第十五章 二次根式（知识清单）数学新教材冀教版八年级上册

第十五章 二次根式 知识点一、二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有 ；（2）被开方数必须是 . 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为 ，即； ②二次根式无意义：被开方数为 ，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质： （） ③二次根式的性质： 知识点二、最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数 ，（2）被开方数中 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后 的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把 ，合并的依据式乘法分配律，如 知识点三、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ② ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ① ：将各个二次根式化成最简二次根式； ② ：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③ ：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样： ， ， ，有括号的先算 （或先去掉括号） 易错点1 利用二次根式的性质化简 易错总结：忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根式性质的运用条件把握不准。 注：化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 例1（24-25八年级上·河北廊坊·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，化简：． 易错点2 复合二次根式的化简 易错总结：一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底， 或者在开方运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。 注：化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。 例1（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 例2（24-25八年级上·河北唐山·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 易错点3 与二次根式运算有关的新定义型题 易错总结：一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，却按常规四则运算顺序进行计算 。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定义运算，导致结果错误。 注：拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。 例1（24-25八年级上·河北沧州·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 例2（24-25八年级上·河北保定·期中）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 易错点4 与二次根式运算有关的规律题 易错总结：其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二， 没有深入分析数字或式子结构的特征，忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。 注：尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。 例1（24-25八年级上·河北唐山·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． （24-25八年级上·河北邯郸·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： (1)化简： ． (2)化简： ；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 1．（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）若最简二次根式与能合并，则的值是(    ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北·阶段练习）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 6．（25-26八年级上·河北·期中）若有意义，则x的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若，且，整数a的值可以是 ．（写出一个即可） 8．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知x为正整数，是整数，可根据，得到x的最小值为10．设y为正整数，若是比1大的整数，则y的最大值与最小值的差为 ． 9、（24-25八年级下·河北廊坊·期末）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 10．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 11．（2025八年级上·河北·专题练习）计算 (1) (2) 12．（25-26八年级上·河北·阶段练习）下面是嘉嘉在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 　　　　　第二步 ．　　　　　　　　　第三步 (1)计算步骤中，第　　　　　　步开始出现错误． (2)请写出正确的计算过程． 13．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）据研究，高空抛下的物体下落的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）近似满足公式（不考虑其他因素的影响）． (1)小区居民楼每层高度近似3 m，从21层楼（按20个层高计算）高空抛物到落地所需时间是_________s，从11层楼（按10个层高计算）高空抛物到落地所需时间是________s；（结果保留根号） (2)是的多少倍？ 14．（24-25八年级下·广东·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 15．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 16．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）观察下列计算： ； ； ； … 则： (1)________，________； (2)利用你发现的规律计算：的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 二次根式 知识点一、二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 知识点二、最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点三、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 易错点1 利用二次根式的性质化简 易错总结：忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根式性质的运用条件把握不准。 注：化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 例1（24-25八年级上·河北廊坊·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把式子化为，再根据二次根式的性质得出，求出即可． 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，，当时， 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 例2（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简，先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】 故答案为：． 易错点2 复合二次根式的化简 易错总结：一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底， 或者在开方运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。 注：化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。 例1（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 例2（24-25八年级上·河北唐山·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 易错点3 与二次根式运算有关的新定义型题 易错总结：一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，却按常规四则运算顺序进行计算 。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定义运算，导致结果错误。 注：拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。 例1（24-25八年级上·河北沧州·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由定义， ∴ 故选：C． 例2（24-25八年级上·河北保定·期中）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 易错点4 与二次根式运算有关的规律题 易错总结：其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二， 没有深入分析数字或式子结构的特征，忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。 注：尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。 例1（24-25八年级上·河北唐山·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． （24-25八年级上·河北邯郸·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： (1)化简： ． (2)化简： ；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： 1．（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，首先根据二次根式的除法法则把二次根式整理可得：，再把等式两边同时平方即可求出结果． 【详解】解：， 根据二次根式的除法法则可得： 化简得：， 两边同时乘以可得：， 两边同时平方可得：． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）若最简二次根式与能合并，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解. 【详解】解：最简二次根式与能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：， ∴，即， ∴ 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与有理数，二次根式的化简，由数轴可得，即得，进而根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级下·河北·阶段练习）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，新定义，按照新定义，逐一判断即可，能理解题意熟练计算解此题的关键． 【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； C、， ， ， 与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； D、， ， ， 故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意， 故选：D． 6．（25-26八年级上·河北·期中）若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题关键． 要使分式有意义，需同时满足二次根式的被开方数非负且分式的分母不为零两个条件，分别求解后取公共部分即可． 【详解】解：要使 有意义，需满足以下条件： 1． 分母 ，即 ； 2． 根号内的表达式 ，解得 ； 综上，x 的取值范围为 且 ． 7．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若，且，整数a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据题意取合理的值即可． 【详解】解：由题意可得， 又， 所以可取， 此时，， 即成立， 故整数a的值可以是， 故答案为：1（答案不唯一） 8．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知x为正整数，是整数，可根据，得到x的最小值为10．设y为正整数，若是比1大的整数，则y的最大值与最小值的差为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．根据y为正整数， 是大于1的整数，先求出y的值可以为3、12、75，再求出结果即可． 【详解】解：∵，是大于1的整数， ∴． ∵y为正整数 ∴y的值可以为3、12、75， y的最小值是3，最大值是75， ∴y的最大值与最小值的差为． 故答案为：72． 9、（24-25八年级下·河北廊坊·期末）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根，仿照阅读材料利用完全平方公式将写成，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 11．（2025八年级上·河北·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）去括号，合并同类二次根式即可； （2）先化简绝对值，进行乘方和乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·河北·阶段练习）下面是嘉嘉在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 　　　　　第二步 ．　　　　　　　　　第三步 (1)计算步骤中，第　　　　　　步开始出现错误． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】（）根据二次根式的性质判断即可； （）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的减法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：计算步骤中，第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）据研究，高空抛下的物体下落的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）近似满足公式（不考虑其他因素的影响）． (1)小区居民楼每层高度近似3 m，从21层楼（按20个层高计算）高空抛物到落地所需时间是_________s，从11层楼（按10个层高计算）高空抛物到落地所需时间是________s；（结果保留根号） (2)是的多少倍？ 【答案】(1)； (2)是的倍 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握运算法则是关键． （1）根据所给公式代值计算即可； （2）根据（1）的计算结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解： ∴是的倍． 14．（24-25八年级下·广东·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 15．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【详解】（1）长方形的周长 ， 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积 ， （元）， 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元． 16．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）观察下列计算： ； ； ； … 则： (1)________，________； (2)利用你发现的规律计算：的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据所给式子，观察可得答案； （2）利用得到的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $