专题11 一次函数与动点问题（4大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过核心分析框架系统梳理一次函数与动点问题知识体系，整合一次函数定义性质与动点分析步骤，用分段讨论、状态转折点等步骤列表呈现，清晰展现数形结合思想与几何特征表达的内在联系。 讲义亮点在于四大题型的分层设计，如动点与三角形面积问题引导学生用坐标表示几何量建立函数关系，培养数形结合的数学思维和抽象能力。每个题型配有典例解析和梯度练习，基础生掌握方法，优生拓展探究，助力教师实施精准化复习教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题11 一次函数与动点问题（4大基本题型） 题型1：动点与三角形面积问题 题型2：动点与全等/三角形存在性问题 题型3：动点与实际应用问题 题型4：动点与对称问题 一、一次函数的基础支撑 一次函数是解决动点问题的工具载体，其核心概念与性质是分析动点轨迹、建立函数关系的基础： 1. 一次函数的定义与斜截式：形如的函数，其中k为斜率（决定直线上升/下降趋势），b为截距（决定直线与y轴交点）。正比例函数（b＝0）是特殊的一次函数。 2. 一次函数的图象与性质： (1) 图象为直线，k＞0时从左至右上升，k＜0时下降； (2) b＞0时与y轴交于正半轴，b＜0时交于负半轴； (3) 两直线平行的条件是k相等且b不等，垂直的条件是 二、动点问题的核心分析框架 动点问题的关键是将“动态运动”转化为“静态函数关系”，需掌握以下分析步骤： 1. 研究背景图形：将函数信息（如直线解析式）转化为几何图形（如线段、三角形、四边形）的坐标、长度、面积等属性。 2. 分析运动过程： (1) 分段讨论：根据动点的运动阶段（如从A到B、从B到C），确定不同阶段的函数表达式； (2) 状态转折点：找到动点运动中的关键节点（如到达某点、与其他线段相交），这些节点是分段的分界点； (3) 自变量范围：明确动点运动的起点、终点，确定自变量（如时间t）的取值范围。 (4) 表达几何特征：将动点的位置用坐标表示（如动点P），结合几何公式（如距离公式、面积公式）建立函数关系式。 三、解题的关键思想与技巧 1. 数形结合思想：将动点的坐标与几何图形结合，用坐标表示几何量（如长度、面积），用图形辅助理解函数关系。 2. 分类讨论思想：对于动点运动的不同阶段（如从A到B、从B到C）或几何图形的不同情况（如等腰三角形的三种情况），分情况讨论，避免遗漏。 3. 方程与函数思想：用一次函数建立方程，解决动点位置、面积、最值等问题（如用距离公式列方程求等腰三角形的动点坐标）。 【题型1】动点与三角形面积问题 核心解题思路：将“动点运动”转化为“坐标变化”，用动点坐标表示三角形的底或高，结合一次函数解析式建立面积与自变量的函数关系。 基本解题步骤： 1. 确定动点轨迹与坐标表达式： (1) 若动点在直线上运动，根据直线解析式直接设坐标。 (2) 若动点在折线上运动，需分段讨论：不同线段对应不同的坐标表达式 2. 选择三角形的底与高： (1) 若三角形有一边在坐标轴上，则底为固定值，高为动点的纵坐标（或横坐标，取决于三角形方向）。 (2) 若三角形无边在坐标轴上，需用距离公式计算底，用点到直线的距离计算高。 3. 立面积函数关系式：面积公式：S＝×底×高，将底与高用动点坐标（或t）表示，化简得到S与t的函数关系式。 4. 确定自变量范围：动点运动的起点与终点决定了t的取值范围 【典例1】如图1，在中，，，动点从点运动到点再到点后停止，速度为，其中的面积与运动时间的关系如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，勾股定理的应用，正确看懂图象是解题的关键． 由题意可得动点从点运动到点再到点的时间为，则可得，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：由图象可得动点从点运动到点再到点的时间为， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得， 解得，即， 故选：B． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； （2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，点，直线经过点，且满足，连接． (1)求点的坐标． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)若动点在直线上运动，当与的面积之比为时，直接写出点的纵坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)点的纵坐标为或． 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，勾股定理及其逆定理的应用，点到坐标轴的距离，三角形的面积公式； （1）根据实数的非负性，确定a，b的值，继而确定点的坐标； （2）根据的坐标，结合勾股定理分别计算，根据，即可求解； （3）先计算，设的纵坐标为，分点在上和的延长线上两种情况分析，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴，， （2）解：是直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∵，即 ∴是直角三角形； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵与的面积之比为， ∴， 设的纵坐标为， 当在上时， ∴，即 解得： 当在的延长线上时， ∴，即 解得： ∴点的纵坐标为或． 【练习3】在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题． 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧． 如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上． (1)请直接写出点的坐标：______，______． (2)当点在运动过程中，设运动时间为秒． ①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式； ②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）． ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或或 (3)①②③ 【分析】（）利用矩形的性质和折叠的性质得到，，，，利用勾股定理求得，则，点坐标可得；设，则，，利用勾股定理求得x值，则点坐标可求； （）①利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：当点在上时，，此时；当点在上时，求得长度后，利用三角形的面积公式解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况解答：当时，利用等腰三角形的性质和点的坐标的特征解答即可；当时，用勾股定理和点的坐标的特征解答即可；当时，设，则，利用勾股定理列出方程解答即可； （）结合解题过程分析解答即可． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ，，，， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：①当点在上时，，此时； 当点在上时，如图， 此时， ， ，此时； 综上，的面积与之间的关系式为； ②存在等腰三角形，点的坐标是或或，理由如下： 当时， 点， ，， ， ； 当时， ， ， ， ； 当时，如图， 设，则， ， ， ， 综上，存在等腰三角形，点的坐标为或或； （3）解：在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有通过分类讨论求得点坐标，通过设，列出方程求得的长度，所以，让我们感悟的数学思想有方程的思想、数形结合思想和分类讨论的思想方法， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，一次函数与几何图形，勾股定理，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【题型2】动点与全等/三角形存在性问题 核心解题思路：利用全等三角形（对应边相等、对应角相等）或等腰三角形（两边相等、底角相等）的性质，建立坐标方程，求解动点的位置。 基本解题步骤： 1. 明确存在性条件： (1) 全等三角形：需满足SSS、SAS、ASA、AAS，将条件转化为坐标等式。 (2) 等腰、直角、等腰直角三角形：需分三种情况讨论，每种情况对应不同的坐标方程。 2. 用坐标表示线段长度： (1) 若两点坐标为点A和点B，则（两点间距离公式）。 (2) 若线段在坐标轴上，则长度为（简化计算）。 3. 建立方程求解：将存在性条件转化为方程，化简求值。 4. 验证解的合理性：检查解是否在动点运动的自变量范围内，避免无效解。 【典例1】如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理； （1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）勾股定理求得，进而根据折叠的性质得出，分，，两种情况分别讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：∵，B ． ∴， ∴， 设，则，， 如图，当时， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴ ∴ 解得：， ∴； 如图，当时，则在轴的负半轴， 同理可得，， ∴ ∴中， ∴ 解得： ∴， 综上所述，或 【练习1】如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点． (1)______；______； (2)求的面积； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或 【分析】（1）由题意易得点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据两点距离公式可进行求解； （2）由（1）可知：；；，则有，即是直角三角形，然后问题可求解； （3）由题意可分当时和当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：直线l：与x轴，y轴分别交于A，B两点， 把代入，得， 点A的坐标为， 把代入，得， 点B的坐标为， ， ；； （2）解：由（1）可知：；；， ，， ， 是直角三角形，即， ； （3）解：①当时，如图， 沿直线翻折， ， ， ， C、M、A三点共线， ；， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； ②当时，如图，过点M作于N点， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ；， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式，熟练掌握一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式是解题的关键． 【练习2】如图，已知直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接，点P在第一象限，若是等腰直角三角形，则的长为______． 【答案】或或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键，分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 当是等腰直角三角形时，分3种情况： ①当时，则，作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则，作轴， 同①法可得：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则，作轴，作交的延长线于点，则， 同①法可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 【练习3】【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出______，______； ②点的坐标______，的面积_________； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)①8，6；②；50 (2)的面积不变， (3)或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ∴，． ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵为等腰直角三角形，， ∴． （2）解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； （3）解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 【题型3】动点与实际应用问题 核心解题思路：将实际场景（如行程、工程、利润）转化为一次函数模型，用函数关系式表示变量之间的关系，求解实际问题（如相遇时间、最大利润）。 基本解题步骤： 1. 设定变量：设动点运动的时间为t，表示出相关变量。 2. 建立函数关系式：根据实际场景的等量关系，建立一次函数关系式。 3. 求解实际问题： (1) 行程问题：求相遇时间； (2) 利润问题：求最大利润。 4. 验证合理性：检查解是否符合实际场景（如时间不能为负数，路程不能超过总路程）。 【典例1】小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分）的函数关系如图所示，下列结论： ①山的高度是米； ②表示的是小王爬山的情况，表示的是小张爬山的情况； ③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍； ④小王比小张先出发分钟． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图．根据函数图象逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得：山的高度是米，故①正确； 表示的是小张爬山的情况，表示的是小王爬山的情况，故②错误； 小张爬山的速度是（米分），小王爬山的速度是（米分）， 小张爬山的速度是小王的2倍，故③正确； 由图象可得，小王比小张先走米，所需时间是（分钟）， 小王比小张先出发分钟．故④正确． 正确的有①③④三个， 故选：C． 【练习1】甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】(1) (2) (3)天 【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，分别求出两组的挖掘速度是解题的关键． （1）观察图象即可； （2）求出甲组的挖掘速度，从而求出乙组停工后关于的函数解析式即可； （3）设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，根据甲组挖掘的速度甲组挖掘的天数乙组挖掘的速度列方程列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）． 故答案为：． （2）解：甲组的挖掘速度为（/天）， 则当时，， 乙组停工后关于的函数解析式为． （3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天）， 则乙组的挖掘速度为（/天）， 设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天， 根据题意，得， 解得， （天）． 答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天． 【练习2】某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双， ∴， 又∵， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【练习3】A、B两地相距300千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚小时到达B地．两车离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车行驶速度是_千米/时，乙车行驶速度是_千米/时； (2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； (3)直接写出两车出发多少小时相距15千米？ 【答案】(1)60；90 (2) (3)两车出发1.9小时或2.25小时或3.25小时或4.75小时时相距15千米 【分析】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合图象信息，根据路程及时间可求甲车、乙车行驶速度； （2）根据甲车比乙车晚小时到达B地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可； （3）根据运动过程，分四种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车追上甲车并超过15千米时，④当乙车回到B地时，甲车距离B地15千米时． 【详解】（1）解：由题意可得： 甲车的行驶速度是：（千米/时）， M的纵坐标为180， ∴B与服务区的距离为180千米， 乙车行驶的路程为（千米）， 行驶的时间为（小时）， ∴乙车行驶的速度是（千米/时）， 故答案为：60；90； （2）解：∵甲车比乙车晚小时到达B地， ∴点， 乙的速度为90千米/小时，则， ∴，， 设表达式为，则： ， ∴， ∴， 即乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为； （3）解：设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米， 分以下四种情况讨论： ①在乙车到B地之前时， ，即， 解得：； ②∵小时，小时， ∴甲乙同时到达服务区，当乙在服务区停留时， 小时； ③当乙车追上甲车并超过15千米时， 小时； ④当乙车已经回到B地时，甲车距离B地15千米时， 小时； 综上：两车出发1.9小时或2.25小时或3.25小时或4.75小时时相距15千米． 【题型4】动点与对称问题 核心解题思路： 利用轴对称（如点关于直线对称、线段关于直线对称）的性质，建立坐标方程，求解动点的位置（如对称点的坐标、对称轴的方程）。 基本解题步骤： 1. 明确对称条件： (1) 点关于直线对称：对称轴是两点连线的垂直平分线（即对称轴垂直于两点连线，且过中点）； (2) 线段关于直线对称：线段的两个端点关于直线对称。 2. 用坐标表示对称条件： (1) 若点P关于直线的对称点为Q，则满足： 1 两点连线的斜率为（垂直）； 2 两点中点在直线上（过中点）。 3. 建立方程求解：将对称条件转化为方程，化简求解 4. 验证合理性：检查对称点是否在动点运动的轨迹上（如Q是否在直线AB上）。 【典例1】在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，数形结合是解题的关键．求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，结合图形即可求解． 【详解】解：点、，，是过点， 关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， 如图，当经过点时，则，解得， 当直线经过点时，则，解得， 故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是． 故答案为：． 【练习1】如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、坐标的规律变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据点由轴对称可得点，再逐次由轴对称得，，……，由此即可归纳类推出一般规律，由此即可得，代入，即可求得点的纵坐标． 【详解】解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴， 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； ……， ∴， 当时，， 代入， 得， ∴． 故选：B． 【练习2】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是；④是， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如图： （3）解：①由图象可知：时，的值随的值的增大而增大； ②由图象可知，当时，的取值范围是：； ③由图象可知，函数存在最小值，为； ④由图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：①，②． 【练习3】直线与轴和轴分别交于点和点，过点的直线与轴的负半轴交于点． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图1，过轴正半轴上的点作，交直线于点，且点在过点的直线上，若线段平分线段，求点的坐标； (3)如图2，若点与原点关于点对称，过点作直线直线于点，在直线上取一点，使，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【分析】（1）对于，分别令和，可求出点A，C的坐标；对于，令，可求出点B的坐标； （2）设点，求出，该函数解析式为，从而得到点，再求出直线的解析式为，可得点，然后根据线段平分线段，即可求解； （3）求出点，设直线的解析式为，，可得到直线的解析式为，然后分两种情况：当点N在点M的上方时；当点N在点M的下方时，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，； ∴， 当时， 解得：， ∴， 对于， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：设点， ∵点在直线上， ∴， ∴该函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴点， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∵线段平分线段， ∴点； （3）解：∵点与原点关于点对称，， ∴点， ∴可设直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当点N在点M的上方时，如图，过点M作轴，分别过点A，N作，垂足分别为点L，K，则，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点N的坐标为， 把代入得： ， 解得：（舍去）， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为； 当点N在点M的下方时，同理直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题11一次函数与动点问题(4大基本题型) 专题概览 题型1：动点与三角形面积问题 题型2：动点与全等/三角形存在性问题 题型3：动点与实际应用问题 题型4：动点与对称问题 核心知识点总结 一、一次函数的基础支撑 一次函数是解决动点问题的工具载体，其核心概念与性质是分析动点轨迹、建立函数关系的基础： 1.一次函数的定义与斜截式：形如y=x+b(k≠0)的函数，其中k为斜率（决定直线上升/下降趋势）， b为截距（决定直线与y轴交点）。正比例函数(b=0)是特殊的一次函数。 2. 一次函数的图象与性质： (1)图象为直线，k>0时从左至右上升，k<0时下降； (2)b>0时与y轴交于正半轴，b<0时交于负半轴： (3)两直线平行的条件是k相等且b不等，垂直的条件是k·k2=-1 二、动点问题的核心分析框架 动点问题的关键是将“动态运动”转化为“静态函数关系”，需掌握以下分析步骤： 1.研究背景图形：将函数信息（如直线解析式）转化为几何图形（如线段、三角形、四边形）的坐 标、长度、面积等属性。 2.分析运动过程： (1)分段讨论：根据动点的运动阶段（如从A到B、从B到C),确定不同阶段的函数表达式： (2)状态转折点：找到动点运动中的关键节点（如到达某点、与其他线段相交），这些节点是分段的 分界点； (3)自变量范围：明确动点运动的起点、终点，确定自变量（如时间）的取值范围。 (4)表达几何特征：将动点的位置用坐标表示（如动点P(x,+b)),结合几何公式（如距离公式、 面积公式)建立函数关系式。 三、解题的关键思想与技巧 1,数形结合思想：将动点的坐标与几何图形结合，用坐标表示几何量（如长度、面积），用图形辅 助理解函数关系。 2.分类讨论思想：对于动点运动的不同阶段（如从A到B、从B到C)或几何图形的不同情况（如 等腰三角形的三种情况)，分情况讨论，避免遗漏 3. 方程与函数思想：用一次函数建立方程，解决动点位置、面积、最值等问题（如用距离公式列方 程求等腰三角形的动点坐标)。 题型归纳 【题型1】动点与三角形面积问题 核心解题思路：将“动点运动”转化为“坐标变化”，用动点坐标表示三角形的底或高，结合一次 函数解析式建立面积与自变量的函数关系。 基本解题步骤： 1.确定动点轨迹与坐标表达式： (1)若动点在直线上运动，根据直线解析式直接设坐标。 (②)若动点在折线上运动，需分段讨论：不同线段对应不同的坐标表达式 2.选择三角形的底与高： (1)若三角形有一边在坐标轴上，则底为固定值，高为动点的纵坐标（或横坐标，取决于三角形方向）。 (2)若三角形无边在坐标轴上，需用距离公式计算底，用点到直线的距离计算高。 3. 立面积函数关系式：面积公式：S=×底×高，将底与高用动点坐标（或）表示，化简得到5 与t的函数关系式。 4.确定自变量范围：动点运动的起点与终点决定了t的取值范围 【典例1】如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4Cm,动点P从A点运动到B点再到C点后停止， 速度为2cm/s,其中△ACP的面积cm2)与运动时间(s)的关系如图2，则AB的长为()cm ASAACP(cm2) 5s1(s) 图1 图2 A.4N2 B. C.5 D. 29 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-一x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A,B, 点C是线段OA上的一个动点（不与点O,点A重合），过点C作x轴的垂线I交直线AB于点D,在射 线CD上取点E,使CE=2OC,设点C的横坐标为m, E D (1)求A,B两点的坐标； (2)若△ABE的面积等于AOB面积的一半，求m的值. 【缘习2】如图，在平面直角坐标系中，点C?0 直线1经过点Aa,0),B(0,b,且a,b满足 a+b+1+√3a+4b=0,连接BC. A C (1)求点A,B的坐标. (2)试判断ABC的形状，并说明理由， (3)若动点P在直线1上运动，当△BCP与ABC的面积之比为3：5时，直接写出点P的纵坐标. 【练习3】在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本 图形，以小组为单位编制一道综合探究题。 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可，同学们也眼前一亮， 纷纷动手，开始了探究.请你也跟他们一起来完成这道试题吧. 如图，分别以长方形OABC的边OC,OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知A0=10, AB=6,点E在线段OC上，以直线AE为轴，把△OAE翻折，点O的对应点D恰好落在线段BC上 Y 备用图 (I)请直接写出点D,E的坐标：D，E (②)当点P在运动过程中，设运动时间为t秒 ①点P从点O出发以每秒2个单位的速度沿线段OA-AB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动， 求△BDP的面积S与t之间的关系式； ②点P是x轴负半轴上的一个动点，若AD与x轴交于点F 15 ,0 2 是否存在等腰三角形APF？若存在， 请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有 (填序号). ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想. 【题型2】动点与全等/三角形存在性问题 核心解题思路：利用全等三角形（对应边相等、对应角相等）或等腰三角形（两边相等、底角相等） 的性质，建立坐标方程，求解动点的位置。 基本解题步骤： 1. 明确存在性条件： (I)全等三角形：需满足SSS、SAS、ASA、AAS,将条件转化为坐标等式。 (②)等腰、直角、等腰直角三角形：需分三种情况讨论，每种情况对应不同的坐标方程。 2. 用坐标表示线段长度： (1)若两点坐标为点A(x,y)和点B(x2,乃2)，则AB=Vx-x)+(y-y2 (两点间距离公式)。 (2)若线段在坐标轴上，则长度为x,-x(简化计算)。 3.建立方程求解：将存在性条件转化为方程，化简求值。 4. 验证解的合理性：检查解是否在动点运动的自变量范围内，避免无效解。 【典例】如图，一次函数y三+4的图象分别与x轴交于点A,与雏交于点B B 备用图 (I)求点A,B的坐标； (2)点C为线段OB上一动点，连接AC,将△ACB沿AC翻折得到△ACD，,连接OD,当△OCD是以OC 为直角边的直角三角形时，请求出点C的坐标. 【练习1】如图，直线1：yx3与x轴，y轴分别交于A,B两点，点C坐标为(5，-2)，连接AC, BC,点D是线段AB上的一动点 VA B B D D 0 备用图 (1)AB=;AC= (2)求ABC的面积； (3)将△BCD沿直线CD翻折，点B的对应点为M,若△ADM为直角三角形，求线段BD的长. 【练习2】如图，已知直线：y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点P在第一 象限，若△ABP是等腰直角三角形，则OP的长为 【练习3】【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线DE经过点C, 过A作AD⊥DE于点D.过B作BE⊥DE于点E,则aBEC≌aCDA,我们称这种全等模型为“k型全等 (不需要证明) B B 图1 图2 图3 图4 备用图1 备用图2 【迁移应用】已知：直线y=kx+6(k≠0)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点. (1)如图2，当k=-3 时，在第一象限构造等腰直角△ABE,∠ABE=90°； ①直接写出0A=，OB= ②点E的坐标，△ABE的面积 (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB,并且 BN=AB,连接ON,问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN的面积；若变，请说明理由； ③)【拓展应用】如图4，当k=-3时，直线1：y=4与y轴交于点D,点P(m,-4、Q分别是直线1和 2 直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为10,0)，当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点Q 的坐标是 (直接写出答案即可)· 【题型3】动点与实际应用问题 核心解题思路：将实际场景（如行程、工程、利润)转化为一次函数模型，用函数关系式表示变量 之间的关系，求解实际问题（如相遇时间、最大利润）。 基本解题步骤： 1.设定变量：设动点运动的时间为，表示出相关变量。 2.建立函数关系式：根据实际场景的等量关系，建立一次函数关系式。 3.求解实际问题： (1)行程问题：求相遇时间； (2)利润问题：求最大利润。 4.验证合理性：检查解是否符合实际场景（如时间不能为负数，路程不能超过总路程)。 【典例1】小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到 山顶，两人所爬的高度h(米)与小张出发后的时间t(分)的函数关系如图所示，下列结论： ①山的高度是720米； ②表示的是小王爬山的情况，马表示的是小张爬山的情况： ③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍： ④小王比小张先出发40分钟， 其中正确的有() h/米个 6 720 240 20406080t/分钟 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【练习1】甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时 间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和ym)与甲组 挖掘时间x(天)之间的关系如图所示。 Ay/m 300--------- 210 30 60x天 (I)甲组比乙组多挖掘了 (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式(30<x≤60) (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数. 【练习2】某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于40%·经测算， 加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元： (I)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y(元)与x(双)之间的 函数解析式并写出x的取值范围 (②)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【练习3】A、B两地相距300千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B 地出发前往服务区接人，到达服务区停留：小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行 驶，结果甲车比乙车晚小时到达B地. 两车离B地的路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关 系如图所示.请结合图象信息解答下列问题： Ay(千米) 300 MN 180 E5x(小时) (1)甲车行驶速度是千米/时，乙车行驶速度是千米时： (2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y(千米)与x(小时)之间的函数关系式（不需要写出自变 量x的取值范围)； (3)直接写出两车出发多少小时相距15千米？ 【题型4】动点与对称问题 核心解题思路： 利用轴对称（如点关于直线对称、线段关于直线对称）的性质，建立坐标方程，求解动点的位置（如 对称点的坐标、对称轴的方程)。 基本解题步骤： 1.明确对称条件： (I)点关于直线对称：对称轴是两点连线的垂直平分线（即对称轴垂直于两点连线，且过中点）； (2)线段关于直线对称：线段的两个端点关于直线对称。 2. 用坐标表示对称条件： (1)若点P(x,y)关于直线y=x+b(k≠0)的对称点为Q(x2,2),则满足： ① 两点连线的斜率为-}（垂直）； k ② 两点中点 (+正，上+业在直线y=kx+b(k≠0)上（过中点）。 21 2 3. 建立方程求解：将对称条件转化为方程，化简求解(x2,y2) 4. 验证合理性：检查对称点是否在动点运动的轨迹上（如Q是否在直线AB上）。 【典例1】在平面直角坐标系x0中，已知△ABC顶点坐标分别为点A(1,0)、B(5,0),C(3,4),4是过点 M亿，0)与x轴垂直的直线.若直线马：y=x+b上存在点0，使点Q关于直线（的对称点在△BC的 内部或边上，则b的取值范围是 【练习1】如图，过点A(2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B;点A与点O关于直线AB,对称；过 点A,(4,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B;点A与点O关于直线A,B,对称；过点A作x轴的垂线， 交直线y=2x于点B;.,按此规律作下去，则点B2os的坐标为() B/ B2 B 不4由4衣 A.（2205,22025）B.(2205,2206） C.（22024,22024） D.（2204,22025） 【练习2】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法， 小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=x--3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究 过程，请你补充完整. 4 3 2 -4-3-2-10 1 2345x 3 4 5 (1)列表： -2 -1 0 2 4 0 b 0 则a= ,b= ； (2)描点并画出该函数的图象： (3)①观察函数图象，当x时，y的值随x的值的增大而增大； ②观察函数图象，当-3≤y≤1时，x的取值范围是； ③观察函数图象，试判断函数y=x--3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值. ④观察函数图象，试判断函数y=x-1-3的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达 式 【练习3】直线y弓x轴和轴分别交于点4和点C,过点C的直线yx专x轴的负9 2 2 轴交于点B. B B A E M 图1 图2 (1)请直接写出点A,B,C的坐标； (2)如图1，过y轴正半轴上的点D作DE∥AC,交直线BC于点F,且点F在过点A的直线y=x+n上，