九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（苏科版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 一元二次方程~第4章 等可能条件下的概率 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 5．（2024·湖北·模拟预测）如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A．1.5 B．2 C． D．无法确定 6．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北·三模）为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（   ）． A． B． C． D． 8．（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 12．（2024·江苏宿迁·三模）如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °． 13．已知数据，，，的平均数为m，方差为，则数据，，，的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ． 14．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ． 15．若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为 ． 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 18．（6分）（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 19．（6分）（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 20．（8分）（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 21．（8分）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 22．（9分）（2025·吉林·模拟预测）如图所示，，为的直径，、分别交于、，连结、． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)过点作，垂足为，求证：是的切线． 23．（9分）（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 24．（10分）2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图 体育成绩频数分布表 组别 成绩（x分） 频数 频率 A 35＜x≤38 1 B 38＜x≤41 0.05 C 41＜x≤44 D 44＜x≤47 6 E 47＜x≤50 （1）在这次考察中，共调查了　 　名学生；并请补全频数分布直方图； （2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？ （3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下： 李杰成绩（个/分） 170 175 180 190 195 次数 1 1 3 2 3 陈亮成绩（个/分） 165 180 190 195 200 次数 2 2 3 2 1 则李杰10次成绩的中位数是　 　；陈亮10次成绩的众数是　 　，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．    25．（10分）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式，得出，再进行计算判断即可． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以且， ∴， 当时，，故选项A不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内角和与外角定理，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理得，，得到，推出，根据三角形的外角定理求出，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解： 为的直径，且于点， ，， ， ，即， ， 设与交于点G， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 4．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 5．（2024·湖北·模拟预测）如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A．1.5 B．2 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理、垂径定理以及三角形中位线定理来求解的长度． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，， ∵是直径， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的判定及性质、垂径定理以及三角形中位线定理，熟练掌握这些定理并能灵活运用是解题的关键． 6．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 7．（2024·湖北·三模）为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率问题，掌握列举法是解题的关键． 根据题意，列举出所有的情况，根据题意计算概率即可． 【详解】根据题意，不妨设七年级两名学生为，八年级两名学生为， 则就坐的情况与位置1，2，3，4对应的有： ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； 总共有24种情况，七年级两名同学均与校长相邻，即在2,3号位置的有4种， 所以七年级两名同学均与校长相邻的概率． 故选：C． 8．（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于，，可得为等边三角形，，求解；再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于， ∵由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由等边三角形的性质可得：，，而， ∴，， ∴， ∴； ∴的长； 故选：A 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关键. 9．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图1，连接，由题意可知，点是的内心，由为直径，可得，进而可得为定值，所以点的轨迹为一段弧，如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，可证，根据对角互补的四点共圆，可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，设，则，进一步可算出点的运动路径为，由图2可知，点的运动轨迹为，可算出点的运动路径为，最后计算比值即可得解． 【详解】解：如图1，连接， 点是和的角平分线的交点， 点是的内心， 平分， 为直径， ， ， 为定值， 点的轨迹为一段弧， 此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上， 如图2，过圆心作，连接，， 设，则， 为直径， ， 平分， ， ，　　 ， 如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，， 是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角， ， ， ， 点，，，，四点共圆， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为， 点的运动路径为， 由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为， 点的运动路径为， 点和点的运动路径比为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 12．（2024·江苏宿迁·三模）如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．已知数据，，，的平均数为m，方差为，则数据，，，的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ． 【答案】 ks 【分析】根据平均数、方差、标准差的定义列式计算即可． 【详解】数据，，，的平均数为m，方差为， ，， ， 数据，，，的平均数为， 数据，，，的方差为，标准差为． 故答案为；；ks． 【点睛】本题考查了平均数、方差、标准差，熟记平均数、方差、标准差的定义是解题的关键． 14．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ． 【答案】8.8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；连接．由垂径定理得，结合，得M，N，O三点共线，由勾股定理求得的长，从而求得的长，再代入弧长l的近似值计算公式即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵点N是的中点， ∴， 又∵， ∴M，N，O三点共线， ∵， ， ， ， ； 故答案为：8.8． 15．若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为 ． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴由根与系数的关系得：，；，；…，； ∴原式 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】本题考查的知识点有圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理．通过连接辅助线，利用圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等判定以及勾股定理，逐步推导得出线段的长度． 【解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（6分）（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)无整数根，见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根，理由如下： 假设有整数根， 若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3）解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，    ∴，， ∴． 19．（6分）（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 20．（8分）（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， 补全条形统计图如下： （2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为：； （3）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 21．（8分）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；任务2：下调后每辆汽车的售价为万元 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,根据某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，3月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】任务1：解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x, 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得：， 解得：，， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 22．（9分）（2025·吉林·模拟预测）如图所示，，为的直径，、分别交于、，连结、． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)过点作，垂足为，求证：是的切线． 【答案】(1)相等，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，则，根据等腰三角形的性质得到，进而得出得到，即可得解； （2）连接，先由圆周角定理证明，由垂径定理的推论得到，则，故是的切线． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ， ， ； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∵为半径， ∴， ∴， ∴是的切线． 23．（9分）（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) ； 或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意， ， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 24．（10分）2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图 体育成绩频数分布表 组别 成绩（x分） 频数 频率 A 35＜x≤38 1 B 38＜x≤41 0.05 C 41＜x≤44 D 44＜x≤47 6 E 47＜x≤50 （1）在这次考察中，共调查了　 　名学生；并请补全频数分布直方图； （2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？ （3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下： 李杰成绩（个/分） 170 175 180 190 195 次数 1 1 3 2 3 陈亮成绩（个/分） 165 180 190 195 200 次数 2 2 3 2 1 则李杰10次成绩的中位数是　 　；陈亮10次成绩的众数是　 　，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．    【答案】（1）60，直方图见解析；（2）550；（3）185，190，李杰平均成绩185，方差55，陈亮平均成绩185，方差135，应派李杰参赛 【分析】（1）根据38＜x≤41的频数和频率求出总人数，再用总人数减去其他段的人数求出41＜x≤44的人数，从而补全统计图； （2）用总人数乘以体考成绩满分的人数所占的百分比即可； （3）根据中位数、众数、平均数以及方差的计算公式分别进行计算，然后再进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）共调查的学生数是：3÷0.05＝60（名）， 41＜x≤44的人数有：60﹣1﹣3﹣6﹣45＝5（名）， 补图如下：    （2）根据题意得： 1100×＝550（名）， 答：估计该年级体考成绩满分的总人数约有550名； （3）李杰10次成绩的中位数是＝185； 陈亮10次成绩的众数是190； 李杰10次成绩的平均成绩是：＝185， 李杰10次成绩的方差是： [（170﹣185）2+（175﹣185）2+3（180﹣185）2+2（190﹣185）2+3（195﹣185）2]＝55； 陈亮10次成绩的平均成绩是：＝185， 陈亮10次成绩的方差是： [2（165﹣185）2+2（180﹣185）2+3（190﹣185）2+2（195﹣185）2+（200﹣185）2]＝135； 两位同学的平均成绩一样，但李杰的方差小于陈亮的方差， 所以应派李杰参赛； 故答案为：185，190． 【点睛】此题考查了众数、中位数、平均数、方差以及用样本估计总体等知识点，熟练掌握各个知识点是解题的关键，同时也考查了统计表． 25．（10分）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 (3)①见解析；②不成立，；③不成立 【分析】(1)通过平行线性质可得，，又因为，进而得到，根据圆的性质可证明点是弧的中点； (2)根据角度关系可得是等边三角形，从而得到，结合判定四边形是平行四边形，又，进而确定平行四边形是菱形； (3)利用平行线性质可得，又因为，所以，再利用三角形外角性质确定角之间的数量关系即可得出结论． 【详解】（1）如图，连接， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （2）当时，四边形是菱形， 证明如下： 如图，连接，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）证明：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ； ②当在的内部时，①的结论不成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， 故当在的内部时，①的结论不成立； ③当在的右侧时，①或②中的结论都不成立，理由如下： 如图：设与的延长线交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 是的直径， ， ， ， ， 综上所述，当在的右侧时，①或②中的结论都不成立． 【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中弧与圆心角的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、菱形的判定等知识，有一定的综合性，运用平行线的性质及三角形外角的性质（或三角形内角和定理）是解决本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $