专题07 二次函数（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学二次函数期末复习讲义通过核心考点表格系统梳理知识体系，将二次函数的概念、图象性质、解析式转化等核心内容按“概念-性质-应用”逻辑分层，用对比表格呈现不同形式二次函数的开口方向、对称轴等性质，结合平移口诀构建知识脉络，突出“二次项系数不为0”等易错点。 讲义亮点在于题型分层设计与方法指导结合，如“二次函数与销售利润问题”引导学生用数学语言表达实际关系，培养模型意识，“图象平移规律”通过口诀与例题结合强化几何直观。基础通关练夯实概念，重难突破练提升综合应用能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

专题07 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念与解析式判断 能准确判断给定函数是否为二次函数，熟练区分二次项系数、一次项系数和常数项 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错点是忽略“二次项系数不为0”的关键条件、误将分式/根式形式当作二次函数 二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值） 能根据二次函数解析式、准确判断开口方向，熟练计算对称轴和顶点坐标，灵活运用增减性比较函数值大小，精准求解函数最值 高频核心考点，覆盖选择、填空、解答题；命题趋势是结合图象辨析性质或根据性质求参数，难度中等 二次函数解析式的三种形式转化与求解（待定系数法） 能熟练实现一般式、顶点式、交点式的互化，根据已知条件选择合适解析式形式，运用待定系数法求出二次函数解析式 核心重点考点，解答题必考；命题趋势是作为解答题基础环节，衔接后续性质分析或实际应用，分值5-8分 二次函数图象的平移规律 能根据“左加右减、上加下减”口诀，准确判断抛物线平移方向与结果，或根据平移前后的解析式推导平移过程 基础中档考点，多为选择题；易错点是混淆“左加右减”的适用对象、平移顺序颠倒导致错误 二次函数与一元二次方程的关系（与x轴交点问题） 能结合判别式Δ判断抛物线与x轴的交点个数，熟练求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，初步运用图象法估算一元二次方程的近似解 中档综合考点，覆盖选择、填空、解答题；易错点是忘记用判别式判断交点个数、求交点时计算失误 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是任意实数。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 知识点02 二次函数的图象和性质 1．y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 当时,随的增大而减少， 当时,随的增大而增大; 向下 轴 当时，随的增大而增大， 当时,随的增大而减少. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口越小 2．y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴 轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 3.y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 4．y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 5．二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法：五点定形法. 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点及对称点，由三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点04 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）； ②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）； 知识点05 二次函数解析式 1．二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意三个点坐标求解。 顶点式：（其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的顶点坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数最值时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的横坐标）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 2．待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选顶点式，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选交点式，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选一般式。 知识点06 二次函数图象与一元二次方程 1．二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 2．抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 3．利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 知识点07 二次函数的实际应用 1．二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0. （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 2．二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的坐标； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 3．二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的周长及面积公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 题型一 二次函数的定义 【例1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】若是关于的二次函数，则的值为 ． 【变式1-1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】当 时，是关于的二次函数． 【变式1-3】若是关于x的二次函数，则 ． 题型二 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例3】抛物线的顶点是（ ） A． B． C． D． 【例4】将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【变式2-2】将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 题型三 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 【例5】用描点法画抛物线． (1)完成下面的表格，并根据表中数据在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线． x … 0 1 2 3 4 … … 0 … (2)观察函数图象，回答下列问题： ①直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； ②直接写出当时，y的取值范围． 【例6】在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 【变式3-1】已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 【变式3-2】已知函数．在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的取值范围． 【变式3-3】已知二次函数． (1)在坐标系（如图）中画出该二次函数的图象； (2)已知和点，判断点A和点B是否在抛物线上，简要说明理由． 题型四 二次函数的图象及性质 【例7】写出一个二次函数表达式，满足：当时，y随x的增大而减小，则此函数表达式可以为 （写出一个即可）． 【例8】下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而减小 D．图象的顶点坐标是 【变式4-1】抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【变式4-2】二次函数的图象上有三个点，分别为，，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ． 题型五 根据二次函数的增减性求最值 【例9】二次函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D．1 【例10】已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为 ． 【变式5-1】已知二次函数（是常数）．当时，的最小值为2，当时，的最小值为，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【变式5-2】已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则 ． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 题型六 二次函数的平移 【例11】在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【例12】把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（　　） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度 【变式6-2】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为 ． 题型七 二次函数图象与各项系数符号 【例13】二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例14】如图是二次函数图像的一部分，对称轴为且经过点，有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则，上述说法正确的是 （填序号）． 【变式7-1】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时 ，y 随x值的增大而减小 【变式7-3】二次函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 题型八 二次函数图象的综合判断 【例15】在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【例16】若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是 ． 题型九 图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次等式的解集 【例17】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【例18】二次函数，当时，自变量x的取值范围是 【变式9-1】在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于 （结果保留小数点后一位）． 【变式9-2】如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【变式9-3】如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 题型十 求二次函数的表达式 【例19】已知抛物线与直线相交于第一象限内不同的两点，． (1)求，的值 (2)求此抛物线的解析式． 【例20】如图，已知二次函数的图象过，和三点，求这个二次函数及直线的函数关系式． 【变式10-1】已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 【变式10-2】已知二次函数图象经过点． (1)求的值； (2)若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． (3)在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【变式10-3】已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 题型十一 二次函数与x轴的截线长 【例21】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 【例22】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 【变式11-2】二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 【变式11-3】已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 题型十二 用二次函数解决实际问题 【例23】如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 【例24】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米． (1)苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【变式12-1】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是 ． 【变式12-2】悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【变式12-3】如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式是． (1)小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为4米时，铅球行进的高度最大，为3.6米，求铅球推出的水平距离． (2)若，小飞第二次推出的水平距离超过第一次2米，请求出第二次推出的铅球的最大高度． 题型十三 二次函数的综合应用 【例25】如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【例26】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点、是抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点，连接，当平分时，求点的坐标． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交线段于点．过点作轴于点，延长至点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，和的面积分别表示为和，求当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【变式13-3】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．已知点，，都在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 3．将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是 ． 8．二次函数图象的顶点坐标是 ，开口方向 ，当x 时，随的增大而增大； 9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 10．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 11．已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数有最大值，求的值． 12．已知二次函数． …… …… …… …… (1)在平面直角坐标系中画出此函数图象； (2)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围： ； (3)若，点在抛物线上（不与点重合），直线交直线于点．若点位于抛物线的上方，则点的横坐标的取值范围是 ． 13．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 (1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； (2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数时，；④；⑤；⑥若，且，则．其中正确的是 ．（只填写序号） 3．如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为 ． 4．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示） (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念与解析式判断 能准确判断给定函数是否为二次函数，熟练区分二次项系数、一次项系数和常数项 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错点是忽略“二次项系数不为0”的关键条件、误将分式/根式形式当作二次函数 二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值） 能根据二次函数解析式、准确判断开口方向，熟练计算对称轴和顶点坐标，灵活运用增减性比较函数值大小，精准求解函数最值 高频核心考点，覆盖选择、填空、解答题；命题趋势是结合图象辨析性质或根据性质求参数，难度中等 二次函数解析式的三种形式转化与求解（待定系数法） 能熟练实现一般式、顶点式、交点式的互化，根据已知条件选择合适解析式形式，运用待定系数法求出二次函数解析式 核心重点考点，解答题必考；命题趋势是作为解答题基础环节，衔接后续性质分析或实际应用，分值5-8分 二次函数图象的平移规律 能根据“左加右减、上加下减”口诀，准确判断抛物线平移方向与结果，或根据平移前后的解析式推导平移过程 基础中档考点，多为选择题；易错点是混淆“左加右减”的适用对象、平移顺序颠倒导致错误 二次函数与一元二次方程的关系（与x轴交点问题） 能结合判别式Δ判断抛物线与x轴的交点个数，熟练求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，初步运用图象法估算一元二次方程的近似解 中档综合考点，覆盖选择、填空、解答题；易错点是忘记用判别式判断交点个数、求交点时计算失误 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是任意实数。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 知识点02 二次函数的图象和性质 1．y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 当时,随的增大而减少， 当时,随的增大而增大; 向下 轴 当时，随的增大而增大， 当时,随的增大而减少. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口越小 2．y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴 轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 3.y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 4．y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 5．二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法：五点定形法. 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点及对称点，由三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点04 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）； ②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）； 知识点05 二次函数解析式 1．二次函数解析式的三种形式 二次函数有三种常用解析式形式，核心区别在于参数所对应的函数图像特征不同，具体如下： 一般式：（其中为常数，且）。这是二次函数最基础的形式，包含三个待定系数，可通过图像的任意三个点坐标求解。 顶点式：（其中为常数，且）。式中是二次函数图像（抛物线）的顶点坐标，因此当已知顶点、对称轴（对称轴为直线)）或函数最值时，优先使用此形式。 交点式：（其中)，是抛物线与轴交点的横坐标）。若题目明确给出抛物线与轴的两个交点，用此形式计算更简便。 2．待定系数法求二次函数表达式 按“已知条件类型”选择“函数形式”： 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，优先选顶点式，减少待定系数的个数； 已知抛物线与轴的两个交点坐标时，优先选交点式，简化计算； 仅已知图像上3个任意点的坐标，无其他特殊条件时，选一般式。 知识点06 二次函数图象与一元二次方程 1．二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 2．抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 3．利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 知识点07 二次函数的实际应用 1．二次函数与销售利润的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式， （4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0. （5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 2．二次函数与抛物线型问题 解决此类问题的基本思路: （1）建立恰当的直角坐标系 （2）能够将实际距离准确地转化为点的坐标； （3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 3．二次函数与几何图形的问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的周长及面积公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 题型一 二次函数的定义 【例1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的概念是关键. 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，依次判断各选项即可. 【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意； B、不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 【例2】若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式 为常数，且，并能据此判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，对各选项逐个分析，即可求解． 【详解】解：根据二次函数是最高次项为二次且二次项系数不为0的整式函数，可知， A、当，不是二次函数，故选项A不符合题目要求， B、是分式函数，不是二次函数，故选项B不符合题目要求， C、是二次函数，故选项C符合题目要求， D、是一次函数，不是二次函数，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式1-2】当 时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件． 根据二次函数的定义，列出关于的条件：一是自变量的次数，二是二次项系数，求解并结合条件确定的值． 【详解】解：要使函数是关于的二次函数， 则的最高次数必须为2， 即， 且二次项系数． 解方程， 得， 所以． 当时，，函数化为，不是二次函数； 当时，，且指数，满足条件． 因此，． 故答案为． 【变式1-3】若是关于x的二次函数，则 ． 【答案】2或 【分析】 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，     ∴或． 故答案为：2或． 题型二 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例3】抛物线的顶点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 【例4】将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：． 故选：D． 【变式2-1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为， 所以错误的只有甲和丁． 故选：D． 【变式2-2】将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 顶点式为， 故选：B. 【变式2-3】用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 题型三 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 【例5】用描点法画抛物线． (1)完成下面的表格，并根据表中数据在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线． x … 0 1 2 3 4 … … 0 … (2)观察函数图象，回答下列问题： ①直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； ②直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；② 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，；当时，；当时，；   补全表格如下∶ x … 0 1 2 3 4 … … 0 1  　 0   　 … 抛物线如图所示； （2）解：①由图象得，该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； ②由图象得，当时，y的取值范围． 【例6】在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 【答案】图见解析，相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示． 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴． 不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下； ②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大； ③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【变式3-1】已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 【答案】(1) (2)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标，图见详解 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）得， ∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标， 令，则， 令，则， 函数的图象，如图所示： 【变式3-2】已知函数．在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的取值范围． 【答案】见解析；（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）画出函数的图象如图所示． 当时， 在对称轴左边，y随x增大而减小； 当时，，当时，， ∴的取值范围是． （2）当时， 在对称轴两边，当时，最小，当时，最大， ∴的取值范围是． 【变式3-3】已知二次函数． (1)在坐标系（如图）中画出该二次函数的图象； (2)已知和点，判断点A和点B是否在抛物线上，简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在抛物线上，不在抛物线上，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 描点作图，如下： （2）解：把代入，可得， 在抛物线上， 把代入，可得， 不在抛物线上． 题型四 二次函数的图象及性质 【例7】写出一个二次函数表达式，满足：当时，y随x的增大而减小，则此函数表达式可以为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴在轴上或者轴左边， 此函数表达式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【例8】下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而减小 D．图象的顶点坐标是 【答案】C 【详解】解：∵二次函数为，即，，， ∴开口向上，故A错误； 令，得，解得，即与x轴有两个交点，故B错误； 对称轴为，且，∴当时，y随x增大而减小，故C正确； 顶点坐标为，故D错误． 故选：C． 【变式4-1】抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下， 当时，y随着x的增大而减小， 当时，与时的函数值相等，即． 故选：D． 【变式4-2】二次函数的图象上有三个点，分别为，，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次函数，可知抛物线开口向下，对称轴为， ，，三点中， ，B，C点离对称轴最近分别为，，，， ， 故点离对称轴最近，点离对称轴最远，根据越远函数值越小， 则． 故选：C． 【变式4-3】若二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 解得， 故答案为：． 题型五 根据二次函数的增减性求最值 【例9】二次函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故选：C． 【例10】已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， 则比距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值， 当时，， 当时，， 则， 解得， 故答案为：2． 【变式5-1】已知二次函数（是常数）．当时，的最小值为2，当时，的最小值为，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，灵活利用二次函数的性质求最值是解题的关键． 根据二次函数的性质，开口向上，对称轴为．由时的最小值为2，时的最小值为，可知对称轴在，即． 从而时最小值在处可得；时最小值在顶点处，将代入得，解得，结合，得． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为． ∵当时的最小值为2，当时的最小值为， ∴对称轴必在范围内，即， ∴． 当时，函数在处取得最小值，即． 当时，函数在顶点处取得最小值， ∴当时，． 代入，得，即，解得：． ∵， ∴． 故选D． 【变式5-2】已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，解得， ①当，即时， 则当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴，解得或（舍去）； ②当时，即时， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值为，当时，函数值为， ∵， ∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75； 综上：； 故答案为：． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）抛物线 中，，， 对称轴为． 故答案为：． （2）∵抛物线开口向上，对称轴在内， ∴最小值在顶点处， 即当时，， ∵最小值为， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 故答案为：7 题型六 二次函数的平移 【例11】在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位， ∴新解析式为． 故选：D． 【例12】把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选：． 【变式6-1】将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（　　） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度 【答案】D 【详解】解：由题意，将抛物线向下平移3个单位长度可得到； 故选：D． 【变式6-2】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴平移后的新抛物线为． 故选：D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：原抛物线为，向右平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得， 故答案为：． 题型七 二次函数图象与各项系数符号 【例13】二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：函数开口向下， ， 函数对称轴为直线， ， 函数图像与y轴交于负半轴， 当时，， ， 根据图像可知当时，． 故选：C． 【例14】如图是二次函数图像的一部分，对称轴为且经过点，有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则，上述说法正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ∵，，， ∴，故①正确． ∵， ∴，故②正确． ∵抛物线经过点， ∴当时，，故③错误． ∵对称轴为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【变式7-1】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知，， 对称轴是直线， ， ，， ， 故正确不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故错误符合题意， 由图象可知，当时，， 故正确不符合题意； 故选：． 【变式7-2】二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时 ，y 随x值的增大而减小 【答案】D 【详解】解：A、观察函数图象，可得出：当时，，A选项正确，不符合题意； B、观察函数图象，可知，，可得出，B选项正确，不符合题意； C、观察函数图象，可找出：当时，y随x的增大而减小，进而可得出当时，，C选项正确，不符合题意； D、观察函数图象，可得出：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式7-3】二次函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴． ∴． 故选：D． 题型八 二次函数图象的综合判断 【例15】在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 【例16】若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 【变式8-1】函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 故选项C正确． 故选C． 【变式8-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 【变式8-3】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是 故答案为： 题型九 图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次等式的解集 【例17】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 【例18】二次函数，当时，自变量x的取值范围是 【答案】 【分析】 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 【变式9-1】在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于 （结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【详解】解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-2】如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 【变式9-3】如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 题型十 求二次函数的表达式 【例19】已知抛物线与直线相交于第一象限内不同的两点，． (1)求，的值 (2)求此抛物线的解析式． 【答案】(1), (2) 【分析】 【详解】（1）解：直线过点， ，解得：， 直线的解析式为． 点在直线上， ； （2）解：由（1）得点， ∵点和点在抛物线上, ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为． 【例20】如图，已知二次函数的图象过，和三点，求这个二次函数及直线的函数关系式． 【答案】二次函数的表达式为；直线的函数表达式为 【分析】 【详解】解：将，，代入抛物线， 得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 【变式10-1】已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线经过点及轴正半轴一点，且． ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把，，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点坐标为， （3）解：由（1）得， 依题意，设直线解析式为， 把，代入， 得， ∴， ∴直线解析式为． 【变式10-2】已知二次函数图象经过点． (1)求的值； (2)若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． (3)在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：把代入， 得． （2）解：， 抛物线的开口向上， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大， ， ． （3）解： 二次函数的最小值为， 解得：，（舍）； ， 二次函数的表达式为． 【变式10-3】已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． 题型十一 二次函数与x轴的截线长 【例21】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 【例22】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 【答案】 4 【详解】解：∵中，，顶点坐标为， ∴抛物线解析式为 ，则， 令，则， 解得： ∴, 故答案为：，． 【变式11-2】二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 【答案】4 【详解】解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 【变式11-3】已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． （1）将点代入即可求解． （2）联立和，结合，解出，即可解答． （3）分别求出，结合即可证明． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 题型十二 用二次函数解决实际问题 【例23】如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 【例24】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米． (1)苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出相应的代数式． （1）根据木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米，即可求解； （2）根据题意列不等式求出，设苗圃的面积为，则，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米， 米， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 解得， 设苗圃的面积为， 则， ，， 当时，最大，最大为， 答：当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米． 【变式12-1】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 【变式12-2】悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 【变式12-3】如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式是． (1)小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为4米时，铅球行进的高度最大，为3.6米，求铅球推出的水平距离． (2)若，小飞第二次推出的水平距离超过第一次2米，请求出第二次推出的铅球的最大高度． 【答案】(1)铅球推出的水平距离为米 (2)第二次推出的铅球的最大高度为米 【分析】 【详解】（1）解：对于，当， ∴抛物线经过点 由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线表达式为， 将点代入得，， 解得， ∴抛物线表达式为， 当时，则， 解得或（舍）， ∴铅球推出的水平距离为米； （2）解：由题意可设新抛物线表达式为 ∵， ∴新抛物线与轴交于点， 将代入，则， 解得， ∴新抛物线表达式为， ∵顶点横坐标为， ∴将代入，得， ∴第二次推出的铅球的最大高度为米 题型十三 二次函数的综合应用 【例25】如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； （3）解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 【例26】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点、是抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点，连接，当平分时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图1，过P作轴交于Q，交x轴于M，过D作轴于N，如图所示： 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，，， 在中，根据勾股定理， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍），， 当时，， ∴． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交线段于点．过点作轴于点，延长至点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，和的面积分别表示为和，求当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，的值最大，最大值是8 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵轴于点，即， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵，轴，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵直线与轴交于点， 令，则，解得， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ∴当时，的值最大，最大值是8． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】 【详解】（1）解：将、代入二次函数得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为， 令，则， 解得或， ， 设抛物线对称轴上一动点， 、， ，，， 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 即， ， ，则或， 综上所述，使为直角三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、抛物线与轴交点坐标、勾股定理、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据直角三角形特征分类讨论是解决问题的关键． 【变式13-3】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．已知点，，都在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于函数， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故选：A． 2．函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，分两种情况讨论：当时，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点； 当时，函数为二次函数，其图像与y轴恒有一个交点， 若要与坐标轴至少有两个交点，则必须与x轴有交点，故，解得， 因此，此种情况下m的取值为且， 综上所述，结合的情况，满足题意的m的取值范围为， 故选：A． 3．将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、四象限， 二次函数开口向上，且与轴交于正半轴， 没有选项满足要求； 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 二次函数开口向上，且与轴交于负半轴， 只有D选项满足要求； 故选：D． 5．如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形的四边相等，四个角都是直角，且， ， ∴． 设为x，则， 根据勾股定理，得 即（）， ∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线的抛物线， 故选：B． 6．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 7．在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， ∴平移后抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 8．二次函数图象的顶点坐标是 ，开口方向 ，当x 时，随的增大而增大； 【答案】 向下 【分析】 【详解】二次函数可写为顶点形式 ， ，，， 顶点坐标为，对称轴为， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案是：；向下；． 9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 【答案】 6s 【详解】解：由题意，令，得 ， 整理得， 解得． 故答案为． 10．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 11．已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数有最大值，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图像与性质， （1）首先根据题意可知该二次函数的图像的对称轴为，即，求解即可获得答案； （2）结合（1）可知该函数图像开口向下,且对称轴为,顶点坐标为,进而可知在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，故当时，函数均在对称轴的同侧，然后分在对称轴的左侧和在对称轴的右侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，关于的二次函数的顶点横坐标是1， 即该二次函数的图像的对称轴为， ∴，解得， ∴该函数解析式为； （2）结合（1）可知，， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为，顶点坐标为, ∴在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵当，函数有最大值，且， ∴当时，均在对称轴的同侧， ①若在对称轴的左侧，可知，即， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）； ②若在对称轴的右侧，可知， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）． 综上所述，当或时，该二次函数有最大值． 12．已知二次函数． …… …… …… …… (1)在平面直角坐标系中画出此函数图象； (2)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围： ； (3)若，点在抛物线上（不与点重合），直线交直线于点．若点位于抛物线的上方，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）解：列表如图， …… 0 1 …… …… 0 0 …… 函数图象如图， （2）解：， 对称轴为直线， ， 点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即， 解得：或； （3）解：如图， 由图象可知，当时，点位于抛物线的上方， 故答案为：． 13．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 (1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； (2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 【答案】(1) (2)产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元 【分析】 【详解】（1）解：由图可知每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系为一次函数，设函数解析式为，代入、        解得， （2）设每件产品定价为元，每天纯利润为元， ， 当时，即：，解得：， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，利润取得最大，则； 则产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点， ∴令，可得纵坐标为，纵坐标为 ， ，， ． ， ． 故选：D． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数时，；④；⑤；⑥若，且，则．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．由抛物线开口向上得，根据对称轴得到，根据抛物线与轴交于负半轴，得到，①正确；由得，②错误；根据抛物线对称轴为直线，开口向上，得到函数最小值为，得到③正确；根据抛物线与轴的右交点在之间，左交点在和原点之间，当时，，得到④错误；当时，，得到⑤正确；根据得到， 结合， 得到抛物线对称轴为， 得到⑥正确． 【详解】解：二次函数的图象如图所示， 由抛物线开口向上得， 由抛物线对称轴为， ， ， 由抛物线与轴交于负半轴，则， ，故①正确； 由得，故②错误； 抛物线对称轴为直线， 开口向上， 函数最小值为， 为任意实数时，，即，故③正确； 抛物线与轴右交点在，之间， 左交点在，之间， 当时，，故④错误； 当时，函数值，故⑤正确； ， ， 当和时函数值相等， 抛物线对称轴为， ，故⑥正确 正确的有， 故答案为：． 3．如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，函数图象过点， ∴此时点在上， 如图，作⊥于点，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即，解得， 由函数图象可得：当点在上时，有最大值． 由题意得：，则， ∴，∴， ∴==， ∴当时，面积有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据函数图象获取信息、直角三角形相似、求二次函数的最值等知识，分析函数图象上的点所对应的图形情况，用含的代数式表示是解决本题的关键． 4．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示） (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)①；②第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元 【分析】 【详解】（1）解：设第x天的单价， 由题意得， 解得， ， 故答案为：； （2）解：由题意得 ， 整理得， 即（元）与x的函数关系式为； （3）解：①由图象可知：二次函数的图象经过点，， 代入，得：， 解得， ； ②， ， 当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $