值 13 易错题型27 实数的混合运算 13 易错题型28 新定义下的实数运算 14 易错题型29 与实数运算相关的规律题 14 易错题型1 无理数的大小估算 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）若，且a为整数，则a的值为 ． 易错题型2 实数的性质 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 4．（2024·河南濮阳·三模）如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 易错题型3 实数与数轴 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为 ． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为 ． 易错题型4 实数的大小比较 7．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在，，，四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： （填入>、或）． 易错题型5 勾股定理与无理数 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在中，，点表示，，，如若以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 易错题型6 利用算术平方根的非负性解题 11．（25-26八年级上·河南开封·期中）若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 12．（25-26八年级上·广西柳州·期中）已知，则 ． 易错题型7 估计算术平方根的取值范围 13．（25-26八年级上·上海·阶段练习）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习） （精确到个位数） 易错题型8 无理数整数部分的有关计算 15．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是．求的平方根． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期中）根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 易错题型9 与算术平方根有关的规律探索题 17．（25-26八年级上·广东梅州·期中）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出的线段（如图所示）．”即，过点A作且，根据勾股定理，得；再过点作且，得以此类推，得 ． 18．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则 ． 易错题型10 算术平方根的实际应用 19．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，是由五个边长为1的小正方形组成，剪一剪，并拼成面积相等的一个正方形．请帮小明完成下列任务： 任务（1）拼成面积相等的正方形的边长是___________； 任务（2）请在图1中画出拼成面积相等的正方形的分割线，并在图2网格中画出拼出的正方形； 任务（3）在图3数轴上找出表示数所对应的点A（保留作图痕迹）. 20．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图1是由17个边长均为1的小正方形组成的图形，我们按图2的虚线、将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图2中，拼成的大正方形的面积为______，边的长为______． (2)现将图2水平放置在如图3所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合，若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，在图3中画出点E的位置，并求出点E所表示的实数． 易错题型11 已知一个数的平方根，求这个数 21．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 22．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 易错题型12 已知一个数的立方根，求这个数 23．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）如图，依据其呈现的运算关系，则的值为 ． 24．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为 ． 易错题型13 立方根的实际应用 25．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 26．（25-26八年级上·山西晋中·期中）物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 易错题型14 算术平方根和立方根的综合应用 27．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c．分别求出a，b，c的值． 28．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 易错题型15 求二次根式中的参数 29．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 30．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 易错题型16 利用二次根式的性质化简 31．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 32．（25-26八年级上·山东济南·期中）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（   ） A． B． C． D． 易错题型17 复合二次根式的化简 33．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 34．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 易错题型18 二次根式的乘除混合运算 35．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 36．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）计算： (1)； (2)． 易错题型19 化为最简二次根式 37．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)判断的形状并简要说明理由； (3)在直线上找出点P，使的值最小，并求出最小值． 38．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线分别交，于点D，E，连接．若，则 ． 易错题型20 已知最简二次根式求参数 39．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 40．（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 易错题型21 同类二次根式 41．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是 ． 42．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 易错题型22 二次根式的加减运算 43．（25-26八年级上·河南·期中）计算： (1)； (2)． 44．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 易错题型23 二次根式的混合运算 45．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）计算 (1)； (2)． 46．（25-26八年级上·湖南常德·期中）（1）计算： （2）用简便方法计算： 易错题型24 分母有理化 47．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 48．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 易错题型25 已知字母的值，化简求值 49．（25-26八年级上·湖南常德·期中） “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 50．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列材料，然后解答问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰到如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②． 上面的方法叫作分母有理化． (1)请你参考①中的方法化简； (2)请你参考②中的方法化简； (3)若，求的值． 易错题型26 已知条件式，化简求值 51．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 52．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 易错题型27 实数的混合运算 53．（25-26八年级上·河南周口·期中）（1）计算：；     （2）化简：． 54．（25-26八年级上·福建泉州·期中）按要求完成下列各题： (1)解方程：； (2)计算：． 易错题型28 新定义下的实数运算 55．（25-26八年级上·广东汕头·月考）阅读材料：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设 ，则，∴，由对数的定义得，∴． 解决问题： （1）将指数转化为对数式___________； （2）①___________，②___________，③___________； （3）证明：； 拓展运用： （4）计算：． 56．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 易错题型29 与实数运算相关的规律题 57．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 58．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 （29个高频易错题型讲练 共58题 新教材） 【解析版】 易错题型1 无理数的大小估算 1 易错题型2 实数的性质 2 易错题型3 实数与数轴 3 易错题型4 实数的大小比较 4 易错题型5 勾股定理与无理数 5 易错题型6 利用算术平方根的非负性解题 6 易错题型7 估计算术平方根的取值范围 7 易错题型8 无理数整数部分的有关计算 7 易错题型9 与算术平方根有关的规律探索题 9 易错题型10 算术平方根的实际应用 10 易错题型11 已知一个数的平方根，求这个数 12 易错题型12 已知一个数的立方根，求这个数 13 易错题型13 立方根的实际应用 13 易错题型14 算术平方根和立方根的综合应用 15 易错题型15 求二次根式中的参数 16 易错题型16 利用二次根式的性质化简 17 易错题型17 复合二次根式的化简 18 易错题型18 二次根式的乘除混合运算 20 易错题型19 化为最简二次根式 22 易错题型20 已知最简二次根式求参数 24 易错题型21 同类二次根式 25 易错题型22 二次根式的加减运算 25 易错题型23 二次根式的混合运算 27 易错题型24 分母有理化 28 易错题型25 已知字母的值，化简求值 31 易错题型26 已知条件式，化简求值 33 易错题型27 实数的混合运算 36 易错题型28 新定义下的实数运算 37 易错题型29 与实数运算相关的规律题 39 易错题型1 无理数的大小估算 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先找到，取值范围，进而可求的最大值即可． 【规范解答】解：∵，即； ，即， 又，均为正整数，且要使最大， 最大取3，最大取2， 的最大值是5， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）若，且a为整数，则a的值为 ． 【答案】45 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，通过比较2026与相邻整数的平方，确定的整数部分，即可求解． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 又，且a为整数， ∴， 故答案为：45． 易错题型2 实数的性质 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，实数的性质，先根据无理数的估算方法得到，则可得到，据此求出的值，再根据相反数的定义可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，， ∴， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 4．（2024·河南濮阳·三模）如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 【答案】B 【思路点拨】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是，即3的相反数， 故选：B． 易错题型3 实数与数轴 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数轴上点的运算及勾股定理，根据勾股定理求出，再根据点P在数轴上的位置，确定点P表示的数即可． 【规范解答】解：如图， 根据勾股定理，得， 由作图知：， ∵点A表示的数为1， ∴点P表示的数为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根、实数与数轴等知识，确定正方形的边长是解题关键．首先根据题意确定正方形的边长，然后结合点的位置即可获得答案． 【规范解答】解：根据题意，正方形的面积为3， 则该正方形的边长为，即， ∴， ∵点表示的数为2，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 故答案为：． 易错题型4 实数的大小比较 7．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在，，，四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的大小比较，先利用负整数指数幂，零指数幂化简，然后比较大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， 又， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 8．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： （填入>、或）． 【答案】> 【思路点拨】本题考查实数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．计算两数的差，判断差正负，若差大于零，则被减数大；若差等于零，两数相等；若差小于零，则减数大． 【规范解答】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： >． 易错题型5 勾股定理与无理数 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查实数在数轴上的表示，勾股定理，解题关键是求出的长． 【规范解答】解：由数轴可知， ∵， ∴， ∴数轴上点A表示的数为． 故选：A． 10．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在中，，点表示，，，如若以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理并结合题意可得，再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴， ∵以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D， ∴， ∵点表示， ∴点D表示的数为， 故选：B． 易错题型6 利用算术平方根的非负性解题 11．（25-26八年级上·河南开封·期中）若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 【规范解答】解：∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． 12．（25-26八年级上·广西柳州·期中）已知，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值等知识点，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零是解题的关键． 先根据非负数的性质求得a、b、c的值，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为3． 易错题型7 估计算术平方根的取值范围 13．（25-26八年级上·上海·阶段练习）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查无理数的估算，先估算的值，确定其范围，进而求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习） （精确到个位数） 【答案】4 【思路点拨】本题考查算术平方根和近似数，通过比较平方数确定的整数范围（4和5之间），再进一步比较小数的平方，判断其更接近4.1，从而得到精确到个位数的近似值． 【规范解答】解：∵，， ∴，， 由于，且，， 故更接近4.1， 精确到个位数时，． 故答案为：4． 易错题型8 无理数整数部分的有关计算 15．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是．求的平方根． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组，平方根，立方根，算术平方根的应用，无理数的估算，根据题意求得的值是解题的关键． 根据立方根，算术平方根，无理数的估算，确定的值，再求代数式的平方根即可求解． 【规范解答】解：由条件可知，， ； ， ； 是的整数部分， 又， ； ， 的平方根是． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期中）根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算、估算． （1）运用平方根和立方根知识进行计算、求解； （2）运用非负数和算术平方根的知识进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 解得，； （2）解：， ，， 解得，， ，， 的整数部分是2，的整数部分是2， 的小数部分是， 即，， ． 易错题型9 与算术平方根有关的规律探索题 17．（25-26八年级上·广东梅州·期中）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出的线段（如图所示）．”即，过点A作且，根据勾股定理，得；再过点作且，得以此类推，得 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案． 【规范解答】解：由勾股定理得， ， ， ……， 以此类推可知，（n为大于1的整数）， ∴， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【规范解答】解： 故答案为：． 易错题型10 算术平方根的实际应用 19．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，是由五个边长为1的小正方形组成，剪一剪，并拼成面积相等的一个正方形．请帮小明完成下列任务： 任务（1）拼成面积相等的正方形的边长是___________； 任务（2）请在图1中画出拼成面积相等的正方形的分割线，并在图2网格中画出拼出的正方形； 任务（3）在图3数轴上找出表示数所对应的点A（保留作图痕迹）. 【答案】任务（1） 任务（2）见解析 任务（3）见解析 【思路点拨】本题考查了算术平方根的几何意义、图形的剪拼及数轴上表示无理数的点，解题的关键是通过面积求出正方形的边长，掌握图形剪拼的方法与数轴上表示无理数的步骤． 任务（1）先计算五个小正方形的总面积，再求其算术平方根得到正方形的边长； 任务（2）依据边长对应的直角三角形斜边进行图形分割与拼接； 任务（3）利用已得的的长度，在数轴上从对应的点出发构造线段确定目标点． 【规范解答】任务（1）解：五个小正方形的总面积为， 设拼成的正方形边长为，则， 又，故． 故答案为：． 任务（2）解：如图1，画出拼成面积相等的正方形的分割线（虚线）如下， 如图2，网格中画出拼出的正方形如下．    任务（3）解：过数轴上表示的点作数轴的垂线，截取长为的线段，连接该线段上端点与原点，得线段长为；以表示的点为圆心，为半径画弧，交数轴正方向于点，即点表示数对应的点． 20．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图1是由17个边长均为1的小正方形组成的图形，我们按图2的虚线、将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图2中，拼成的大正方形的面积为______，边的长为______． (2)现将图2水平放置在如图3所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合，若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，在图3中画出点E的位置，并求出点E所表示的实数． 【答案】(1)17， (2)或 【思路点拨】本题考查实数与数轴，解题的关键是： （1）根据17个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形可得正方形的面积，由正方形面积公式可得的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数． 【规范解答】（1）解：∵由17个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为； ∴， ∴， 故答案为：17，； （2）解：∵， ∴以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为或． 易错题型11 已知一个数的平方根，求这个数 21．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】 【思路点拨】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，根据平方根和立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 22．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】121 【思路点拨】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【规范解答】解：由题意，得， 解得． 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：121． 易错题型12 已知一个数的立方根，求这个数 23．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）如图，依据其呈现的运算关系，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的定义列方程求出a的值，进而可求m的值． 【规范解答】解：∵，， ∴， 即， 则． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为 ． 【答案】1000000 【思路点拨】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【规范解答】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 易错题型13 立方根的实际应用 25．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【思路点拨】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【规范解答】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 26．（25-26八年级上·山西晋中·期中）物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数估算的实际应用，立方根的应用，根据题意，得到正方体的棱长为，再利用无理数估算方法求出范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得正方体的棱长为， ∵， ∴， 故选：． 易错题型14 算术平方根和立方根的综合应用 27．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c．分别求出a，b，c的值． 【答案】， 【思路点拨】本题考查立方根、算术平方根、无理数的估算，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解答的关键． 根据立方根定义和算术平方根的定义列方程求解a、b，再根据无理数的估算方法求得c值即可． 【规范解答】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴，解得； ∵的小数部分为c，， ∴． 综上，． 28．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 【答案】0 或 64 【思路点拨】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【规范解答】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 易错题型15 求二次根式中的参数 29．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 30．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【规范解答】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 易错题型16 利用二次根式的性质化简 31．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘除，再化简二次根式； （2）先化简二次根式，再计算加减即可； （3）先根据乘法公式计算，再计算加减即可． 【规范解答】（1）解：； ； （2）解：； ； （3）解： ． 32．（25-26八年级上·山东济南·期中）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根. 先根据数轴得到，，则，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【规范解答】解：由数轴可知道，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 易错题型17 复合二次根式的化简 33．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：设，，得，或，． ． （2）解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． （3）解： ． 34．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 易错题型18 二次根式的乘除混合运算 35．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【思路点拨】本题主要考查实数的混合运算、求一个数的算术平方根和立方根，以及二次根式的乘法和除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式自左向右依次进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 36．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用二次根式乘除运算法则计算即可求出答案； （）利用化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂、有理数乘方分别化简，然后计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 易错题型19 化为最简二次根式 37．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)判断的形状并简要说明理由； (3)在直线上找出点P，使的值最小，并求出最小值． 【答案】(1)画图见解析 (2)是等腰直角三角形． (3)画图见解析， 【思路点拨】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理及其逆定理，化为最简二次根式． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用勾股定理及其逆定理证明即可． （3）如图，连接交直线于，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； ． （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：如图，连接交直线于，则点即为所求． ∴， ∴的最小值为：． 38．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线分别交，于点D，E，连接．若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，化为最简二次根式，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理求出即可求出答案． 【规范解答】解： ∵， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ． 故答案为：． 易错题型20 已知最简二次根式求参数 39．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【规范解答】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，理解最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键．先由被开方数相等列方程 ，然后验证被开方数非负且为最简二次根式． 【规范解答】由同类二次根式的定义，得： ， 移项整理： ， 解得，， 当 时，，不是最简二次根式，不符合题意， 当 时，，，最简二次根式，符合题意， 故答案为： ． 易错题型21 同类二次根式 41．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据题意， 与 可以合并，说明它们是同类二次根式，先将 化简，再确定 的值即可． 【规范解答】解： 与 可以合并，， 则 与 是同类二次根式， 即 （ 为正整数）， 两边平方得 ， 当 时， 取最小值，即 ， 验证： 与 可以合并， 故答案为：3． 42．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了同类二次根式．根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【规范解答】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：3． 易错题型22 二次根式的加减运算 43．（25-26八年级上·河南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 44．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 易错题型23 二次根式的混合运算 45．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了实数的混合运算，解决本题的关键是根据实数的运算法则进行计算． 根据平方根、立方根的定义把各项化简，再进行计算； 首先根据二次根式的性质把各项分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 46．（25-26八年级上·湖南常德·期中）（1）计算： （2）用简便方法计算： 【答案】（1）；（2）90000 【思路点拨】本题考查的是二次根式的加减，运用完全平方公式进行简便计算，掌握二次根式性质，完全平方公式的特点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到答案； （2）把原式化为：，再利用完全平方公式进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：（1） ． （2） ． 易错题型24 分母有理化 47．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 48．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1） （2）2025 （3） 【思路点拨】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【规范解答】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴ ． ∵ ∴原式 ． 易错题型25 已知字母的值，化简求值 49．（25-26八年级上·湖南常德·期中） “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)， (3) 【思路点拨】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、分母有理化进行解答即可； （2）先对等式左边进行分母有理化，然后求解即可； （3）先将分母有理化，得到，然后将其代入式子计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； ； 故答案为：；；； （2）解： ， ， ∴， 解得， ∴，； （3）解：∵， ∴ ． 50．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列材料，然后解答问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰到如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②． 上面的方法叫作分母有理化． (1)请你参考①中的方法化简； (2)请你参考②中的方法化简； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) ． 【思路点拨】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可； （2）把原式的分子分母同时乘以、，再计算求解即可； （3）将 化简后代入求解即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：因为， 所以． 易错题型26 已知条件式，化简求值 51．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【规范解答】（1）解： ； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 52．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【思路点拨】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【规范解答】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 易错题型27 实数的混合运算 53．（25-26八年级上·河南周口·期中）（1）计算：；     （2）化简：． 【答案】（1）0；（2） 【思路点拨】本题考查的是实数的混合运算，整式的混合运算． （1）先求解算术平方根，立方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． （2）先计算单项式乘以多项式，同底数幂的除法运算，再合并即可． 【规范解答】解：（1） ． （2） ． 54．（25-26八年级上·福建泉州·期中）按要求完成下列各题： (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1) 或 (2) 【思路点拨】本题考查了平方根的定义、实数的混合运算，关键是熟练应用知识点准确计算； （1）利用平方根解方程； （2）利用平方差公式去括号并对绝对值化简，最后算加减． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：原式 ． 易错题型28 新定义下的实数运算 55．（25-26八年级上·广东汕头·月考）阅读材料：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设 ，则，∴，由对数的定义得，∴． 解决问题： （1）将指数转化为对数式___________； （2）①___________，②___________，③___________； （3）证明：； 拓展运用： （4）计算：． 【答案】（1）；（2）①5，②3，③0；（3）见解析；（4） 【思路点拨】本题考查了新定义下的实数运算，同底数幂的除法运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据定义计算即可； （2）①根据定义计算即可； ②根据定义计算即可； ③根据定义计算即可； （3）先设，从而可得，再根据对数的定义得出：，即可得出； （4）先由，得出，再化简小括号里的，可得出即可求解． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2）①， 故答案为：5； ②， 故答案为：3； ③ 故答案为：0； （3）设， 则， 由对数的定义可得： 又∵， ∴； （4） ． 56．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 易错题型29 与实数运算相关的规律题 57．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 【答案】(1) (2)和或和（答案不唯一） (3)①；② 【思路点拨】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，由此代入计算验证即可； （3）①根据计算得到，由此代入计算即可； ②根据题意得到，代入计算即可求解． 【规范解答】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 58．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【规范解答】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $