专题04 二次根式（3知识&12题型&4易错&4方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学二次根式专题清单全面梳理了二次根式的核心内容，涵盖概念性质、最简与同类二次根式、运算三大知识范畴，搭建了从基础定义到运算技巧再到综合应用的递进式学习架构，包含3知识清单、12类题型、4易错点及4方法清单。 清单采用“知识清单+题型分层+方法总结”的体系，如将“二次根式有意义的条件”标注为基础重点，“阅读理解题”融入《九章算术》面积计算实例，培养运算能力和推理意识。特别设计“易错点警示”和“方法清单”，帮助学生自主辨析易混概念，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

专题04 二次根式（3知识&12题型&4易错&4方法清单） 【清单01 二次根式】 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有 ；（2）被开方数必须是 . 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为 ，即； ②二次根式无意义：被开方数为 ，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质： （） ③二次根式的性质： 【清单02 最简二次根式与同类二次根式】 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数 （2）被开方数中 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后 的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把 ，合并的依据式乘法分配律，如 【清单03 二次根式的运算】 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ② ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ① ：将各个二次根式化成最简二次根式； ② ：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③ ：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数， 。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样： ，有括号的先算 （或先去掉括号） 【题型一 二次根式的概念】 1．下列式子一定是二次根式的（    ） A． B． C． D． 2．下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 求二次根式的值】 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 6．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【题型三 求二次根式中的参数】 7．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 8．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 9．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【题型四 二次根式有意义的条件】 10．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【题型五 利用二次根式的性质化简】 13．若，则（） A． B． C． D． 14．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 15．【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【题型六 最简二次根式】 16．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 17．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 18．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【题型七 二次根式的混合运算】 19．计算： (1)； (2) 20．计算： (1) (2) (3) (4) 21．计算：． 【题型八 分母有理化】 22．善于思考的小秦在解“已知，求的值”时，是这样分析与解题的． 因为， 所以， 所以，即， 所以 请你根据小秦的解题过程，完成下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 23．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 24．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【题型九 同类二次根式】 25．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 26．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 27．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【题型十 比较二次根式的大小】 28．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 29．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 30．【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【题型十一 二次根式的应用】 31．阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 32．初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 33．阅读材料：已知的三边长分别为，，，设为的面积，则，其中，． 请根据上面的阅读材料，解答下面的问题： 王大爷承包了一块三角形田地，其三边长分别为，，．若每亩的承包价格为元，则王大爷应支付多少元的承包费？（注：，亩，结果取整数） 【题型十二 二次根式的化简求值问题】 34．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 35．在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 36．阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【题型一 复合二次根式的化简问题】 37．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 38．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 39．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【题型二 分母有理化问题】 40．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 41．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 42．【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 (1)化简：①______， ②______； (2)已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 【题型三 二次根式混合运算问题】 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 44．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 45．计算： (1) (2) 【题型四 二次根式的规律计算】 46．阅读： ； ； (1)归纳：_______，_______（n为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 47．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，回答以下问题 (1)请写出第7个等式______； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式（用含n的等式表示），并利用上述规律计算． 48．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【题型一 二次根式的化简问题】 49．解下列各题． (1)已知，求的平方根； (2)已知，求代数式的值． 50．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 51．先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． (2)利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． (3)应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 【题型二 分母有理化】 52．【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简，解：． 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按上述规律，回答以下问题： (1)化简的结果为__________； (2)请写出第个等式：__________； (3)求的值． 53．数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 54．在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括本身），简称取整，记为：这里，，其中是一个整数，，称为实数的小数部分，记作，所以有．例如，，．关于取整运算有部分性质如下： ； 若为整数，则； 请根据以上材料，解决问题： (1) ； ； (2)若，，求的值； (3)记，求． 【题型三 二次根式的整体思维】 55．请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 56．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 57．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 【题型四 二次根式的新定义运算】 58．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 59．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为： ，可以有效去地掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ，又因为，所以． (1)已知：，则的值是 ； (2)计算：． 60．阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如： ， 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： __________，__________； (2)比较大小：__________（填，或） (3)定义：两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于2的“友好二次根式”，求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式（3知识&12题型&4易错&4方法清单） 【清单01 二次根式】 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 【清单02 最简二次根式与同类二次根式】 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单03 二次根式的运算】 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型一 二次根式的概念】 1．下列式子一定是二次根式的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义．根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：当时，，无意义； B：，故一定是二次根式； C：是方程，不是二次根式； D：是方程，不是二次根式． 故选：B． 2．下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 3．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 【题型二 求二次根式的值】 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 5．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 6．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 【题型三 求二次根式中的参数】 7．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 8．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 9．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 【题型四 二次根式有意义的条件】 10．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，没有意义，不符合题意； B、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D、当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选：D． 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分母不为零的条件．根据二次根式有意义的条件和分母不为零的条件，可知被开方数必须大于零． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义，需满足分母，且被开方数必须大于或等于零．但由于分母不为零，因此被开方数必须大于零． 解不等式，得，即． 故答案为：． 12．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 【题型五 利用二次根式的性质化简】 13．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 14．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故答案为：． 15．【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 【题型六 最简二次根式】 16．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； ∵ B、，被开方数4是完全平方数，可化简，不是最简二次根式； ∵ C、是最简二次根式； ∵ D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 17．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 18．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 【题型七 二次根式的混合运算】 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）按顺序根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）先分别化简每个二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3)2 (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）根据求解； （2）先利用二次根式性质化简，再合并同类二次根式； （3）先利用二次根式性质化简，合并同类二次根式，再计算二次根式的乘法； （4）先利用二次根式性质化简，合并同类二次根式，再计算二次根式的除法． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． 根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型八 分母有理化】 22．善于思考的小秦在解“已知，求的值”时，是这样分析与解题的． 因为， 所以， 所以，即， 所以 请你根据小秦的解题过程，完成下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查分母有理化，二次根式化简求值： （1）先根据分母有理化计算出，代入求值即可； （2）先根据分母有理化计算出，进而计算出，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 即， ， 原式 23．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)4 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理化，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ； （4） ． 24．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 【题型九 同类二次根式】 25．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列方程求解． 根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程：， 解得：， 验证：当时，，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意． 故选：B． 26．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 27．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【题型十 比较二次根式的大小】 28．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 29．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 30．【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 【题型十一 二次根式的应用】 31．阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 【答案】(1)， (2)当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米 (3)当时，代数式取最大值，最大值为 (4)或 【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： （2）设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； （3）， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． （4） 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 32．初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用；将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ∴ = ， ∴ ； ∴的面积为． 33．阅读材料：已知的三边长分别为，，，设为的面积，则，其中，． 请根据上面的阅读材料，解答下面的问题： 王大爷承包了一块三角形田地，其三边长分别为，，．若每亩的承包价格为元，则王大爷应支付多少元的承包费？（注：，亩，结果取整数） 【答案】王大爷应支付元的承包费． 【分析】本题主要考查二次根式的应用，由题意得设，，，面积为，求出，然后代入，然后列出算式，求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得设，，，面积为， ∴， ， ， ∴王大爷应支付承包费：（元）， 答：王大爷应支付元的承包费． 【题型十二 二次根式的化简求值问题】 34．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 35．在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 36．阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 【题型一 复合二次根式的化简问题】 37．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 38．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 39．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）得到新正方形花圃面积为，根据题意计算边长即可； （3）将转化为，计算即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 【题型二 分母有理化问题】 40．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）先分母有理化得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：（答案不唯一） （2）解：∵，， 而， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 41．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是分母有理化的应用、实数的大小比较、二次根式有意义的条件，解题关键是根据分母有理化理解分子有理化的方法． （1）根据题意进行分子有理化即可得解； （2）先根据材料分别给和分子有理化，然后再进行比较即可； （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后对无理数部分分子有理化，求最大值即可． 【详解】（1）解：依题得：， 故答案为：； （2）解：， ， 而， ， ； （3）解：，， ， ， 当时，分母有最小值， 有最大值是． 42．【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 (1)化简：①______， ②______； (2)已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 【答案】(1)①  ② (2)；；56 【分析】本题主要考查分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算，即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①② （2）解：， ， ∴， ∴． 故答案为：；． 【题型三 二次根式混合运算问题】 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3)； (4)． 【分析】（1）分别计算算术平方根、平方根、立方根，再进行加减运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算； （3）先化简绝对值、二次根式、立方根，再进行加减运算； （4）分别计算乘方、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算（包括根式运算、乘方运算、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简等），二次根式的混合运算，熟练掌握实数的运算规则和公式（平方差、完全平方）是解题的关键． 44．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）先分母有理化，再和并即可求解． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解： 45．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法，平方差公式，再化简二次根式，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型四 二次根式的规律计算】 46．阅读： ； ； (1)归纳：_______，_______（n为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)2112 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的大小比较，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）分别对分母和分子乘以，，再利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算； （3）先分母有理化，再比较大小即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 47．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，回答以下问题 (1)请写出第7个等式______； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式（用含n的等式表示），并利用上述规律计算． 【答案】(1) (2) ， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，解答本题的关键是写出第n个等式． （1）观察可知两个连续的正整数的算术平方根的和的倒数等于较大的数的算术平方根减去较小的数的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）所求可得第n个等式，进而根据规律计算求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ......， 以此类推可得，第n个等式：， ∴第7个等式：； （2）解：由（1）可得， ∴ ． 48．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 【题型一 二次根式的化简问题】 49．解下列各题． (1)已知，求的平方根； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式的化简求值，解题关键是利用二次根式的被开方数非负确定未知数的值，通过代数式变形（降幂）简化求值过程． （1）根据二次根式被开方数非负，求出x的值，代入得y，计算后求平方根． （2）由变形得，两边平方得到降幂式，代入代数式逐步化简求值． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， 的平方根为． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 50．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 51．先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． (2)利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． (3)应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，能够对被开方数进行分类讨论是解题关键； （1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果； （2）①根据（1）中结论进行化简即可；②先将被开方数化为完全平方式，再根据（1）中结论得结果； （3）根据（1）得： ，然后分三种情况讨论即可求答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：①， ②， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （3）解：∵， ①当时，， ∴原式； ②当时，， ∴原式； ③当时，， ∴原式， ∴综上， 【题型二 分母有理化】 52．【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简，解：． 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按上述规律，回答以下问题： (1)化简的结果为__________； (2)请写出第个等式：__________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化和规律探究，解题的关键是根据材料中的方法进行分母有理化，并找出规律进行计算． （1）利用分母有理化的方法化简； （2）分析前几个等式的规律，得出第个等式； （3）利用规律将各项展开，进行抵消计算． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： 观察已知等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 由此可推出，第个等式为： 故答案为：； （3）解： 由（2）可知，则： ． 53．数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）分母有理化即可； （2）分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 54．在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括本身），简称取整，记为：这里，，其中是一个整数，，称为实数的小数部分，记作，所以有．例如，，．关于取整运算有部分性质如下： ； 若为整数，则； 请根据以上材料，解决问题： (1) ； ； (2)若，，求的值； (3)记，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义求出、的值，再代入代数式求解即可； （3）先进行分母有理化，找出无理数的取值范围，再根据定义求解即可． 【详解】（1）解：，， ；； 故答案为：；； （2）解：， ，， ； （3）解： ， ， ， ， ． 【题型三 二次根式的整体思维】 55．请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 56．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化、完全平方公式、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 根据分母有理化得到，再仿照题目的方法解决问题即可． 【详解】解：， 得， 则， 即， ∴， ∴． 57．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 【答案】(1)；10 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和整体思想，掌握二次根式的混合运算，特别是分母有理化的方法是解题的关键． （1）采用分母有理化，结合二次根式的混合运算的法则，计算即可； （2）先利用分母有理化，结合二次根式的混合运算化简a和b，再利用完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ； ， =10． 故答案为：；10； （2）， ， ， 即 ， 又m是正整数，， ∴， ∴， ∴． 【题型四 二次根式的新定义运算】 58．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 59．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为： ，可以有效去地掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ，又因为，所以． (1)已知：，则的值是 ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． （1）仿照例题，列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ， 又， ∴； ∵， ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． （2）解： ． 故答案为：． 60．阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如： ， 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： __________，__________； (2)比较大小：__________（填，或） (3)定义：两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于2的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可求解． （2）先分母有理化，再比较大小即可求解． （3）由新定义可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：； ； 而， ∴． （3）解：∵与是关于2的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $