精品解析：湖南省郴州市宜章县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

数学第二次复习 （时量：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列三条线段的长度能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 5，5，11 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如果多项式可以用完全平方公式分解因式，那么的值为( ) A. B. C. D. 6. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为，所以称16为“奇妙数”．下面4个数中为“奇妙数”的是（ ） A. 1018 B. 1020 C. 1022 D. 1024 7. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 10. 如图，，，增加条件使，则下列条件错误的是（ ）     A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：________． 12. 若分式的值为零，则x的值是______． 13. 命题“如果，那么”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 14. 若，，则________________． 15. 已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_____________． 16. 若x、y满足y= + ＋4，xy= _______． 17. 若分式方程无解，则m等于______． 18. 如图，，，那么判定的理由是____． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算： 20. 先化简，再从0，1，2中选出你喜欢的的值代入求解． 21. 已知在中，． （1）求m的取值范围； （2）若是等腰三角形，求的周长． 22. 如图，点B，C在上，，，．求证：∥． 23. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 24. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 25. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则______，______． （2）已知，求的值． 26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学第二次复习 （时量：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列三条线段的长度能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了组成三角形的条件，根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 对于选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴ 不能组成三角形． 对于选项C：∵，，，满足三边关系，∴能组成三角形． 对于选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 故选C． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简和同类二次根式的定义，根据最简二次根式与同类二次根式的定义求解． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B. 与是同类二次根式，故该选项符合题意； C. 与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D. 与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A∶，分子与分母有公因式x，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项B∶，分子x与分母3x+1无公因式，是最简分式； ∵ 选项C∶ ，分子与分母有公因式3，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项D∶，分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式． 故选B． 4. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 5. 如果多项式可以用完全平方公式分解因式，那么的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，设，由得，即得，进而即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式分解， ∴设， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为，所以称16为“奇妙数”．下面4个数中为“奇妙数”的是（ ） A. 1018 B. 1020 C. 1022 D. 1024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先设两个连续奇数分别为（n为整数），则有，即“奇妙数”能被8整除，分别计算并验证即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ， 则 ， ∴“奇妙数”是8的倍数， A.，不整除； B.，不整除； C.，不整除； D.，整除， ∴ 1024是“奇妙数”． 故选：D． 7. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 8. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形的对应角相等求，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 9. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 10. 如图，，，增加条件使，则下列条件错误的是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：A．增加 ，根据可证明； B．增加 ，根据可证明； C．增加 ，即，根据可证明； D． 增加，无对应边，无法证明全等； 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 13. 命题“如果，那么”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题，需举反例．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：假． 14. 若，，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方． 逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键；由于等腰三角形的一个角可能是顶角或底角，需分情况讨论． 【详解】解：设等腰三角形的顶角为，底角为，则， 若是顶角，则； 若是底角，则，； 两种情况均符合三角形内角和定理， 故答案为或． 16. 若x、y满足y= + ＋4，xy= _______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可确定x的值，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴x=2，y=4， ∴xy=2×4=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式组的解法，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 17. 若分式方程无解，则m等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先方程两边同乘以可得，则可得，再根据方程无解可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：． 18. 如图，，，那么判定的理由是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可． 【详解】解：在和中 ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先进行乘方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂，平方差公式的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再从0，1，2中选出你喜欢的的值代入求解． 【答案】，选择，值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． ∵，，即， ∴从0，1，2中选择， ∴原式． 21. 已知在中，． （1）求m的取值范围； （2）若是等腰三角形，求的周长． 【答案】（1） （2）的周长为48 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，解不等式组等知识，掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形三边关系求解即可； （2）分，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴ 解得： 【小问2详解】 当时，，解得： 此时的周长； 当时，，解得； ∵ ∴此种情况不合题意 综上所述，m的值为10，的周长为48 22. 如图，点B，C在上，，，．求证：∥． 【答案】 证明：∵∥, ∴， ∵，． 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴∥． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．因为两直线平行内错角相等，由∥得出，再通过证明，从而有，再由平行线的判定得出∥． 【详解】略 23. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元 （2）购买A型机器人模型至少为14台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ．， 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得： 解得 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台． 24. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 25. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则______，______． （2）已知，求的值． 【答案】（1）3，0； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解是解题的关键； （1）由可变形为，然后根据偶次幂的非负性可进行求解； （2）由可变形为，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3，0； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2） 略 （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $