精品解析：江西省宜春市高安市教研共同体2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

初二年级随堂测试数学试卷12月 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 如果x+m与x+8的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　） A. 8 B. 8 C. 0 D. 1 4. 小李同学制作了如图所示的卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余5张 B. 够用，剩余1张 C. 不够用，缺2张 D. 不够用，缺3张 5. 如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，④ C. ①，③，④ D. ②，③，④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算__________． 8. 若，，则_____． 9. 如图，把延翻折得到，若，则______． 10. 若(x－2)和(x＋n)的乘积不含x的一次项，则n＝_______. 11. 如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是________． 12. 如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 14. 先化简，再求值：，其中 15. 如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数． 16. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 17. 请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图1中画出线段的中垂线 （2）如图2，找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 19. 如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形. （1）在图2中的阴影部分面积可表示为 ，在图3中的阴影部分的面积可表示为 ，由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是（ ） A. B. C. （2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程： 20. 如图，是的角平分线，点F，E分别在边上，且． （1）求证：； （2）如果，探究线段之间满足的等量关系，并证明． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 22. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求的面积； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级随堂测试数学试卷12月 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算后判断即可． 【详解】解：A. ，该选项计算错误； B. ，该选项计算正确； C. ，该选项计算错误； D. 等式左边不是同类项不能合并，故该选项计算错误． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的乘方，乘方的符号法则，同底数幂的乘法和合并同类项，能掌握相关运算法则，并能正确计算是解题关键． 2. 如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 3. 如果x+m与x+8的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　） A. 8 B. 8 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式可以写出题目中两个多项式的乘积，然后根据（x+m）与（x+8）的乘积中不含x的一次项，即可求得m的值． 【详解】解：（x+m）（x+8） =x2+（m+8）x+8m， ∵（x+m）与（x+8）的乘积中不含x的一次项， ∴m+8=0， 解得，m=-8， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是明确多项式乘多项式的计算方法． 4. 小李同学制作了如图所示的卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余5张 B. 够用，剩余1张 C. 不够用，缺2张 D. 不够用，缺3张 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解： ， ∵C类卡片的面积是，∴需要C类卡片的张数是13，∴C类卡片不够用，还缺3张．故选：D． 5. 如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交，过点作交于Q，交于点P，由是的角平分线，可得点C与关于对称，则即为所求． 【详解】解：如图所示：过点D作交，过点作交于Q，交于点P， 是的角平分线，， 点C与关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 6. 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，④ C. ①，③，④ D. ②，③，④ 【答案】C 【解析】 【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：①根据题意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD； ③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF， ∴∠AFC=∠ABC=60°； ④∵∠ABC=∠EBD=60°， ∴∠CBE=60°， ∵AB=BC，∠EAB=∠BCD， ∴三角形AGB≌三角形CHB， ∴GB=BH， ∴三角形BGH为等边三角形； ②设AB⊥FB，则FB⊥AD，易证△ABF≌△DBF，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故②错误； 故答案为C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断底数是否为非零数，再依据零指数幂的运算法则计算． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何不等于的数的次幂都等于， ∵， ∴， ∴． 8. 若，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算法则，准确的计算是解决本题的关键． 逆用幂的运算法则，将表示为，进而得出，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 9. 如图，把延翻折得到，若，则______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和得到，然后得到、的度数，根据解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， 故答案为：60． 10. 若(x－2)和(x＋n)的乘积不含x的一次项，则n＝_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式，进而令含x的一次项系数为0，即可求得的值． 【详解】解：∵ 又∵(x－2)和(x＋n)的乘积中不含x的一次项， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式乘法中无关类型，掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键． 11. 如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可． 【详解】解：如图，过O点分别向和作垂线，垂足分别为E和F，连接， ∵、分别平分和，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等． 12. 如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式和单项式除以单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可；灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】利用“”证明，再推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵E为等边的边上一点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 16. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 【答案】 （1）证明： ∵等边△ABD和等边△ACE ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60° ∴∠DAC＝∠EAB ∴△DAC ≌△BAE ∴DC＝BE （2）3 【解析】 【分析】⑴根据等边三角形的性质得AB=AD,AE=AC, ∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC,根据SAS证得 △ABE≌△ADC,得到DC=BE. ⑵过点A作AH⊥BC于H ，BD⊥BC，得到∠ACB=90°-∠ABD=90°-60°=30° 2AH=AB,得出AH,BC已知，根据三角形面积即可求出. 【详解】（1）略 （2） 过点A作AH⊥BC于H ∵BD⊥BC ∴∠DBC＝90° ∵等边△ABD ∴∠DBA=60° ，AB=BD=3 ∴∠ABC＝30° ∵AH⊥BC ∴AH＝ ＝ ∴△ABC的面积＝ 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质全等三角形的判定定理及性质的应用，直角三角形中，30°角对应的边是斜边的一半. 17. 请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图1中画出线段的中垂线 （2）如图2，找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所作； ∵， ∴直线是线段的中垂线． （2） 解：如图，点C即为所作； ∵， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，中垂线的判定、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）取格点，作直线即可； （2）根据等腰三角形的性质，构造边长为的线段即可找出点C； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， 又， ∴， ∴． 19. 如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形. （1）在图2中的阴影部分面积可表示为 ，在图3中的阴影部分的面积可表示为 ，由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是（ ） A. B. C. （2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程： 【答案】（1），，B；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）图2的计算方法：等于两个正方形的面积之差；图3的计算方法：等于一个长方形的面积；由图1可知，与相等，由此即可得出答案； （2）①由题（1）的结论将所求式子化成两个数之和与差的乘积即可； ②利用题（1）的结论将方程的左边进行化简，再系数化为1即可得出答案. 【详解】（1）观察图2可得： 观察图3可得： 由图1可得： 则 故答案为：，，B； （2）①由（1）可得： ； ② 整理得 系数化为1，得 故原方程的解为. 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，读懂题意，通过几何图形的面积得出平方差公式是解题关键. 20. 如图，是的角平分线，点F，E分别在边上，且． （1）求证：； （2）如果，探究线段之间满足的等量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：在上取一点M，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）． 理由如下， 由（1），， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）在上取一点M，使得，连接，则利用可得出，从而得出，即有，通过转化可证明结论； （2）由（1）的结论中得出的，结合三角形的外角可得，可将转化为，从而在线段上可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”、“作角边的垂线段”两种辅助线方法． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）将和分别看作一个整体，由可得，利用完全平方公式变形求值即可； （3）将变形为，利用完全平方公式化简为，然后利用整体代入的方法计算即可． 本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ， ， ∴原式． 22. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求的面积； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1） （2） （3） ①证明：延长，，它们相交于点，如图： 等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． 【小问2详解】 解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图： ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． 【小问3详解】 解：①略 ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图： ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $