专题08 随机事件的概率（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理随机事件的概率核心考点，涵盖事件类型判断、概率计算、求概率方法及频率与概率关系，明确复习目标与考情规律，构建清晰知识脉络，突出确定性事件与随机事件的界限等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如几何概率题（飞镖落在阴影区域概率）培养几何直观，统计与概率综合题（结合条形图求抽取两人概率）发展数据意识，基础通关与重难突破练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用数学思维解决实际问题的能力。

专题08 随机事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件类型的判断 能准确区分三类事件，明确确定性事件（必然、不可能）与随机事件的界限，掌握各类事件的概率取值范围 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错点是混淆“随机事件”与“确定事件”，误将大概率事件当作必然事件 概率的定义与基本计算 能理解概率的本质是事件发生可能性的数值刻画，熟练运用公式（为总结果数，为事件包含的结果数）计算简单等可能事件的概率 核心基础考点，覆盖选择、填空、解答题；；命题趋势是结合摸球、掷骰子等简单场景考查计算，难度中等 求概率的常用方法 能根据试验涉及的因素个数选择合适方法：因素1个用列举法，因素2个用列表法，因素3个及以上用树形图法，确保不重不漏列出所有等可能结果 重点高频考点，解答题必考；命题趋势是结合实际情境考查，分值4-6分，难度中等 频率与概率的关系 能理解频率是试验中事件出现的比值，概率是频率稳定的常数，会根据大量重复试验的频率估计事件的概率 中档考点，多为选择、填空题；命题趋势是结合试验数据（表格形式）考查频率计算与概率估计，难度不大 知识点01 事件类型 1.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 2.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 3.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即(必然事件)； ②不可能事件发生的概率为0,即（不可能事件）； ③如果为不确定事件，那么 知识点02 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率. （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值. 2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1; （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个; （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等; （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0; （5）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得.但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法; （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用; （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用. 知识点03 频率与概率 1.频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数. 2.频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率. 3.一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么，这个常数就叫作事件的概率，记为. 题型一 事件的判断 【例1】下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．抛一枚硬币，前2次都是反面，第3次是正面 B．掷一枚骰子，朝上那面出现的点数是7点 C．太阳从东方升起 D．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 【答案】A 【分析】 【详解】A中抛硬币每次结果独立，第3次正面可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； B中骰子点数只有，不可能出现7点，是不可能事件，不符合题意； C中太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D中三边长度，，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），是必然事件，不符合题意； 属于随机事件的是A， 故选A． 【例2】下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行 B．李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖 C．李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【分析】 【详解】解：对于A，两条直线可能相交或平行，是随机事件，故不符合题意； 对于B，买彩票中奖，是随机事件，故不符合题意； 对于C，经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故不符合题意； 对于D，任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，故符合题意． 故选：D． 【变式1-1】下列事件中，不可能事件是（    ） A．任意画一个圆，它是轴对称图形 B．从只有黑球的袋子中摸出白球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．买一张电影票，座位号是奇数 【答案】B 【分析】 【详解】解：A．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，不符合题意； B．从只有黑球的袋子中摸出白球，是不可能事件，符合题意； C．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D．买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 【答案】B 【详解】解：A项硬币受重力作用必然落下，是确定性事件； C项地球自转方向固定使太阳必然从东边升起，是确定性事件； D项袋中全为白球，摸出白球必然发生，是确定性事件； B项打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他，为不确定事件； 故选：B． 【变式1-3】下列事件是随机事件的是（    ） A．光发生反射时，反射角大于入射角 B．太阳每天从东边升起，从西边落下 C．小亮同学默写《酬乐天扬州初逢席上见赠》一次就能全部写对 D．把生鸡蛋放到显微镜下，放大后就能看到叶绿体 【答案】C 【详解】解：A、光发生反射时，反射角大于入射角是不可能事件； B、太阳每天从东边升起，从西边落下是必然事件； C、小亮同学默写《酬乐天扬州初逢席上见赠》一次就能全部写对是随机事件； D、把生鸡蛋放到显微镜下，放大后就能看到叶绿体是不可能事件． 故选：C． 题型二 利用概率公式计算简单事件的概率 【例3】2025年春节档有五部影片上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这五部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵总共有5部影片，每部影片被选中的可能性相等，且《哪吒之魔童闹海》是其中1部， ∴ 选到《哪吒之魔童闹海》的概率为， 故选：A． 【例4】不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ． 【答案】 【详解】解：袋中总球数为，红球有个, 因此摸出红球的概率为 故答案为：． 【变式2-1】某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【答案】2 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 【变式2-2】在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有 个球． 【答案】 【详解】解：∵摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球， ∴从袋子中任意摸出1个球，是带记号的小球的概率约为， 则可以估计这个袋子中一共大约个球． 故答案为：． 【变式2-3】一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 【答案】20 【分析】 【详解】解：从袋中随机摸出一个球是红球的概率为， 从袋中随机摸出一个球是白球的概率为， 总数为， 袋中白球的个数是． 故答案为：． 题型三 几何概率 【例5】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形镖盘的边长为， 圆的直径为正方形的边长，即直径为， 如图， 连接，， ， 阴影部分的面积为：， 故飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 【例6】如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：∵图中6个扇形的面积相等， ∴随机投掷飞镖落在阴影部分的概率 故答案为： 【变式3-1】小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除以总面积即可． 解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， ∴小明掷在空白区域的概率是． 故选：A． 【变式3-2】如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是， 故选：C． 【变式3-3】如图，现有甲、乙、丙、丁四个转盘，若转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是________，试说明理由． 【答案】丁，见解析 【详解】解：根据题意，，，，， ， 转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是丁． 故答案为: 丁． 题型四 列举法或树状图求概率 【例7】一个纸盒里装有除颜色外其他都一样的红球和绿球各1个，随机从中摸出一球，记下颜色后放回盒中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有四种等可能性的结果数，其中两次都摸到绿球的结果数有1种， ∴两次都摸到绿球的概率为， 故选：D． 【例8】某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率． 【答案】 【分析】 【详解】解：画出树状图， 共有9种情况，其中甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”有4种， 所以甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率为． 【变式4-1】周五放学，甲，乙，丙三人想去学校附近的肯德基，麦当劳吃晚饭，且每人去每家店的可能性相同，求三人恰巧走进同一家快餐店的概率． 【答案】 【详解】解：假设肯德基记为，麦当劳记为， 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名同学去同一个餐厅用餐的结果为2种， ∴ 甲、乙、丙三名学生去同一个餐厅的概率为． 【变式4-2】近年来，漳州充分挖掘漳州非遗文化，不断推陈出新，着力打造文化旅游“金字招牌”，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品．小华在漳州旅游时购买了四件文创产品：A．木版年画，B．漳浦剪纸， C．棉花画， D．八宝印泥．她让好友晶晶和萱萱分别选一件作为礼物．晶晶和萱萱不知如何选择，于是决定抓阄：将四张完全一样的纸片分别写上A、B、C、D，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，晶晶先从这4个纸团中随机抽取一个，搅匀后，萱萱再从剩下的3个纸团中随机抽取一个． (1)晶晶抽到棉花画的概率是___________； (2)利用画树状图或列表法求晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：共有四件文创产品，晶晶抽到棉花画的概率即为； （2）解：根据题意列表，所有可能出现的结果如下： A B C D A B C D 共有12 种可能出现的结果，每种情况可能性相等，其中晶晶和萱萱有一人抽到抽到木版年画，即包括的结果有6种，所以晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率为． 【变式4-3】如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道． (1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）； (2)求小明从中间通道进入A密室的概率． 【答案】(1)进入密室的可能性较大；理由见解析； (2)从中间通道进入密室的概率为． 【分析】 【详解】（1）解：画出树状图得： 由图可知，小明进入密室后一共有6种不同的可能路线， 因为小明是任选一条道路， 所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入密室的有2种可能，进入密室的有4种可能， 所以进入密室的可能性较大； （2）由（1）可知小明进入密室的通道分别是中入口和右入口， 因此从中间通道进入密室的概率为． 题型五 用频率估计概率 【例9】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【例10】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【答案】(1) (2)白球的个数为个 【分析】 【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右， 估计该盒子里摸到白球的概率为， 盒子里白球约有（个）． 【变式5-1】某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数的增加，成活率逐渐稳定在左右， 因此估计这一类新品种脐橙树成活的概率为． 故选：D． 【变式5-2】在一个不透明的口袋中，装有红球和蓝球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到蓝球的频率是0.6，则口袋中大约有红球 个． 【答案】 8 【详解】解：∵摸到蓝球的频率是0.6， ∴摸到蓝球的概率约为0.6. ∴蓝球的个数为（个）. ∴红球的个数为（个）． 故答案为：8． 【变式5-3】下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 题型六 概率在抽奖中的应用 【例11】端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 【例12】“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 【变式6-1】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 【变式6-2】某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 【答案】(1) (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是 (3)还需要将个无色扇形涂成黄色 【分析】 【详解】（1）解：， 答：他获得购物券的概率是； （2）解：他得到100元购物券的概率是， 他得到50元购物券的概率是， 他得到20元购物券的概率是， 答：他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是； （3）解：设还需要将个无色扇形涂成黄色， 根据题意得：， 解得：， 答：还需要将个无色扇形涂成黄色． 【变式6-3】一只不透明的袋中装有1个白球和3个红球，每个球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到球的颜色吗？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率较大？ (3)为了估计摸到白球的概率，小明采用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同（提示：在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数）． 【答案】(1)不能 (2)红球 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：摸到球的颜色有两种可能性，故不能确定摸到球的颜色； （2）解：∵不透明的袋中装有1个白球和3个红球， ∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， ∴摸到红球的概率较大； （3）解：如图所示： 白色区域占比， ∴指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同． 题型七 统计与概率的综合 【例13】南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． (3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 【答案】(1)补全的条形统计图见详解 (2)32，72 (3)列表见详解，所抽取的两人恰好是两名男生的概率为 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， 如图所示： （2）解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：32，72． （3）解：由题意知，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴共有12种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名男生的情况有2种， ∴所抽取的两人恰好是两名男生的概率为． 【例14】为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生有___________人，补全统计图（要求在条形图上方注明人数）； (2)图中扇形的圆心角度数为___________； (3)若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数； (4)计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 【答案】(1)，补全统计图见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】 【详解】（1）解：参与此次抽样调查的学生有（人）， ∴喜爱项活动的人数为：（人）， 补全统计图如图所示： （2）解：， 故答案为：； （3）解：（人）． 答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数为； （4）解：画树状图如图， 共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种， ∴恰好选中，这两项活动的概率为． 【变式7-1】2022年9月16日为全国料普日，太原植物园开启了为期三天的科普嘉年华活动嘉年华，设置了“科普展区”“科普沙龙”两个主题板块某校同学参加了此活动，并在活动后进行了知识竞赛 (1)在科普知识竞赛后，该校为了调查学生对科普知识的了解程度，随机抽取了该校的部分学生的竞赛成绩（成绩分为A，B，C，D四个等级），并将竞赛成绩绘制成如图所示的两幅不完整的统计图根据统计图提供的信息，解答下列问题： ①此次调查随机抽取了该校______人的竞赛成绩，并将条形统计图补充完整； ②图2中，扇形B的圆心角为_________度： ③已知该校共有1500名学生，估计该校成绩为A等级的学生的有__________人 ④请根据调查结果给出一条合理化建议：___________________________________ (2)老师准备让竞赛成绩优秀的善思组”和“勤学组”分享参与“科普沙龙”活动的体会，通过抽取卡片的方式确定分享主题将此次嘉年华“科普沙龙”板块中的4个主题：A《人工智能科普沙龙一和机器人做朋友》，B《眼健亲科普沙龙一“小眼睛大世界”眼健康科普》，C《航空科普沙龙一一“凡心宏志，梦筑长空”航空科普小课堂》，D《人工智能科普沙龙一一智创编程强基未来》依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，“善思组”从中随机抽取一张，放回洗匀后，“勤学组”再从中随机抽取一张．请用列表的方法求两个小组分享主题不同的概率 【答案】(1)①，条形统计图见解析；②；③；④见解析（答案不唯一） (2) 【分析】 【详解】（1）解：①（人）；等级D的人数为（人）， 则补全条形统计图为： ②； ③； ④由统计图可得等级C的人数最多，说明大部分学生对科普知识了解不够，应该多普及科普知识（答案不唯一）； 故答案为：①；②；③；④见解析； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两个小组分享主题不同的结果数有12种， ∴两个小组分享主题不同的概率是． 【变式7-2】2022年，成都将举办世界大学生夏季运动会，这是中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．巴中某校体育社团随机调查了部分同学在田径，跳水，篮球，游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． (1)这次调查的同学共有多少人？ (2)求想观看“篮球”比赛的学生人数及扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数； (3)现拟从甲，乙，丙，丁四人中任选两名同学担任大运会的志愿者，请利用树状图或列表的方法，求恰好选中甲，乙两位同学的概率． 【答案】(1)180 (2)63， (3) 【分析】 【详解】（1）解：（人）， 故这次被调查的学生共有180人； （2）解：想观看“篮球”比赛的学生的比例为， 想观看“篮球”比赛的学生的人数为， 扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角为， 故想观看“篮球”比赛的学生人数是63，扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种， 恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【变式7-3】南阳市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，的值为___________；组对应的扇形圆心角的度数为___________． (3)组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名女生的概率． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)列表见详解，所抽取的两人恰好是两名女生的概率为 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， 如图所示： （2）解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：，； （3）解：由题意知，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴共有种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名女生的情况有种， ∴所抽取的两人恰好是两名女生的概率为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 2．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 3．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在，黑色球的频率稳定在， ∴摸到白色球的频率为， ∴白色球的个数为 故选：C． 5．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，该图形为平行四边形， ∴平行四边形对角线所分成四个三角形的面积相等， 由平行四边形的中心对称性可知， ∴影部分的面积为平行四边形面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故选：A． 6．班级学习小组正研究一个问题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，当为何值时才符合题意．黄老师把4个数字：，．分别写在四个小球上，这四个小球除了数字外没有其他差异．请问小组代表从这四个球随机选一球，能够选对结果的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， 解得且， 不满足；满足；不满足；满足； ∴正确的k值有2个， 故随机选一球选对的概率为． 故选：C． 7．在一个不透明的箱子里放着除了颜色不同，其它特征均相同的红、蓝小球各10个，随机连续不放回地从箱子里拿出2个小球，则取到两个颜色相同的小球的概率是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：第一次拿球，有20种选择； 第二次拿球，有19种选择； ∴拿两个球的总可能结果数：， 拿两个红球：第一次拿红球有10种选择，第二次拿红球有9种选择，共种； 拿两个蓝球：同理，也有种； ∴取到两个颜色相同的小球的结果数：． 则取到两个颜色相同的小球的概率是． 故答案为． 8．如图，转盘的黑色扇形和白色扇形的圆心角分别是和，让转盘自由转动次，则指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率是 （指针指在黑白交界处时，重新转动转盘一次）． 【答案】 【详解】解：由树状图可知，共有种等可能结果，一黑一白有种结果， ∴ 一黑一白的概率是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画树状图求概率，能准确分析并计算是解题的关键． 9．笔筒中有支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号分别是的倍数、的倍数、的倍数的铅笔事件中，可能性最大的事件是 【答案】抽到编号是的倍数的铅笔 【分析】 【详解】解：∵编号中，的倍数有、、、、共个， ∴概率为； ∵的倍数有、、共个， ∴概率为； ∵的倍数有、共个， ∴概率为， ∵， ∴故抽到的倍数的概率最大， 因此可能性最大的事件是抽到2的倍数， 故答案为：抽到编号是的倍数的铅笔． 10．近年来，随着滇池生态环境持续改善及市民游客爱鸥护鸥意识的增强，每年冬季赴昆越冬的海鸥数量稳定，“人鸥同乐”已成为春城一张亮丽的生态名片．如图是海埂大坝某停车场一处彼此相邻的五个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这五个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的四个车位中随机选择一个停放． (1)甲停放在位置的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵一共有5个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有20种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有8种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 11．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个质地均匀、可以自由转动的转盘做游戏．A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘被分成面积相等的3个扇形．游戏规则如下：分别任意旋转两个转盘，用A盘转出的数字与B盘转出的数字相加，若和是3的倍数，则小红赢得游戏；若和是4的倍数，则小明赢得游戏． (1)任意旋转B盘，转出的数字是偶数的概率是_____． (2)请利用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平 【分析】 【详解】（1）解：任意旋转B盘，转出的数字有3种等可能的结果，其中转出的数字是偶数有1种情况， ∴转出的数字是偶数的概率是； 故答案为：； （2）解：列表如下： B盘A盘 5 6 7 1 6 7 8 2 7 8 9 3 8 9 10 4 9 10 11 由表可知共12种等可能的结果，和是3的倍数的情况有4种，和是4的倍数的情况有3种， ∴小红赢得游戏的概率为，小明赢得游戏的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 12．举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表： 组别 成绩（x：分） 频数 A 20 B C 60 D 根据以上信息，解答以下问题： (1)直接写出统计表中的_____，_____； (2)学生成绩数据的中位数落在____组内；在学生成绩扇形统计图中，B组对应的扇形圆心角是_____度； (3)将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； (4)若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． (5)现有甲乙丙（三男）丁戊（两女），从中挑选两名同学担任此次活动的主持人，求恰好一男一女的概率． 【答案】(1)40；80 (2)C；72 (3)见解析 (4)1050人 (5) 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，共调查（人）， ∴（人）， ∴（人）， 故答案为：40，80； （2）解：由题意知，中位数为第100，101位的数的平均数， ∵，， ∴中位数落在C组内， ∴， 故答案为：C；72； （3）解：补全频数直方图如图所示． （4）解：∵（人）， ∴估计成绩高于90分的学生人数为1050人． （5）解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中一男一女的结果有12种， ． 【点睛】本题考查了频数分布表，扇形统计图，中位数，圆心角，用样本估计总体，树状图法或列表法求概率．解题的关键在于从图表中获取正确的信息． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点恰好在图像上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，分别是：，，，，，， 其中满足的点有，其他点均不成立， 只有个点满足条件， 点恰好在图像上的概率是． 故选：A． 2．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若，（，均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据题意可得，， 可以把和看成一元二次方程的两个正根， ， 整理得， ，（，均为正整数）， 、2、3、4、5，、9、10， 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 共有15组，符合题意的有7组， 矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为， 故选：C． 3．看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ． 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 【答案】 【详解】解：齐王的三匹马出场顺序固定为10，8，6； 田忌的三匹马为5，7，9，所有可能的出场顺序共有6种： ； 其中只有出场顺序为时，田忌赢第二场和第三场，从而赢得比赛； 因此田忌能赢得比赛的概率为； 故答案为． 4．2025年10月9日，记者从河南省文化和旅游厅获悉，今年国庆中秋假期，河南省接待游客万人次、旅游收入亿元．小滨的父母在假期前决定放假带她去河南的景点旅游，有意向的四个景点分别为：A．云台山，B．太行大峡谷，C．只有河南，D．龙门石窟．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回）、再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． (1)小滨最希望去龙门石窟，则小滨第一次恰好抽到龙门石窟的概率是________； (2)除龙门石窟外，小滨还希望去只有河南，求小滨抽到只有河南、龙门石窟两个景点中至少一个的概率．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵有意向的四个景点分别为：A．云台山，B．太行大峡谷，C．只有河南，D．龙门石窟， ∴小滨第一次恰好抽到龙门石窟的概率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下， 则共有12种等可能的结果，抽到只有河南、龙门石窟两个景点中至少一个的情况有10种， ∴抽到只有河南、龙门石窟两个景点中至少一个的概率为． 5．近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，在全校学生中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)在全校学生中抽取了_______位展开随机调查；扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为_______； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率． 【答案】(1)60,90° (2)见详解 (3) 【分析】 【详解】（1）抽取的学生人数为（人）．圆心角度数为． （2）比较了解的人数为． （3）列表如下，甲和乙两名同学同时被选中的概率为． 从甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名，所有可能结果如下（列表法）： 第一次 第二次 组合 甲 乙 （甲，乙） 甲 丙 （甲，丙） 甲 丁 （甲，丁） 乙 丙 （乙，丙） 乙 丁 （乙，丁） 丙 丁 （丙，丁） 共有6种等可能结果，其中甲和乙同时被选中的结果有1种，所以P（甲和乙同时被选中）=． 【点睛】本题考查统计图表的综合应用（条形统计图、扇形统计图），频数与频率的计算，扇形圆心角的求法，概率的计算（列表法或树状图法），随机事件的概率公式．解题的关键是从扇形统计图中找到已知百分比对应的类别，结合条形图数据求出总人数；根据总人数和各类别频数补全条形图；用列表列出所有等可能结果，关注目标事件数． 6．将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【分析】 【详解】（1）列表如下： 第一次 第二次 （2）不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 随机事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件类型的判断 能准确区分三类事件，明确确定性事件（必然、不可能）与随机事件的界限，掌握各类事件的概率取值范围 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错点是混淆“随机事件”与“确定事件”，误将大概率事件当作必然事件 概率的定义与基本计算 能理解概率的本质是事件发生可能性的数值刻画，熟练运用公式（为总结果数，为事件包含的结果数）计算简单等可能事件的概率 核心基础考点，覆盖选择、填空、解答题；；命题趋势是结合摸球、掷骰子等简单场景考查计算，难度中等 求概率的常用方法 能根据试验涉及的因素个数选择合适方法：因素1个用列举法，因素2个用列表法，因素3个及以上用树形图法，确保不重不漏列出所有等可能结果 重点高频考点，解答题必考；命题趋势是结合实际情境考查，分值4-6分，难度中等 频率与概率的关系 能理解频率是试验中事件出现的比值，概率是频率稳定的常数，会根据大量重复试验的频率估计事件的概率 中档考点，多为选择、填空题；命题趋势是结合试验数据（表格形式）考查频率计算与概率估计，难度不大 知识点01 事件类型 1.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 2.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 3.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即(必然事件)； ②不可能事件发生的概率为0,即（不可能事件）； ③如果为不确定事件，那么 知识点02 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率. （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值. 2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1; （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个; （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等; （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0; （5）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得.但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法; （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用; （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用. 知识点03 频率与概率 1.频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数. 2.频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率. 3.一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么，这个常数就叫作事件的概率，记为. 题型一 事件的判断 【例1】下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．抛一枚硬币，前2次都是反面，第3次是正面 B．掷一枚骰子，朝上那面出现的点数是7点 C．太阳从东方升起 D．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 【例2】下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行 B．李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖 C．李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为 【变式1-1】下列事件中，不可能事件是（    ） A．任意画一个圆，它是轴对称图形 B．从只有黑球的袋子中摸出白球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．买一张电影票，座位号是奇数 【变式1-2】下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 【变式1-3】下列事件是随机事件的是（    ） A．光发生反射时，反射角大于入射角 B．太阳每天从东边升起，从西边落下 C．小亮同学默写《酬乐天扬州初逢席上见赠》一次就能全部写对 D．把生鸡蛋放到显微镜下，放大后就能看到叶绿体 题型二 利用概率公式计算简单事件的概率 【例3】2025年春节档有五部影片上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这五部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　） A． B． C． D． 【例4】不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ． 【变式2-1】某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【变式2-2】在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有 个球． 【变式2-3】一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 题型三 几何概率 【例5】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【变式3-1】小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，现有甲、乙、丙、丁四个转盘，若转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是________，试说明理由． 题型四 列举法或树状图求概率 【例7】一个纸盒里装有除颜色外其他都一样的红球和绿球各1个，随机从中摸出一球，记下颜色后放回盒中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【例8】某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率． 【变式4-1】周五放学，甲，乙，丙三人想去学校附近的肯德基，麦当劳吃晚饭，且每人去每家店的可能性相同，求三人恰巧走进同一家快餐店的概率． 【变式4-2】近年来，漳州充分挖掘漳州非遗文化，不断推陈出新，着力打造文化旅游“金字招牌”，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品．小华在漳州旅游时购买了四件文创产品：A．木版年画，B．漳浦剪纸， C．棉花画， D．八宝印泥．她让好友晶晶和萱萱分别选一件作为礼物．晶晶和萱萱不知如何选择，于是决定抓阄：将四张完全一样的纸片分别写上A、B、C、D，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，晶晶先从这4个纸团中随机抽取一个，搅匀后，萱萱再从剩下的3个纸团中随机抽取一个． (1)晶晶抽到棉花画的概率是___________； (2)利用画树状图或列表法求晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率． 【变式4-3】如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道． (1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）； (2)求小明从中间通道进入A密室的概率． 题型五 用频率估计概率 【例9】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【例10】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【变式5-1】某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】在一个不透明的口袋中，装有红球和蓝球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到蓝球的频率是0.6，则口袋中大约有红球 个． 【变式5-3】下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 题型六 概率在抽奖中的应用 【例11】端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【例12】“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【变式6-1】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式6-2】某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 【变式6-3】一只不透明的袋中装有1个白球和3个红球，每个球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到球的颜色吗？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率较大？ (3)为了估计摸到白球的概率，小明采用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同（提示：在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数）． 题型七 统计与概率的综合 【例13】南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． (3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 【例14】为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生有___________人，补全统计图（要求在条形图上方注明人数）； (2)图中扇形的圆心角度数为___________； (3)若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数； (4)计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 【变式7-1】2022年9月16日为全国料普日，太原植物园开启了为期三天的科普嘉年华活动嘉年华，设置了“科普展区”“科普沙龙”两个主题板块某校同学参加了此活动，并在活动后进行了知识竞赛 (1)在科普知识竞赛后，该校为了调查学生对科普知识的了解程度，随机抽取了该校的部分学生的竞赛成绩（成绩分为A，B，C，D四个等级），并将竞赛成绩绘制成如图所示的两幅不完整的统计图根据统计图提供的信息，解答下列问题： ①此次调查随机抽取了该校______人的竞赛成绩，并将条形统计图补充完整； ②图2中，扇形B的圆心角为_________度： ③已知该校共有1500名学生，估计该校成绩为A等级的学生的有__________人 ④请根据调查结果给出一条合理化建议：___________________________________ (2)老师准备让竞赛成绩优秀的善思组”和“勤学组”分享参与“科普沙龙”活动的体会，通过抽取卡片的方式确定分享主题将此次嘉年华“科普沙龙”板块中的4个主题：A《人工智能科普沙龙一和机器人做朋友》，B《眼健亲科普沙龙一“小眼睛大世界”眼健康科普》，C《航空科普沙龙一一“凡心宏志，梦筑长空”航空科普小课堂》，D《人工智能科普沙龙一一智创编程强基未来》依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，“善思组”从中随机抽取一张，放回洗匀后，“勤学组”再从中随机抽取一张．请用列表的方法求两个小组分享主题不同的概率 【变式7-2】2022年，成都将举办世界大学生夏季运动会，这是中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．巴中某校体育社团随机调查了部分同学在田径，跳水，篮球，游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． (1)这次调查的同学共有多少人？ (2)求想观看“篮球”比赛的学生人数及扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数； (3)现拟从甲，乙，丙，丁四人中任选两名同学担任大运会的志愿者，请利用树状图或列表的方法，求恰好选中甲，乙两位同学的概率． 【变式7-3】南阳市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，的值为___________；组对应的扇形圆心角的度数为___________． (3)组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名女生的概率． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 2．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 3．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（　　） A．6 B． C． D． 5．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 6．班级学习小组正研究一个问题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，当为何值时才符合题意．黄老师把4个数字：，．分别写在四个小球上，这四个小球除了数字外没有其他差异．请问小组代表从这四个球随机选一球，能够选对结果的概率是（   ） A．1 B． C． D． 7．在一个不透明的箱子里放着除了颜色不同，其它特征均相同的红、蓝小球各10个，随机连续不放回地从箱子里拿出2个小球，则取到两个颜色相同的小球的概率是 ． 8．如图，转盘的黑色扇形和白色扇形的圆心角分别是和，让转盘自由转动次，则指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率是 （指针指在黑白交界处时，重新转动转盘一次）． 9．笔筒中有支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号分别是的倍数、的倍数、的倍数的铅笔事件中，可能性最大的事件是 10．近年来，随着滇池生态环境持续改善及市民游客爱鸥护鸥意识的增强，每年冬季赴昆越冬的海鸥数量稳定，“人鸥同乐”已成为春城一张亮丽的生态名片．如图是海埂大坝某停车场一处彼此相邻的五个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这五个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的四个车位中随机选择一个停放． (1)甲停放在位置的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 11．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个质地均匀、可以自由转动的转盘做游戏．A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘被分成面积相等的3个扇形．游戏规则如下：分别任意旋转两个转盘，用A盘转出的数字与B盘转出的数字相加，若和是3的倍数，则小红赢得游戏；若和是4的倍数，则小明赢得游戏． (1)任意旋转B盘，转出的数字是偶数的概率是_____． (2)请利用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方是否公平． 12．举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表： 组别 成绩（x：分） 频数 A 20 B C 60 D 根据以上信息，解答以下问题： (1)直接写出统计表中的_____，_____； (2)学生成绩数据的中位数落在____组内；在学生成绩扇形统计图中，B组对应的扇形圆心角是_____度； (3)将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； (4)若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． (5)现有甲乙丙（三男）丁戊（两女），从中挑选两名同学担任此次活动的主持人，求恰好一男一女的概率． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点恰好在图像上的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若，（，均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为（    ）． A． B． C． D． 3．看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ． 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 4．2025年10月9日，记者从河南省文化和旅游厅获悉，今年国庆中秋假期，河南省接待游客万人次、旅游收入亿元．小滨的父母在假期前决定放假带她去河南的景点旅游，有意向的四个景点分别为：A．云台山，B．太行大峡谷，C．只有河南，D．龙门石窟．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回）、再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． (1)小滨最希望去龙门石窟，则小滨第一次恰好抽到龙门石窟的概率是________； (2)除龙门石窟外，小滨还希望去只有河南，求小滨抽到只有河南、龙门石窟两个景点中至少一个的概率．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 5．近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，在全校学生中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)在全校学生中抽取了_______位展开随机调查；扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为_______； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率． 6．将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $