精品解析：四川省南充市南部县第二中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2025-2026学年度上期九年级阶段性学情诊断 数学试卷 一、选择题．（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 正五边形 C. 抛物线 D. 双曲线 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 3. 中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. A是反比例函数图像上的一点，过A作轴于B，作轴于C，矩形的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 7. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数是关于的反比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. 9. 如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A. 8 B. 10 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______. 12. 一元二次方程的根为_______，_______． 13. 某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是__________． 14. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 15. 下列关于二次函数的说法：①图像是一条抛物线；②图像开口向上；③函数的最大值是0；④一定过；⑤对称轴是x轴；⑥y随x增大而增大，其中正确的有________个． 16. 直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则______． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 19. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种． （1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率． 20. 如图，为的弦，是直线上两点，且，求证：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 22. 如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于两点． （1）求直线的解析式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 23. 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 如图，抛物线与双曲线全相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点的坐标为(一2,2),点B在第四象限内．过点B作直线BC x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍．记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式; （2）计算与的面积; （3）在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积的8倍?若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期九年级阶段性学情诊断 数学试卷 一、选择题．（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 正五边形 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合．而中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转后，能够与原来的图形重合的图形，这个点称为对称中心．中心对称图形的关键特点是绕对称中心旋转后，图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 【详解】解：A、直角三角形一般不是轴对称图形（等腰直角三角形除外）也不是中心对称图形； B、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形； C、抛物线是轴对称图形但不是中心对称图形； D、双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：D． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将该方程化为一般式，即可解答． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 3. 中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．计算选到五仁月饼的概率，即五仁月饼数量与总月饼数的比值． 【详解】解：∵总月饼数，五仁月饼有2个， ∴选到五仁月饼的概率． 故选：A． 4. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆的内接四边形的性质和圆周角定理，可知， ，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 5. A是反比例函数图像上的一点，过A作轴于B，作轴于C，矩形的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，理解过反比例函数图像上任意一点向两坐标轴作垂线得到的矩形的面积为是解题的关键． 先根据k的几何意义得，然后再根据点A在第二象限反比例函数的图像上即可求得k的值． 【详解】解：∵矩形的面积为4， ∴根据k的几何意义得：， 又∵点A为第二象限反比例函数的图像上的点， ∴． 故选B． 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线分线段成比例，可知，然后结合已知条件，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 【详解】解：函数与的图象关于x轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：D． 8. 已知函数是关于的反比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义确定m的值即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：； 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是根据反比例函数的定义确定m的值，难度不大． 9. 如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以写出各段对应的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，点在上， ， 时，随着的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，D错误， 当时，点在线段上， ， 时，随的增大而增大，当时取得最大值，此时，函数图象是一条线段，故选项C正确，选项B错误， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中关于原点对称的点的特征，根据关于原点对称的点的坐标规律，点的横坐标和纵坐标都变为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为， 故答案为． 12. 一元二次方程的根为_______，_______． 【答案】 ①. 0 ②. 9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或 ， ，． 故答案为：，． 13. 某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算公式，根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 14. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系． 15. 下列关于二次函数的说法：①图像是一条抛物线；②图像开口向上；③函数的最大值是0；④一定过；⑤对称轴是x轴；⑥y随x增大而增大，其中正确的有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的图象和性质是关键．根据二次函数的性质逐条进行判断即可． 【详解】解：关于二次函数的说法： ①图像是一条抛物线,故①正确； ②∵ ∴图像开口向上； 故②正确； ③∵ ∴图像开口向上； ∵顶点为， ∴函数的最小值是0； 故③错误； ④∵顶点为， ∴一定过； 故④正确； ⑤对称轴是y轴； 故⑤错误， ⑥∵，对称轴为轴， ∴图像开口向上； ∴当时，y随x增大而增大，故⑥错误， 综上可知，正确的有①②④，共3个， 故答案为：3 16. 直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点、坐标是本题的关键． 由三角形相似，可得，设，则，可得点，，进而求得，，由反比例函数的性质可得，可求的值，即可求解． 【详解】解：如图过点作轴 直线与轴交于点，与轴交于点， 点，点 ，， 四边形为矩形， ， ，， ， 轴 ， ， ， 设，则， ， ， 轴 ， ，即， ， 点， 点，点都在反比例函数上， ， ， ， 故选：C． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 解： 因式分解： 或 解得：，. 【小问2详解】 解： 因式分解： 或 解得：，. 18. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 19. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种． （1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得出所有的等可能性的结果数，然后找到乙不输的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲每次做出的手势只有“石头”、“剪子”、“布”其中的一种， ∴甲每次做出“石头”手势的概率为； 【小问2详解】 解：树状图如图所示： 甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不输的共有6种， ∴（乙不输）． 答：乙不输的概率是． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，利用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． 20. 如图，为的弦，是直线上两点，且，求证：． 【答案】 证明：如图过点O作OH⊥AB，于点H． ∵为的弦， ∴AH＝BH 又∵AC＝BD ∴AC＋AH＝BD＋BH， 即 又OH⊥AB， ∴OC＝OD， ∴∠C＝∠D． 【解析】 【分析】过O作OH⊥AB于H，则AH=BH；再根据线段的和差关系可得：CH=DH，即OH是CD的线段垂直平分线，所以OC=OD，继而即可求证结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了垂径定理，解答本题的关键是作辅助线，利用垂径定理和线段垂直平分线的性质证明OC=OD． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 22. 如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于两点． （1）求直线的解析式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数图像的性质等知识点，熟练掌握反比例函数图像的性质是解题的关键． （1）将点代入反比例函数，求得；将点代入得出，再运用待定系数法求解即可； （2）即一次函数值大于反比例函数值，再观察图像、写出x的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， ∴， ∴， 将点代入，即， ∴， 将，代入，得 ，解得： ∴解析式为：． 【小问2详解】 解：∵直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于两点． ∴一次函数图像在反比例函数上方对应x的取值范围为：或． ∴关于x的不等式的解集为或． 23. 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（13≤x≤18）， （2）销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），根据坐标（14，220），（16，180）代入求值即可； （2）根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求值即可； 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），由图象可知， 当时，；当时，， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18）， 【小问2详解】 设每天所获利润为w元， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜19时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值， （元）， 答：销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元； 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 24. 如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理推理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）连接，由C是的中点求得根据等边三角形的性质得到，求得，求得得到结论； （2）根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 25. 如图，抛物线与双曲线全相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点的坐标为(一2,2),点B在第四象限内．过点B作直线BC x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍．记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式; （2）计算与的面积; （3）在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积的8倍?若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】（1），（2）15， (3) D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4） 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，从而可得出△ABC的面积．先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积； （3）先确定符合题意的△ABD的面积，从而可得出当点D与点C重合时，满足条件；当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标． 【详解】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上， ∴k=﹣4 ∴双曲线的解析式为 ∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍， ∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1 ∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0） ∴，解得： ∴抛物线的解析式为． （2）如图， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点E（），对称轴为x= ∵B（1，﹣4），∴﹣x2﹣3x=﹣4，解得：x1=1，x2=﹣4 ∴C（﹣4，﹣4） ∴S△ABC=×5×6=15， 由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2 设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）． ∴EF=．∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=． （3）S△ABE=，∴8S△ABE=15 ∴当点D与点C重合时，显然满足条件， 当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD， 其直线解析式为y=﹣2x﹣12． 令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去） 当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件 综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）． 【点睛】本题属于二次函数的综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、函数图象的交点坐标、三角形的面积公式等，熟练运用上述知识及逐步分析题目是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $