第1章一元二次方程章节提优卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

第1章一元二次方程章节提优卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 4．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　） A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315 C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315 5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 6．若关于x的方程x2+（m+1）x0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．1 7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0； ②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是 　 　 ． 10．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　 米． 11．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 12．设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则x1+x2＝　 　 ，m＝　 　 ． 13．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　 　 秒时，S1＝2S2． 15．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　 　 ． 16．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是　 　 ． 17．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　 ． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　 （填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 评卷人 得 分 三．解答题（共11小题，共96分） 19．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值． 20．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2． （1）求m的取值范围； （2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值． 21．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 22．学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 23．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣16＝0 （2）5x2+2x﹣1＝0． 24．某病毒具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患病，求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 26．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 27．阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数转化成x的一元二次方程，得． ∵x为实数，∴Δy+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4． 根据材料给你的启示，求函数的最小值． 28．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积． 29．阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0， 解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k＜0，b＝0，即kb＝0，故D不正确； 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 4．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　） A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315 C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315 【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得： 560（1﹣x）2＝315， 故选：B． 5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7． 当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形； 当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形． ∴该三角形的周长为3+4+5＝12， 故选：B． 6．若关于x的方程x2+（m+1）x0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．1 【解答】解：由根与系数的关系可得： x1+x2＝﹣（m+1），x1•x2， 又知一个实数根的倒数恰是它本身， 则该实根为1或﹣1， 若是1时，即1+x2＝﹣（m+1），而x2，解得m； 若是﹣1时，则m． 故选：C． 7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0； ②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根． 如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0， 因此①错误； ②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1） 把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2） 把（2）式加（1）式×2得到：6a+3c＝0， 即：2a+c＝0，故正确； ③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根， 则它的Δ＝﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴必有两个不相等的实数根．故正确； ④若b＝2a+c则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2， ∵a≠0， ∴4a2+c2＞0故正确． ②③④都正确， 故选：C． 8．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根， 则a≠0且Δ＞0， 由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0， 解得a， ∵x1+x2，x1x2＝9， 又∵x1＜1＜x2， ∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0， 那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， 即91＜0， 解得a＜0， 最后a的取值范围为：a＜0． 故选D． 方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a， 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， ∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧， 当a＞0时，x＝1时，y＜0， ∴a+（a+2）+9a＜0， ∴a（不符合题意，舍去）， 当a＜0时，x＝1时，y＞0， ∴a+（a+2）+9a＞0， ∴a， ∴a＜0， 故选：D． 二．填空题（共10小题） 9．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是 　6　 ． 【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则m+n＝2，mn＝﹣1． 所以，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝2×2﹣2×（﹣1）＝6． 故答案为：6． 10．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　 米． 【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532， 整理，得x2﹣35x+34＝0． 解得，x1＝1，x2＝34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x＝1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 11．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　0　 ． 【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程， ∴， 解得m＝0． 故答案为：0． 12．设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则x1+x2＝　4　 ，m＝　3　 ． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根， ∴x1+x24，x1x2m． ∵x1+x2﹣x1x2＝4﹣m＝1， ∴m＝3． 故答案为：4；3． 13．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　3或﹣3　 ． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根， ∴（x﹣3）（x﹣2）＝0， 解得：x＝3或2， ①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3； ②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3． 故答案为：3或﹣3． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　6　 秒时，S1＝2S2． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高， ∴AD＝BD＝CD＝8cm， 又∵APt， 则S1AP•BD8t＝8t，PD＝8t， ∵PE∥BC， ∴△APE∽△ADC， ∴， ∴PE＝APt， ∴S2＝PD•PE＝（8t）•t， ∵S1＝2S2， ∴8t＝2（8t）•t， 解得：t＝6． 故答案为：6． 15．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　3　 ． 【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0． ∴10． ∴1＝0， 又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m． ∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根． ∴m2． ∴m+12+1＝3， 故答案为：3． 16．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是　3　 ． 【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根； ∴α+β＝﹣2m﹣3，α•β＝m2； ∴1； ∴m2﹣2m﹣3＝0； 解得m＝3或m＝﹣1； ∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根； ∴Δ＝（2m+3）2﹣4×1×m2＝12m+9＞0； ∴m； ∴m＝﹣1不合题意舍去； ∴m＝3． 17．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　2或﹣1　 ． 【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1， 当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0， x＝0时，不符合题意， ∴x＝2． 当x2＝1时，解得x＝1或﹣1， x＝1不符合题意， ∴x＝﹣1， 故答案为：2或﹣1． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　 （填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1，x2， 若x1＝2x2，则，2， 即，2＝0， ∴0， ∴0， ∴3b ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则，2， 即，则，20， ∴0， ∴﹣b+30， ∴b＝3， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， 故答案为：②③④ 三．解答题（共11小题） 19．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0， 解得：k， ∴实数k的取值范围为k． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1． ∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0， 解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 20．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2． （1）求m的取值范围； （2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值． 【解答】解：（1）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根， ∴Δ＝32﹣4（m﹣1）＝13﹣4m≥0， 解得：m． （2）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1． ∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0，即﹣6+（m﹣1）+10＝0， ∴m＝﹣3． 21．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【解答】解：（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）． 答：每天的销售利润为1600元． （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件， 依题意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350， 整理，得：x2﹣140x+4675＝0， 解得：x1＝55，x2＝85（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 22．学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【解答】解：设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40﹣2x）米， 依题意，得：x（40﹣2x）＝182， 整理，得：x2﹣20x+91＝0， 解得：x1＝7，x2＝13． 当x＝7时，40﹣2x＝26＞25，不合题意，舍去； 当x＝13，40﹣2x＝14＜25，符合题意． 答：活动场地的长为14米，宽为13米． 23．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣16＝0 （2）5x2+2x﹣1＝0． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣16＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4， 解得：x1＝﹣2，x2＝6； （2）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0， 则x， 即x1，x2． 24．某病毒具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患病，求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意，得：1+x+x（1+x）＝256， 解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了15个人． （2）256×（1+15）＝4096（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病． 25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x＝﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0， ∴a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形； 理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，可整理为： 2ax2+2ax＝0， ∴x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1． 26．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t， ∴St（10﹣t）（10t﹣t2）， 当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10， ∴St（t﹣10）（t2﹣10t）． （2）∵S△ABC， ∴当t＜10秒时，S△PCQ， 整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解， 当t＞10秒时，S△PCQ， 整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值）， ∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC． （3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M， 易证△APE≌△QCM， ∴AE＝PE＝CM＝QMt， ∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半． 又∵EM＝AC＝10∴DE＝5 ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 同理，当点P在点B右侧时，DE＝5 综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 27．阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数转化成x的一元二次方程，得． ∵x为实数，∴Δy+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4． 根据材料给你的启示，求函数的最小值． 【解答】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0， ∵x为实数， ∴Δ＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0， ∴y， 因此y的最小值为． 28．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积． 【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时 勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0； （2）证明：根据题意，得 Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab ∵a2+b2＝c2 ∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0 即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当x＝﹣1时，有ac+b＝0，即a+bc ∵2a+2bc＝6，即2（a+b）c＝6 ∴3c＝6 ∴c＝2 ∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2 ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab ∴ab＝2 ∴S△ABCab＝1． 29．阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则　4　 ，　14　 ，　194　 ； （2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值． 【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0， ∴x4， ∴（x）2＝16， ∴x2+216， ∴x214， ∴（x2）2＝196， ∴x42＝196， ∴x4194． 故答案为4，14，194． （2）∵2x2﹣7x+2＝0， ∴x，x2， ∴（x）（x2﹣1）（1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/3 14:56:55；用户：名思；邮箱：cskw06@xyh.com；学号：32366772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $