精品解析：黑龙江省大庆市肇源县2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

2025-2026学年度上学期学业水平质量监测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列比例式正确是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（ ） A. 两枚硬币都正面向上的可能性最大 B. 两枚硬币都反面向上的可能性最大 C. 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的可能性最大 D. 以上三种情况的可能性相同 4. 如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，且，若面积为，则的面积为（   ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 写出一个函数表达式，满足：当时，随的增大而增大，则此函数表达式可以为________（写出一个即可）． 12. 若代数式可以配方为，则______． 13. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为______． 14. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)． 15. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 16. 周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 ___个展馆； （2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 _______． 17. 中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是________里． 18. 关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 三、解答题（本题共10小题，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 21. 甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下： 两枚骰子点数相同时甲胜； 两枚骰子的点数之和为时乙胜； 是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论. 22. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 23. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 24. 如图，四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 26. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 27. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知是反比例函数图象上一点，求的面积； （3）结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 28. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期学业水平质量监测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 2. 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值． 先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点反比例函数图象上，． A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（ ） A. 两枚硬币都正面向上的可能性最大 B. 两枚硬币都反面向上的可能性最大 C. 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的可能性最大 D. 以上三种情况的可能性相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 先画出树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两正面朝上的、两背面朝上的和一个正面朝上，另一个背面朝上的结果数，然后分别计算它们的概率，再比较大小即可． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两正面朝上的占1种，两背面朝上的占1种，一个正面朝上，另一个背面朝上的占2种， 所以两正面朝上的概率，两反面朝上的概率，一个正面朝上，另一个背面朝上的概率 故选：C． 4. 如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根判别式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 故选：D． 6. 已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设反比例函数解析式为，根据反比例函数中的几何意义即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由题意得：， ， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 反比例函数解析式为， 故选： A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，且，若的面积为，则的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先利用坐标求出与的长度得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为， ∴． 故选： D． 8. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小． 【详解】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点， ∴＝−6，＝−2， ∴y1＜y2． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称． 10. 如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据、是等边三角形，得出， ，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断②；根据题意得出当点重合时，最大，此时 ，当时， 最小，证明，根据相似三角形的性质得出，结合点D是边上一点（不与点B、点C重合），即可判断③； 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故①正确； ∵ 故当时，， ∵是变化的， ∴不一定相似，故②错误； 当点重合时，最大，此时 ， 当时， 最小， 此时， ∵， ， ∴， ∴， ∵点D是边上一点（不与点B、点C重合）， ∴，故③正确； 故选：B． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 写出一个函数表达式，满足：当时，随的增大而增大，则此函数表达式可以为________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．当时，随的增大而增大，这数是一个开口向下且对称轴为轴的抛物线，这个抛物线的解析式可以是 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为轴， 二次函数当时，随的增大而增大， 故答案为： ． 12. 若代数式可以配方为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出a、b，计算即可． 【详解】解：， 由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先证明，再根据相似三角形对应边成比例得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：米． 14. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确到)． 故答案为：． 15. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【解析】 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 16. 周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 ___个展馆； （2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 _______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了时间的计算，有理数的运算； （1）根据题意明明有3个小时即180分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为的时间和为90分钟，所以既不浪费时间又必须参加展馆只能是． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为D（15分钟）、B（30分钟）、C（45分钟）、A（60分钟）、E（60分钟），F（90分钟）最多可以参观完四个展馆． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观F展馆90分钟，正好去参观B展馆30分钟，正好去参观E展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 故答案为：4，． 17. 中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是________里． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 18. 关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（本题共10小题，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解法求解即可． （2）利用移项、提取公因式因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 所以； 【小问2详解】 解： ， ， ， 则或， 所以，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2），另一个根为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）把代入原方程可求出k的值，进而求出原方程，再解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 21. 甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下： 两枚骰子点数相同时甲胜； 两枚骰子的点数之和为时乙胜； 是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论. 【答案】当时，甲、乙两人获胜的概率相同 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数相同和点数和的情况，再利用概率公式即可求得两人获胜的概率，可得结果． 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：存在． 列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有36种等可能的结果，点数相同的结果有6种， 甲胜的概率为， 两枚骰子的点数之和为7的结果为6种， 当时， 乙胜的概率为， 即当时，甲、乙两人获胜的概率相同． 22. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． 【小问1详解】 证明：中，，于点， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ． 23. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】（1）y=； （2）半径为28米； （3）最多是0.4厘米． 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论； （2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【小问1详解】 设y与x之间的函数表达式为， ∴7=， ∴k=14， ∴y与x之间的函数表达式为y=； 【小问2详解】 当x=0.5时，y==28米， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 【小问3详解】 当y≥35时，即≥35， ∴x≤0.4， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 25. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 【答案】路灯杆AB的高度为7m． 【解析】 【分析】找出图中的相似三角形，利用三角形相似的性质解决即可． 【详解】∵CD∥AB， ∴△EAB∽△ECD， ∴=，即=①， ∵FG∥AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴=，即=②， 由①②得，=， 解得，BD=7.5， ∴=， 解得，AB=7． 答：路灯杆AB的高度为7m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．在本题中关键是两组相似三角形中的公共边和身高，这两个量的性质，人的身高不变，AB是公共边，这样就可以解决了． 26. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 27. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知是反比例函数图象上一点，求的面积； （3）结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 【答案】（1）， （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、利用图像解不等式、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为． ，与轴交于点． 【小问2详解】 解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． 【小问3详解】 解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 28. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $