专题01 分式和分式方程（5知识&16题型&9易错&3方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学分式和分式方程专题清单，涵盖分式概念与性质、运算、方程等核心内容，构建从基础概念到混合运算再到实际应用的递进式学习支架，包含5大知识清单、16类题型、9个易错点及3种方法。 清单通过知识清单系统梳理、题型分类训练、易错点专项突破构建完整体系，如“分式值为0条件”标注易错点，“倒数法”纳入方法清单，培养数学思维与应用意识，助力学生自主复习，教师可精准设计教学，提升学习效率。

专题01 分式和分式方程（5知识&16题型&9易错&3方法清单） 【清单01 分式概念与性质】 【概念】一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做 ，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于 ，即B≠0 分式无意义 分母等于 ，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【清单02 分式的基本性质】 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的 ， 不变. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【清单03 分式的约分、通分】 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的 ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做 . 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做 . 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的 。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的 。 ②当分子的分母是多项式时，先将他们 ，再确定 。 【清单04 分式的混合运算】 1、同分母分式相加减： ，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先 ，变为同分母的分式，再 ；符号表示为： 3、分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 4、分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 5、分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 【注意】分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先 ，再 ，最后 ；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【清单05 分式方程】 【概念】分母中含有未知数的方程叫做 ． 重要特征：① ；② ；③分母中含有 . 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为 . 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先 ； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去 ，化为 ； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、 ：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程 . 用分式方程解决实际问题的步骤： ：理解并找出实际问题中的等量关系; ：用代数式表示实际问题中的基础数据; ：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; ：求解方程; ：考虑求出的解是否具有实际意义; ：实际问题的答案. 【题型一 分式的相关概念】 1．下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列各式中，，，，，，，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是 ． 【题型二 分式有无意义的条件】 4．如图，表格中的代表的是一个分式，根据信息推理可知，此分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 5．当时，分式无意义，则 ． 6．下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三 分式值为零的条件】 7．若分式的值为0，则的值为（    ） A．1或−1 B．0 C． D．1 8．若分式的值为0，则x的值为 ． 9．已知分式，． (1)化简A； (2)当x为何值时，A与B的值相等？ (3)当x为何值时，A的值为零？ 【题型四 分式的求值】 10．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．若，则分式的值为 ． 12．当时，求的值． 【题型五 分式的基本性质】 13．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 14．若，等式成立，则x应满足的条件是 ． 15．下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是 ．（请填写序号） 【题型六 约分与通分】 16．约分： ． 17．分式和通分后的结果分别为 ， ． 18．（1）约分：．     （2）通分：和． 【题型七 最简分式与最简公分母】 19．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 20．分式与通分时，分子、分母要同时乘（   ） A． B． C． D． 21．多项式的公因式是 ；分式与的最简公分母是 ． 【题型八 分式的混合运算】 22．计算： ． 23．化简代数式 ． 24．化简： 【题型九 整式与分式相加减】 25．计算：的结果是 ． 26．计算： ． 27．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【题型十 已知分式恒等式确定分子或分母】 28．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 29．若，求的值为 ． 30．已知，求，的值． 【题型十一 分式化简求值】 31．先化简，再求值：，其中． 32．先化简，再求值：，其中中选取一个合适的数代入求值． 33．先化简，再从不等式的整数解中选一个自己喜欢的数代入求值． 【题型十二 解分式方程】 34．解方程： (1)； (2)． 35．解方程： (1)； (2)． 36．解方程： (1) (2)． 【题型十三 分式方程的增根问题】 37．若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 38．已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 39．已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程有增根，求的值． 【题型十四 分式方程的无解问题】 40．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 41．若关于x的方程无解，则a的值是 ． 42．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【题型十五 根据分式方程解的情况求值】 43．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 44．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 45．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【题型十六 分式方程的实际应用】 46．年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 47．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 48．2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行．吉祥物“琮琮”“莲莲”和“宸宸”深受大众喜爱．某纪念品店计划从厂家购进吉祥物钥匙挂件和徽章套装，已知购进一套徽章的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵30元，且用4000元购进钥匙挂件的数量正好是用5000元购进徽章套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套徽章的价格分别为多少元？ (2)如果该纪念品店需要钥匙挂件的数量是徽章套装数量的2倍少10个，且购进钥匙挂件和徽章套装的总费用不超过3445元，那么该纪念品店最多可购进多少套徽章？ 【题型一 分式值为0时条件混淆】 49．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 50．取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 51．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【题型二 分式的求值出错】 52．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 53．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 54．综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 【题型三 分式的基本性质理解错误】 55．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 56．问题情境：先化简，再求值：，其中． 解法展示：原式（根据1）（根据2）． 当时，原式． 反思交流： (1)上述解法中的根据1是指_______，根据2是指_______． (2)上述解法的运算顺序是_______． (3)利用上述解法解答下列问题：先化简，再求值：，其中． 57．小明在解一道分式方程过程如下： 第一步：整理 第二步，去分母… (1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______； (2)请把以上解分式方程的过程补充完整． 【题型四 分式混合运算】 58．计算： 59．如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ (1)该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 60．计算： (1)； (2)． 【题型五 分式化简求值问题】 61．先化简，再求值：，其中m满足． 62．已知与互为相反数，求的值． 63．阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【题型六 分式方程的解法忘记检验】 64．解方程： (1)； (2)． 65．探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 66．先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程 解：方程两边乘，得，…第①步 去括号，得，…第②步 移项、合并同类项，得，…第③步 … (1)以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第________步(填序号)，此步骤的做题依据是________； (2)请写出正确的解答过程． 【题型七 根据分式方程解的情况求值】 67．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 68．关于x的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程的解是正数，求k的取值范围． 69．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【题型八 分式方程的应用】 70．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 71．野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 72．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： (1)解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； (2)解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； (3)根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 【题型九 分式方程的新定义问题】 73．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 74．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 75．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【题型一 求使分式值为正（整）数时的未知数】 76．已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 77．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 78．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【题型二 分式化简求值】 79．【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 80．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 81．用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【题型三 分式方程增根与无解问题】 82．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 83．若分式方程 有增根，求k的值． 84．已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式和分式方程（5知识&16题型&9易错&3方法清单） 【清单01 分式概念与性质】 【概念】一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【清单02 分式的基本性质】 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【清单03 分式的约分、通分】 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式时，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 【清单04 分式的混合运算】 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 3、分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 4、分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 5、分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 【注意】分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【清单05 分式方程】 【概念】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【题型一 分式的相关概念】 1．下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断各式中分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母无字母，不是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式． ∴属于分式的有2个． 故选：C． 2．下列各式中，，，，，，，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查分式的概念；判断分式的标准是分母中是否含有字母. 【详解】解：∵分式定义：分母中含有字母的式子， 是整式，不是分式； 分母为π，是常数，是整式，不是分式； 分母为，含字母m，是分式； 是整式，不是分式； ，分母含字母x，是分式； 分母为11，无字母，不是分式； 是整式，不是分式， ∴分式有2个：和. 故选：A. 3．给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键． 第偶数个分式符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方，据此求解即可． 【详解】解：第偶数个式子符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方， ∴第2022个分式是． 故答案为：． 【题型二 分式有无意义的条件】 4．如图，表格中的代表的是一个分式，根据信息推理可知，此分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解题意是解题的关键． 根据分式无意义可知分母为，排除选项A和B，再根据当时即可判定选项． 【详解】解：由表格可知当时分式无意义，即分母为， 故A、B选项不符合题意； 当时，分式， 当时，分式， 故D选项不符合题意，C选项符合题意 故选：C． 5．当时，分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义时，分母等于零求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 6．下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)全体实数 【分析】（1）（2）（3）（4）均根据分式分母不能为零即可得到x满足的条件． 本题考查了分式，掌握分式分母不为零是解题的关键． 【详解】（1）解：由分式的分母不为零可得； （2）解：由得； （3）解：由得； （4）解：因为对任意实数，都有， 所以， 故恒成立， 所以的取值为全体实数． 【题型三 分式值为零的条件】 7．若分式的值为0，则的值为（    ） A．1或−1 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟练掌握分式值为0时，则分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴. 故选：C． 8．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得或，且，． ∴． 故答案为：1． 9．已知分式，． (1)化简A； (2)当x为何值时，A与B的值相等？ (3)当x为何值时，A的值为零？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的值、约分及分式有意义的条件，熟练掌握分式的值、约分及分式有意义的条件是解题的关键； （1）根据分式的性质可进行求解； （2）由（1）及分式有意义的条件可进行求解； （3）根据分式的值为0的条件可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴恒成立， ∵分式有意义，即， ∴当时，A与B的值相等． （3）解：当时，则且． 解得， ∴当时，A的值为零． 【题型四 分式的求值】 10．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值． 将所求分式拆分为已知比例与1的和，代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 11．若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件 得 ，代入分式化简求值即可；本题主要考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由 得 ， 代入分式 ， 分子：， 分母：， 则 ； 故答案为：． 12．当时，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查分式的化简求值，准确计算是解题关键； 先对分式的分子分母进行因式分解，再进行约分，对分式进行化简，最后把的关系代入计算即可． 【详解】解： 当时，即， ∴原式． 【题型五 分式的基本性质】 13．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）． 根据比例的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：选项A：由得，故错误； 选项B：由得，整理得，故错误； 选项C：由得，整理得，故错误； 选项D∵由得，故正确． 故选：D． 14．若，等式成立，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 15．下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故①不正确，符合题意； ，故②不正确，符合题意； ，故③不正确，符合题意； ，故④正确，不符合题意； ，故⑤正确，不符合题意． 故答案为：①②③． 【题型六 约分与通分】 16．约分： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进行约分即可． 【详解】解：分子和分母的公因式为， 给分子和分母同时除以得原式． 故答案为：． 17．分式和通分后的结果分别为 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 18．（1）约分：．     （2）通分：和． 【答案】（1）；（2） 【详解】本题考查了分式的约分和通分． （1）先将原式的分子分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 解：（1）原式； （2），， 和的最简公分母是， ，． 【题型七 最简分式与最简公分母】 19．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式进行判断即可． 【详解】解：A．中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故A不符合题意； B．中，分母，与分子有公因式，不是最简分式，故B不符合题意； C．中，分子与分母没有公因式，是最简分式，故C符合题意； D．中，分母，与分子有公因式，不是最简分式，故D不符合题意． 故选：C． 20．分式与通分时，分子、分母要同时乘（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的通分（找最简公分母），解题的关键是先对两个分式的分母因式分解，再确定最简公分母． 先对两个分式的分母进行因式分解，找出最简公分母，再确定通分时需要乘的式子． 【详解】解：第一个分式的分母， 第二个分式的分母， 最简公分母需包含所有唯一因式：，即最简公分母为． 因此，通分时分子、分母要同时乘． 故选：C． 21．多项式的公因式是 ；分式与的最简公分母是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了公因式和分式的最简公分母的确定，对于多项式的公因式，需找出各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂；对于分式的最简公分母，需将分母因式分解后取所有不同因式的最高次幂的积． 【详解】解：多项式的公因式是；分式与的最简公分母是， 故答案为：，． 【题型八 分式的混合运算】 22．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键． 先对括号内的分式进行通分相加，得到，再与相乘，通过约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 23．化简代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算括号内的分式减法，得到；再将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数；最后约去公因式简化． 【详解】解：原式= = = = =． 故答案为：． 24．化简： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据分式的加法和除法法则化简即可得答案． 【详解】解： ． 【题型九 整式与分式相加减】 25．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 26．计算： ． 【答案】/ 【分析】根据分式的加减法进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 27．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 【题型十 已知分式恒等式确定分子或分母】 28．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 29．若，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 30．已知，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的加减法和解方程组，解此题的关键是得出关于、的方程组．先把方程的右边通分变成和方程左边相同的分母，合并后得出关于、的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：， ， ， ，解得， 即，． 【题型十一 分式化简求值】 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 32．先化简，再求值：，其中中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 且且， 可以取， 当时，原式． 33．先化简，再从不等式的整数解中选一个自己喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，值为4 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则和解一元一次不等式组的步骤． 先化简分式，注意分母不为零的条件；然后解不等式得到整数解，选择满足条件的值代入计算． 【详解】解： 对于不等式， 解得， ∴整数解为1，2，3 ∵分式有意义，则 ∴， ∴原式． 【题型十二 解分式方程】 34．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案； （2）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故方程无解． 35．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：， ， 两边都乘以，得：， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根． （2）解：， ， 两边都乘以，得：， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解． 36．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），解题关键是掌握分式方程的解法． （1）去分母，化为整式方程求解，再检验根即可； （2）去分母，化为整式方程求解，再检验根即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得：， 经检验是原分式方程的根； （2）， 去分母，得， 解得：， 经检验是原分式方程的增根， 故原分式方程无解． 【题型十三 分式方程的增根问题】 37．若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 故选：A． 38．已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先去分母可得，再根据关于的方程有增根，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得：，即， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 将代入， 得， 故答案为：6． 39．已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的解以及分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是分母为零的根，注意检查即可． （1）将代入方程，可得方程为，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验是否是增根； （2）因为方程有增根，所以，去分母、去括号、移项、合并同类项得，即，即，得． 【详解】（1）解：（1）当时，原方程化为， 去分母得：， 化简得： 解这个整式方程，得， 检验：把代入得：， 所以，是原方程的解； （2）原方程去分母，得， 移项合并同类项，得， 因为该方程有增根， 所以增根为， 所以， 所以． 【题型十四 分式方程的无解问题】 40．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，分式方程无解即方程有增根，分母为零的情况，化简方程后，解出x关于m的表达式，当解为增根时方程无解即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程：， 两边同乘（假设）： ， ∴， 即， 由于分母，当时方程有增根，无解， ∴， 解得， 故当时方程无解， 故选D． 41．若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1或 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 【详解】解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 故答案为：或 42．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】(1)或4 (2)且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 【题型十五 根据分式方程解的情况求值】 43．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．解分式方程，得到解，根据解是非负数且分母不为零的条件，得关于n的不等式，解不等式即可确定 n 的取值范围． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 44．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：且． 45．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，求出分式方程的解，根据解是非负数结合分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是非负数， ∴． 解得． 又∵， ∴ ∴m的取值范围是且． 【题型十六 分式方程的实际应用】 46．年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； (2)最多可以采购个乙种型号玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 47．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 48．2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行．吉祥物“琮琮”“莲莲”和“宸宸”深受大众喜爱．某纪念品店计划从厂家购进吉祥物钥匙挂件和徽章套装，已知购进一套徽章的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵30元，且用4000元购进钥匙挂件的数量正好是用5000元购进徽章套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套徽章的价格分别为多少元？ (2)如果该纪念品店需要钥匙挂件的数量是徽章套装数量的2倍少10个，且购进钥匙挂件和徽章套装的总费用不超过3445元，那么该纪念品店最多可购进多少套徽章？ 【答案】(1)购进一个钥匙挂件的价格为20元，一套徽章的价格为50元 (2)该纪念品店最多可购进40套徽章 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设钥匙挂件价格为x元，徽章价格为元，根据数量关系列方程求解； （2）设徽章套装数量为y套，根据数量关系和总费用限制列不等式求解，并取最大整数解． 【详解】（1）解：设购进一个钥匙挂件的价格为x元，则一套徽章的价格为元， 根据题意，得， 两边同乘，得， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 答：购进一个钥匙挂件的价格为20元，一套徽章的价格为50元； （2）解：设该纪念品店购进y套徽章，则购进钥匙挂件的数量为个， 根据题意，得， 化简得， ， ， ， ∵y为整数， ∴． 答：该纪念品店最多可购进40套徽章． 【题型一 分式值为0时条件混淆】 49．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 50．取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的值为零，解题关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零． （1）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可；． 【详解】（1）解：的值是零， ，， ，，， ； （2）解：的值是零， ，， ，，， ． 51．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 【题型二 分式的求值出错】 52．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ； （2）， ，即， ， ， ． 53．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了分式的值和完全平方变形求值，理解题干中给出的方法是解题的关键． （1）先用倒数法求出，再计算求值即可； （2）①先用倒数法求出，再求解，最后求解的倒数即可；②先用倒数法求出，再用完全平方变形求解，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 54．综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 【答案】(1)；；2； (2)或或或 (3)见解析 【分析】本题考查了分式的求值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将，，，分别代入计算即可得解； （2）由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数，互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等，由此计算即可得出结果； （3）结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数、互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等． ∴或或或， ∴或或或， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或或或． （3）解：∵． ∴． 即的值一定不小于2． 【题型三 分式的基本性质理解错误】 55．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了分式值的变化情况，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 当和都扩大为原来的3倍时，分母也扩大3倍，因此分子必须也扩大3倍才能保持分式的值不变．只需验证哪个选项的在和扩大3倍时值也扩大3倍即可． 【详解】∵和都扩大为原来的3倍， ∴分母，即分母扩大3倍．为保持分式值不变，分子也必须扩大3倍． 选项A：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，符合题意． 选项B：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项C：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项D：，分子的取值与和无关，是常数，不符合题意． 故选A． 56．问题情境：先化简，再求值：，其中． 解法展示：原式（根据1）（根据2）． 当时，原式． 反思交流： (1)上述解法中的根据1是指_______，根据2是指_______． (2)上述解法的运算顺序是_______． (3)利用上述解法解答下列问题：先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)分式的分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，分式的分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变 (2)先计算括号中的减法运算，再计算除法运算 (3)， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算．掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）根据分式的性质，即可得到答案； （2）根据分式混合运算法则，即可得到答案； （3）先计算括号中的减法运算，再计算除法运算将分式化简，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：上述解法中的根据1是指分式的分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变；根据2是指分式的分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变；分式的分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变； （2）解：上述解法的运算顺序是先计算括号中的减法运算，再计算除法运算， 故答案为：先计算括号中的减法运算，再计算除法运算； （3）解： ， 当时，原式． 57．小明在解一道分式方程过程如下： 第一步：整理 第二步，去分母… (1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______； (2)请把以上解分式方程的过程补充完整． 【答案】(1)分式的基本性质；等式的性质 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质和等式的性质、解分式方程，掌握解分式方程的方法与步骤是解题的关键． （1）理解根据分式的基本性质整理方程，根据等式的性质去分母，得出答案即可； （2）根据解分式方程的方法与步骤，将方程整理，去分母，去括号，移项合并，系数化，验根即可． 【详解】（1）解：第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以，得， 第二步：去分母根据等式的性质，等式两边都乘以， 故答案为：分式的基本性质；等式的性质； （2）解：， 第一步：整理得：， 第二步：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化得：， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 【题型四 分式混合运算】 58．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：原式 ． 59．如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ (1)该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 【答案】(1)② (2)过程见解析；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． （1）分式加减法中通分化为同分母分式进行加减，所以第②步中去括号错误； （2）根据分式混合运算的法则计算即可，再根据分式有意义的条件选取的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：这位同学的错误出现在第②步， 故答案为：②． （2）解：原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 60．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先计算括号内减法，再计算乘法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型五 分式化简求值问题】 61．先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式 62．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个非负数的式子的和为零，则它们均为零，据此求出a和b的值，代入原式进行化简，利用进行分数的“裂项”，进而可以求出式子的值． 本题考查相反数的性质、平方和绝对值的非负性、分数裂项等知识． 【详解】解：由题可知， 则，且， 即， 即． ∴原式 ． 63．阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答． （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴， 即， ∴； ∴， （2）解：由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． （3）解：∵ ∴x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， 则， ∴． 【题型六 分式方程的解法忘记检验】 64．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意需检验． （1）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答． （2）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：把代入最简公分母，， 故原分式方程的解为； （2）解： 变形为， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：将代入中可得， 故原方程的解为． 65．探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 66．先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程 解：方程两边乘，得，…第①步 去括号，得，…第②步 移项、合并同类项，得，…第③步 … (1)以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第________步(填序号)，此步骤的做题依据是________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①，等式的基本性质 (2)正确的解答过程见详解 【分析】本题主要考查分式方程的求解，分式方程去分母是解题的关键． （1）首先利用去分母计算分式方程，即可发现开始出错的是第①步，再判断依据为等式的基本性质； （2）正确的解答过程首先利用去分母计算分式方程，再去括号，移项、合并同类项计算得出解，再进行验证解是否符合即可． 【详解】（1）解：∵方程两边乘，得， ∴开始出错的是第①步； ∵此步骤的做题依据是方程两边同乘，方程两边依然相等， ∴运用的是等式的基本性质； （2）解：正确的解答过程如下： 方程两边乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【题型七 根据分式方程解的情况求值】 67．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 【答案】8 【分析】本题主要考查了分式方程的知识，先解关于y的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式组并求解，然后根据a是正整数，求出满足条件的所有正整数a的值，再求出它们的和即可． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 ， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∵a是正整数， ∴a的可能取值为2, 3, 4, 5， 又∵是整数， ∴必为偶数， ∴a为奇数，即a只能取3或5， ∴满足条件的所有正整数a的和为：． 68．关于x的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程的解是正数，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， 两边乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解： 两边乘，得：， 解得：， ∵分式方程的解是正数， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴且． 69．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 【题型八 分式方程的应用】 70．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 【答案】(1)①；③ (2)解法一：；解法二：；大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨 (3)至少需要安排5辆小货车 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于根据题意建立方程和不等式． （1）根据所列方程分析即可； （2）根据解分式方程步骤求解，进而得出大货车、小货车每辆每次运输柑橘的吨数，即可解题； （3）设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据“运输的总费用不超过10000元”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨； 解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次； 故答案为：①；③． （2）解法一： 方程两边同乘， 得， 解得，检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．            ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．       解法二： 方程两边同乘x，得：， 解得， 检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．        ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘吨． （3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车． 根据题意得：，          解得：；    ∵y，为整数， 又， y为的倍数， y的最小值为5， 答：至少需要安排5辆小货车． 71．野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； (2)至少购进B品牌100袋． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据“该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同”，列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进B品牌为m袋，A品牌为袋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得． 经检验：是原方程的解． （元）． 答：A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； （2）解：设购进B品牌为m袋，A品牌为袋， 由题意，得， 解得． 答：至少购进B品牌100袋． 72．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： (1)解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； (2)解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； (3)根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 【答案】(1)①， (2)②， (3)选解法一，甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 【分析】该题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意即可解答； （3）选择一种方法解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，解法一所设的未知数表示甲工人每天加工零件的个数；根据等量关系可列出方程为． 故答案为：①；． （2）解：根据题意，解法二所设的未知数表示甲工人加工2000个零件所用的天数， 根据等量关系可列出方程为：， 故答案为：②；． （3）解：选解法一：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 选解法二：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 【题型九 分式方程的新定义问题】 73．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据题意，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 74．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 75．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【题型一 求使分式值为正（整）数时的未知数】 76．已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 【答案】(1) (2) (3)，思路见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 【详解】（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 77．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 78．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【题型二 分式化简求值】 79．【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 【答案】(1)不能 (2)此时倒出的总水量为 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把代入后进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 这水不可以倒完． 故答案为：不能； （2）解：当时，， ∴此时倒出水的总量为． （3）解：由题可知：． ． 80．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的求值，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的求值方法是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，再进一步利用完全平方公式计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 ∴， ∴． （2）解：设， 则， ． 81．用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据完全平方公式进行计算即可求解； （）根据（）的方法进行计算即可求解； （）根据题意得出，再由，从而可得，然后进行求倒数即可求解； 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 【题型三 分式方程增根与无解问题】 82．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【详解】（1）解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． （2）解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 83．若分式方程 有增根，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵增根为， ∴， ∴． 84．已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可； （3）根据方程的根为整数，结合（2）所求可，，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：a的值为3； （2）解：∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且； （3）解：∵该方程的解为整数，， ∴，， 解得或或或， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 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